高中数学_同角三角函数的基本关系教学设计学情分析教材分析课后反思

1.2.2《同角三角函数的基本关系》（教学设计）

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

《同角三角函数的基本关系》是高中新教材人教A版必修4第1章1.2.2的内容，本节内容是学习了三角函数定义后，安排的一节继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。

2、教学目标

根据大纲要求，考虑到学生的接受能力和课容量，确定了本次课的教学目标：

A、知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）证明简单的三角恒等式。

B、过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生数形结合的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。

C、情感、态度与价值观：通过对同角三角函数基本关系的猜想、推导与运用，培养学生从特殊到一般的认识事物的过程和探究、发现问题等能力，是学生自觉养成严谨的科学态度。

3、教学重点和难点

根据《课程标准》，我将本节课的教学重点确立为：

重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。

教学上结合我校学生真实情况我将本节课的教学难点确立为：

难点：1）对于“同角”的理解；2）角α所在象限不定时对于三角函数值的讨论；

3）证明三角恒等式的一般思路，及公式在解题中的灵活运用。

二、教法分析

1.引导—探究式”教学方法。在引入公式方面，我通过几何画板展示角终边在任意位置，引导学生观察两组值得关系，逐步猜想出公式，进而形成认识。再从理论出发，结合图像与定义，证明两个公式的正确性，培养了学生观察——猜想——证明的科学分析方法。

1

2

2.采用讲练结合，从例题出发强调本节难点，让学生自行操作熟悉公式的运用。

3.对于证明题，引导学生发散思维，再结合与课本的差距作出补充，拓展学生对于证明简单三角恒等式的方法，提高其使用公式、处理问题的能力。

教学手段：利用多媒体辅助教学。

教具：三角板，几何画板软件。

三、学法指导

对于高中的学生已经具备一定的自主探究和合作能力。教学中，安排学生以小组为单位讨论交流，对两个公式抽象概括，指导学生动手操作对公式进行证明。在例题2的探索中，让学生自行讨论，培养他们运用知识的能力，从中体现出学生活跃的思维、浓厚的兴趣、强烈的参与意识和自主探究能力。

四、教学流程

（一）课前学习活动 1.复习 2．通过填写数据，你发现了什么结论？ 3.阅读课本，推导公式

头天发放本节课预习案，要求学生通过复习旧知、预习新知的过程，自主完成部分新旧知识的过渡和迁移。

附：预习案

（二）课堂教学活动设计：

教学环节设计教学方法和

设计意图

学生活动

知识回顾1.任意角三角函数的定义：任意角a的终边与单位圆的交点为

P(x,y)

则sina= ___ , cosa=___, tana=___

2.三角函数值在各象限的符号：

3. 三角函数线：sina=___ , cosa= ___ , tana= ___

作图演示，渗

透数形结合

的思想

口答

情景引入1.童谣：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；

坏了一只蹄铁，折了一匹战马；

折了一匹战马，伤了一位骑士；

伤了一位骑士，输了一场战斗；

输了一场战斗，亡了一个帝国。

问题：两个看似毫不相干的事物都有联系，那同一角的三角函

数值是否联系更紧密？

顺理成章

引出课题

2用通过几何画板展示任意角的终边位置，让学生观察猜测同

角的三角函数值之间的关系。

利用直观性，

培养学生的

观察归纳能

力，进一步激

发好奇心。

要放慢节

奏，留出

足够的观

察和思考

时间。

公式探(一)公式推导

1、探究同角正弦、余弦之间的关

系

问题⑴当角 的终边不在坐标轴

上时正弦、余弦之间的关系是什

由于课前学

生已预习过，

所以给出三

分钟时间让

学生积极

回答，答

不完整的

没有关

3

4

5

6

1．已知4

cos 5

α=-，且

为第三象限角，求sin ,tan αα

的值。

2．已知tan 3?=-，求sin cos ??和的值。

3.求证：

44224222(1)sin cos sin cos ;(2)sin sin cos cos 1αααααααα-=-++=

五、板书设计

在板书中突出本节重点，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。

济宁兖州区第六中学学生从认知角度上看，已经比较熟练地掌握了三角函数定义的两种推导方法，从方法上，学生已经对数形结合、猜想证明有所了解。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习，但毕竟基础薄弱，欠缺主动学习和探究的能力。

学生在获得三角函数定义的过程中已经充分认识到了借助单位圆，利用数形结合思想是研究三角函数的重要工具。本节课的重点是利用定义、利用数形结合的思想探究发现同角三角函数的基本关系，并应用公式解决问题。

