漆安慎力学第二版课后习题解答

第2章质点运动学习题解答 5 第2章质点运动学习题解答

第二章基本知识小结

?dv?⒈基本概念 r??r?(t)v??dr?d2?dta?dt?rdt2

r?(t)?v?(t)?a?(t)

（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：t?t??0,r?r0,v??v?0）

⒉直角坐标系 r??xi??y?j?zk?,r?x2?y2?z2,r?与x,y,z

轴夹角的余弦分别为 x/r,y/r,z/r.

v??vxi??vy?j?vzk?,v?v2?x?v2y?v2z,v与x,y,z轴夹角的余弦分别为 vx/v,vy/v,vz/v.

a??axi??ay?j?azk?,a?a2x?a2y?a2z,a?与x,y,z轴夹角的余弦分别为 ax/a,ay/a,az/a.

vx?dxdt,vdydzy?dt,vz?dtadvd2xdvd2ydvd2z dt?yx?xdt2,ay?dt?dt2,az?zdt?dt2(x,y,z)?(vx,vy,vz)?(ax,ay,az)

⒊自然坐标系 r??r?(s);v??v???,v??dsdt,v?|v?| a??a????an?,a?a22dv?d2sv2n??an,a??dt?dt2,an?? s(t)?v?(t)?a?(t)

⒋极坐标系 r??rr?,v??vrr??v???,v?v2r?v2? vdrr?dt,vd???rdt ⒌相对运动 对于两个相对平动的参考系

r??r?'?r?0,t?t' （时空变换）

v??v?'?v?0 （速度变换） a??a?'?a?0 （加速度变换）

若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有： y y'

x'?x?Vt,y'?y,z'?z,t'?t V vx'?vx?V,vy'?vy,vz'?vz

ax'?ax,ay'?ay,az'?az o x o' x' z z'

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2.1.1质点运动学方程为：⑴r??(3?2t)i??5?j

⑵r??(2?3t)i??(4t?1)?j,求质点轨迹并用图表示.

解：⑴x?3?2t,y?5,轨迹方程为y?5的直线.

⑵x?2?3t,y?4t?1，消去参数t得轨迹方程4x?3y?5?0

y 5/3 y 5 5/4

x

x

2.1.2 质点运动学方程为r??e?2ti??e2t?j?2k?.⑴求质点轨迹；⑵求自t= -1到t=1质点的位移。

解：⑴由运动学方程可知：x?e?2t,y?e2t,z?2,xy?1，所

以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。

⑵?r??r?(1)?r?(?1)?(e?2?e2)i??(e2?e?2)?j ??7.2537i??7.2537?j。所以，位移大小：

|?r?|?(?x)2?(?y)2?(?7.2537)2?7.25372?7.25372,与x轴夹角??arccos?x2|?r?|?arccos(?2)?135??y

与y轴夹角??arccos|?r?|?arccos(22)?45?与z轴夹角??arccos?z|?r?|?arccos0?90?2.1.3质点运动学方程为r??4t2i??(2t?3)?j. ⑴求质点轨迹；⑵求质点自t=0至t=1的位移.

解：⑴x?4t2,y?2t?3，消去参数t得：x?(y?3)2

⑵?r??r?(1)?r?(0)?4i??5?j?3?j?4i??2?j

2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为R1?4100m,?1?33.7?

0.75s后测得R2?4240m,?2?29.3?，R1,R2均R 在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方

向（α角）

θ 解：v??v??R???2?R1?t??R?t，在图示的矢量θR1 ΔRα 1 三角形中，应用余弦定理，可求得：

θR2 2 ?R?R21?R2θ2?2R1R2cos(?1??2)1

?41002?42402?2?4100?4200cos4.4? ?349.58mv?v??R/?t?349.58/0.75?465.8m/s

据正弦定理：?R/sin(?1??2)?R2/sin(180???1??)

sin(180???1??)?R2sin(?1??2)/?R?4240sin4.4?/349.58?0.931,180???1???111.41?,???34.89?