应用三角公式进行求值、证明和化简这三类问题是学生第一次接触，因此求值过程中角

7

度范围的问题、恒等式证明的不同方法、化简最终结果的要求，以及在恒等变形过程中公式的灵活应用是本节课的难点。通过阶梯探讨、分析、总结及变式训练和后续的巩固练习来逐步突破这些难点。

利用三角函数的单位圆定义来推导公式，学生能够通过阅读课本解决，因此新课前一天发放预习案知道学生预习，课上集中讨论并补充完整证明过程。对公式的灵活运用能力应该是大部分学生欠缺的，所以在公式学习之后注意观察探究各种变形式。三角恒等式的证明对缺乏分析能力的学生来说会比较困难，清晰再现思维过程对他们来说更为重要。课后认真训练化简、求值、证明，大量的练习保障才能提高他们的熟练程度和公式应用的灵活度。

学生在学习过程中可能存在的困难：

（1）本节课开头出现的引例是想让学生探究“两个公式”但由于学生思考问题角度的差异，学生可能用其他方法解题，绕过“探究”。

（2）本节课练习和例题两个小题均可能出现“一题多解”，展示不同的解法，课堂教学时间可能不够，有些学生可能思考结果有限。

（3）对“同角”的理解。

（4）另外学生独立分析时可能有不到位、不全面的情况，。

（5）不能提炼出其中蕴含的数学思想和方法。

评测效果分析

济宁兖州区第六中学课前两分钟巡视教室，顺便检查了预习案的完成。发现大部分同学都能认真且全部完成,但部分学生在公式的发现和推导部分有未填全的现象，这说明课前预习课本不细致。

先分析课上习题的效果：

第1题放在公式学习之后，由于对公式变形的分析很透彻，而且是引导学生自己观察出了变形式的作用，因此这道题目做的效果很好。

例6学生的解题思路是很清晰的，包括先求余弦方，当开方确定符号时需要分析角的终边位置。但即使这样，还是要强调规范好解题步骤。

第2、3题侧重于求值问题，第2题不需要讨论，所以过程书写的很规范。第三题就涉及了讨论象限的问题，学生在做题时，开方直接出来两个结果，并未对角的终边进行讨论，

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虽然结果也分成了两种情况，但分析标准不准确，显然让学生的规范答题意识不强。

例7考查三角恒等式的证明，学生是第一次接触，但是以前解决过等式问题。在我采取常用的从左向右证明的方法中观察，学生的接受程度是可以的。但在其它方法的探究中，有的小组讨论的并不热烈，说明他们欠缺等式证明的经验总结。

第4题的三角恒等式证明比较简单，学生做起来很轻松，由于在授课时专门强调了书写要求，学生的解题过程也很规范。

综上来看，学生容易推导出同角三角函数的基本关系式，但对于运用，初学时一部分学生感到困难，经多媒体演示、例题讲解、巩固练习、小组讨论后，难点基本得以突破。

教学模式应以启发、诱导发现教学为主。本节教学从抛出问题，引发学生思考，探究知识开始，到公式在使用时应该注意的问题，再到例题的多种不同解法，直至最后的小结归纳的过程，均由学生通过独立思考和讨论共同完成，真正体现以学生为主体的教学理念。在教学过程中，教师的作用是把握教学重难点、教学流程，对学生探究的结果进行归纳总结，对学生不同的解法进行提炼，帮助学生理清思维“脉络”。.

本节课要求学生多看、多体会、多讨论，学生是演员，是参与者，学生应该有一定兴趣。但另一方面，因为让学生说得较多，对口头表达能力有一定欠缺的同学可能形成一定的心理压力。因此，课堂气氛不够活跃的情况。本节课采取了循序渐进的推进方式，且教学难度不大，绝大多数同学能较顺利地接受，但还需可惜啊巩固练习。

教材分析

同角三角函数的基本关系是高中人教A版必修4第一章第二节的内容。在此之前，学生已学习了任意角、任意角的三角函数的定义、函数值符号与角的终边位置的关系，为本节的学习起着铺垫作用。

三角函数是中学数学的重要内容之一，而本节又是本章的重要基础知识。大纲明确指出要掌握同角三角函数的基本关系：1.高考中它大多是以容易题出现，它揭示了同角不同名三角函数之间的内在联系，应用这部分知识主要解决三类问题：一是已知某角的一个三角函数

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值，求其余的三角函数值；二是化简；三是证明三角恒等式。同角三角函数的基本关系也是今后学习两角和与差的三角函数、向量、几何及其他学科如物理学知识的工具。

人教A版的教科书安排了两个例题，例6是根据一个角的某个三角函数值求其余两个三角函数值（知一求二），目的是让学生进一步熟悉所学的基本关系；例7是三角恒等式的证明，这道题的目的是让学生通过三角恒等式的证明进一步理解同角三角函数的基本关系，掌握证明恒等式的常用方法。但需要提出的是，我认为近些年对三角恒等式的证明要求已经降低，所以采取分组讨论的方法让学生集体探讨证明方法，最后作出方法的总结，练习中摒弃大量繁杂的证明问题。知一求二的问题，只是重点强调开方后符号的判定依赖于角的终边位置，侧重于具体数值的计算即可，对于含参数的讨论问题，不作集体要求，教学中也没有做太多的拓展和补充。综合以上分析，本节课的重难点制定如下：

重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。

难点：（1）对于“同角”的理解；

（2）角α所在象限不定时对于三角函数值的讨论；

（3）证明三角恒等式的一般思路，及公式在解题中的灵活运用。

本节课在教学中用两个课时，分为新授课和习题课。新授侧重于公式推导和应用公式解决求值、化简、证明的基本题型，习题课将补充一些问题以加强对公式的熟练程度和灵活使用能力。

《同角三角函数的基本关系》学案

编写者：

班级: 姓名:

学习目标：1. 推导并掌握同角三角函数的基本关系式，会运用公式求值，化简，证明．

2. 培养观察——猜想——证明的科学思维方式；培养数形结合的思想；通

过求值、证明来培养学生提高动手能力、分析问题解决问题的能力以及其

知识迁移能力。

3. 通过学习，揭示事物间普遍联系的辨证唯物主义思想

学习重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。

学习难点：（1）对于“同角”的理解；（2）角α所在象限不定时对于三角函数值的讨论；（3）证明三角恒等式的一般思路，及公式在解题中的灵活运用。

[课前预习案]

一、知识回顾：

1.任意角三角函数的定义：任意角a的终边与单位圆的交点为P(x,y)

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11

则sina = , cosa = , tana =

2.三角函数值在各象限的符号：

3. 三角函数线：sina = , cosa = ,

二、引入：填写以下结果

222222sin 30

1sin 30)(cos30),

,tan 30cos30

sin 42sin )(cos ),,tan

444

cos

4

sin 603sin 60)(cos 60),,tan 60cos 60

πππ

π

π

+=

=

=

+=

=

=

+=

==

（）(（）(（）(

通过以上结果，你有什么发现？

[课上导学案]

三、新知探究：1.推导过程：如（图1）在Rt OMP 中，OP= ,由勾股定理，得

22OM MP +=

因此2

2

x y +=

，即

（1）。显然，a

终边与坐标轴重合时，公式也成立。

根据三角函数的定义，当()2

k k Z π

απ≠+

∈时，有

sin cos α

α

= 。（2） 以上（1）（2）两个式子用文字概括为

。

2.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系： ； （2）商数关系： 。 注明：（

1

）“同角”的含义：

（2）(sin α)2

的写法：

3.公式变形：由平方关系可得

221sin ;(2)cos ;(3)14sin ;

(5)cos ;(

)

αααα===

=

=

（）（）

12 1sin ;(2)cos ;()ααα==≠（）由商数关系可得

三、例题解析

例1 已知3sin 5

α=-

，求cos ,tan .αα的值。

【规律总结】（1）已知一个角的某个三角函数值，便可运用基本关系，求出其它三角函数值。（2）在求值中，如果遇到开方运算，必须确定角的终边位置以确定符号。

例2 求证

cos 1sin 1sin cos x x x x +=-

【规律总结】证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：

你能想到 哪些方法？

四、跟踪练习：（试一试，你一定能行）

1．已知

4

cos

5

α=-，且为第三象限角，求sin,tan

αα

2．已知tan3

?=，求sin cos

??

和的值。

3.化简：（1）cos tan;

θθ（2）2

2

2cos1

12sin

α

α

-

-。

4.求证：

44224222 (1)sin cos sin cos;(2)sin sin cos cos1

αααααααα

-=-++=

五、课后小结反思：（回味反思，领悟才能提高，自主评价反馈）

学完本课，在以下各项的后面的“（）”内，用“V”或“？”标注你是否掌握

1、同角三角函数的基本关系（）

2、公式的灵活变形（）

3、求值问题（）

4、化简问题（）

5、三角恒等式的证明（）

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六、课后作业：课本

【A】P22—23 10（1）（3），11,12, B组 1

【B】P23 B组 2,3

课后反思

济宁兖州区第六中学

《同角三角函数关系》是普通高中课程标准实验教科书人教A版必修4中1.2.2节。本节课课程标准要求是“了解同角三角函数的基本关系”，属B级要求。它既是对三角函数线这个几何图形的深层认识，更是后期学习三角函数化简及计算等问题的基础与铺垫。因此，不论是内容本身，还是学习方法，都将对今后学生的学习起到重要的基础作用。结合课程标准要求和学生的实际情况，我确定的本节课的教学目标是：通过本节课的学习，学生应掌握如何进行三角函数的求值、化简与证明；使学生养成探究、分析的学习习惯；树立转化与化归、分类讨论和方程组的数学思想方法。我的课就是基于这个目标而设计的。