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2.2.2 一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道y 为y=x2/200(长度：毫米)。第一次观察到圆柱体在x=249mm处，经过时间2ms后，圆柱体移到x=234mm处。求圆柱体瞬时速度的近似值。

?x

解：由于Δt很小，所以，v??v???r0 x1 x2 ?t，

其中，?t?2ms,?r???xi???y?j,?x?x2?x1?234?249??15 ?y?y22222?y1?(x2?x1)/200?(234?249)/200??36.2

?v??(?x/?t)i??(?y/?t)?j??7.5i??18.1?j。其大小

|v?|?(?7.5)2?(18.1)2?19.6mm/ms；与x轴夹角

??arccosvx?7.5v?arccos19.6?arccos(?0.38265)??112.5?

2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m；另一人在广

州听同一演奏的转播，广州离北京2320km，收听者离收音机2m，问谁先听到声音？声速为340m/s，电磁波传播的速率为3.0×108m/s.

解：声音传播情况如图所示，

北京人听到演奏声音所需时间：

17m t05s

340m/s 1?17/340?0.广州人听到演奏声音所需时间：

2320km,3×108m/s 2320?103t2340m/s 2?3.0?108?340?0.0136s 2m

2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h速率行

驶，3min后以70km/h速率向北偏西30北 30°°方向行驶，求列车的平均加速度。 v2 解：a??v???

2?v1?v?t??t vΔv1=90km/h α v2=70km/h 对矢量三角形应用余弦定理：

西

?v?v221?v2?2v1v2cos30??902?702?90?703?45.69km/h?12.69m/s

a??v?12.69?0.07m/s2，由正弦定理：v2?v?t3?60sin??sin30? sin??v2sin30?/?v?70?0.5/45.69?0.766,??50?

2.2.6 ⑴r??Rcosti??Rsint?j?2tk?，R为正常数，求t=0,π/2时的速度和加速度。⑵r??3ti??4.5t2?j?6t3k?，求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。

解：⑴v??dr?/dt??Rsinti??Rcost?j?2k? a??dv?/dt??Rcosti??Rsint?j.?v?|t?0?R?j?2k?,a?|t?0??Ri?,v?|t??/2??Ri??2k?,a?|t??/2??R?j ⑵v??dr?/dt?3i??9t?j?18t2k?,a??dv?/dt??9?j?36tk?； v?|???t?0?3i?,a|t?0??9?j,v|t?1?3i??9?j?18k?,a|t?1??9?j?36k?

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2.3.1图中a、b和c表示质点沿直线运动三种不同情况下

a x(m) 的x-t图像，试说明每种运动的b 20 特点（即速度，计时起点时质10 30° c 点的位置坐标，质点位于坐标120°20 45° t(s) 原点的时刻） 0 -10 10 30 解：质点直线运动的速度 -20 v?dx/dt，在x-t图像中为曲

线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线与x轴正向夹角为α，则速度v?tg???x/?t

对于a种运动：

v?tg120???3m/s,x|t?0?20m,t|x?0?20tg30??11.55s

对于b种运动：

v?tg30??3/3ms?1,x|t?0?10m,t|x?0??10/tg30???17.32s

对于c种运动：

v?tg45??1ms?1,t|x?0?25s,x|t?0??25tg45???25m

2.3.2质点直线运动的运动学方程为x=acost,a为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）

解：x?acost,vx?dx/dt??asint,ax?dvx/dt??acost 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：

?a?x?a,?a?vx?a,?a?ax?a

跳伞运动员的速度为v??1?e?qt2.3.31?e?qt，v铅直向下，β,q为正常量，求其加速度，讨论时间足够长时（即t→∞）速度、加速度的变化趋势。

解：

dvd1?e?qta?dt??dt(1?e?qt)?qt?qt?qtt?qt??(1?e)qe?(1?e)(?qe)2?qe?qt (1?e?qt)2?(1?e?qt)2因为v>0，a>0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当t→∞时，

v→β，a→0，说明经过较长时间后，跳伞员将做匀速直线运动。

2.3.4 直线运行的高速列车在电

v(km/h) 子计算机控制下减速进站。列车原运v0 v=v0cosπx/5 行速率为v0=180km/h，其速率变化规

律如图所示。求列车行至x=1.5km时1.5 x(km)

的加速度。

解：v?v?x/5),dv/dx????0cos(5v0sin5x.

a?dv?dxdv2dx??12dt?vdx10?v0sin5?x，将v0=180km/h,x=1.5km代入

a??1210?3.14?1802?sin108???9676km/h??0.75m/s2

2.3.5在水平桌面上放置A、B两物体，用一根不可伸长的绳索按图示 aA 的装置把它们连接起来，C点与桌面

B A 0.5g 0 x 第2章质点运动学习题解答 9 第2章质点运动学习题解答

固定，已知物体A的加速度aA=0.5g，求物体B的加速度。

解：设整个绳长为L，取图示坐标o-x，则3xA+(-4xB) = L

对时间求两次导数，3aA=4aB，所以aB = 3aA/4=3×0.5g/4 = 3g/8

2.3.6质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t2. ⑴将坐标原点沿o-x正方向移动2m，运动学方程如何？初速度有无变化？⑵将计时起点前移1s，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变不变？

解：x=10t+3t2，v=dx/dt=10+6t，a=dv/dt=6，t=0时，x=0,v=10 ⑴将坐标原点向x轴正向移动2m，即令x'=x-2，x=x'+2，则运动学方程为：x'=10t+3t2-2，∵v'=dx'/dt=10+6t，∴v'=v

⑵将计时起点前移1s，即令t'=t+1，t=t'-1，则运动学方程变为：x = 10(t'-1) + 3(t'-1)2 = 10t' – 10 + 3t'2 - 6t' + 3 = 4t' + 3t'2 – 7 v'=dx/dt'=4+6t'，t'=0时，x= -7，v'=4，加速度a不变。

2.4.1质点从坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度ax = 2t (cms-2)，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6s时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。⑴初速度v0=0；⑵初速度v0的大小为9cm/s，方向与加速度方向相反。

vxt解：dvx?axdt?2tdt,t2

v?dvx?2?tdt,vx?v0?00dx?vxttxdt?(v0?t2)dt,?dx?v0x?v30t?13t 0?dt?0?t2dt,0⑴vv210?0时，x?t,x?133t;x(6)?23?6?72cm

?x?x(6)?x(0)?72m路程S??x?72cm

⑵v9时，v20??x?t?9,x?1t33?9t

?x?x(6)?x(0)?18cm

令vx=0，由速度表达式可求出对应时刻t=3，由于3秒前质点沿x轴反向运动，3秒后质点沿x轴正向运动，所以路程：

S?|x(3)?x(0)|?|x(6)?x(3)|?x(6)?2x(3)?18?2(13?33?9?3)?18?36?54cm

2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为：vx = -3 sint，求t1=3至t2=5时间内的位移。

x5解：dx?vxdt??3sintdt,53x?dx???sintdt

33?x?x5?x3?3(cos5?cos3)?3.82m

2.4.3 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为

ax= -Aω2cosωt.在t=0时，vx=0,x=A，其中A,ω均为正常数。求此质点的运动学方程。

解：adv2x?x/dt??A?cos?t,dvx??A?2cos?tdt，

?vx2tt0dvx??A??0cos?tdt??A??0cos?td(?t)vx??A?sin?t?dx/dt,dx??A?sin?tdt?xttAdx??A??0sin?tdt??A?0sin?td(?t)

x?A?Acos?t|t0?A(cos?t?1),x?Acos?t

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