一、重问题情境，令学生激发兴趣

在数学课堂教学过程中，一个好的问题情境能具有情感上的吸引力，使学生产生学习的兴趣，激发其求知欲与好奇心。因此，在数学教学中，我精心创设问题情境，通过“钉子亡国”的故事，激起学生对新知识的好奇心，拉近学生与新知识的距离。然后通过几何画板的直观展示，让学生观察猜测两个公式，继而提出问题“能否自己推到证明呢？”这就激发了学生急于想解决问题的热情。

二、重自主探究，让学生体验过程

学生是课堂的主人，是学习的主体。但在实际的课堂教学中，学生的主体地位总是有意无意地被忽视,使得培养出来的学生缺乏一种内在的精神。在自主性上，不能根据需要主动地发展自我；在主动性上，缺乏主动参与、大胆竞争、勇于表现的意识和能力；在创造性上，不善于独立思考，缺乏分析问题和解决问题的能力。所以，当学生对某个问题产生兴趣并急于了解其中的奥秘时，我不简单地把自己知道的知识直接传授给学生，令他们得到暂时的满足，而_是充分相信学生的认知潜能，鼓励学生自主探索，积极从事观察、猜测、推理、交流等数学活动，去大胆地体验数学生成过程。

本节课，在两个基本公式的推导上，我完全放手让学生自主去探索，去研究，去发现三个三角函数之间的关系。学生经过推导，顺利发现并证明了两个三角函数关系。除此之外，在两个例题的处理上，我留给学生充分的时间思考，由他们自己组织思路，值得提出的是在

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三角恒等式证明这个难点上，我鼓励学生分组讨论，展开竞赛，讨论尽可能多的证明方法。这样，在课堂上，学生始终处于不断发现问题、解决问题的过程中，他们经过自主探索，发现了数学知识，其成功后的喜悦激励他们再去探究新的数学知识。相信，这些乐于自主探索的学生，成功会越来越多，认识会越来越深。

三、重问题梯度，使学生思维升华

所谓梯度，就是指在教学活动中能做到由易而难、由简到繁、层层递进、步步深入，把学生的思维能力或解题技能的培养一步一个台阶地引向新的高度。在设计和指导教学活动时，教师如果能树立教学活动过程中的梯度意识，就可以使活动环节循序渐进、自然流畅，环环相扣，使教学更注重学生的个体差异，真正体现因材施教。

我在本节课的课堂设计时充分考虑学生的认知特点，从公式推导、公式变形、公式应用等环节，都是层层递进，由易到难逐步深入。尤其是在公式变形的探讨中，我引导学生从不同的方向观察公式，研究可能的变形式以及它的作用，提前铺垫了在三角函数化简中常用的方法。作业的设计从易到难，有梯度，有层次，不仅能够检验学生的认知情况，也能为学有余力的学生提供了学习的方向。

四、缺憾反思

从课堂的进程来看，课堂基本按“预设”进行，课堂基本目标得到落实。从课堂的实效来看，学生的直接表现能够说明《课标》要求已全部基本达成。但是，从课堂的完成情况来看，存在两个明显的欠缺：一是提出问题当学生“答不上来”时，我急于代替学生回答，就变成了老师简单讲解，违背了我设计这堂课的初衷；二是在例2的证明上，想让学生多讨论几种方法，但又与有限的课堂时间冲突，只能选择两组上来展示，其他学生的积极性还有待加强和调动，以后一定努力争取更完善。

课堂是一个系统，系统的效能不是所有环节效能的简单总和。以后，我们会考虑教学的多元取向，在设计课时合理的取舍。以上就是我对这节课的教学反思，有不成熟之处，请批评指正。

课标分析

济宁兖州区第六中学在高中数学的体系中，三角函数是一类基本的、重要的函数，在数学、其他科学以及生产实践中都有广泛的应用，它的学习也是对函数概念的深化。课标要求本节课要：1．理解同角三角函数的基本关系式．

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2．会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．

根据大纲要求，考虑到学生的接受能力和课容量，确定了本节课的教学目标：

A、知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在三个方面的应用：1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）会灵活运用公式进行简单的化简；3）证明简单的三角恒等式。

B、过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生数形结合的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。

C、情感、态度与价值观：通过对同角三角函数基本关系的猜想、推导与运用，培养学生从特殊到一般的认识事物的过程和探究、发现问题等能力，是学生自觉养成严谨的科学态度。

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