202班205班北京自高点教育培优练习

202班，205班北京自高点教育培优练习 2011—2017年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编

9．解析几何

1【2017，10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10

2【2016，10】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点，已知

AB?42,DE?25，则C的焦点到准线的距离为（ ）

A．2

B．4

C．6

D．8

x2y2??1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的 3【2016，5】已知方程22m?n3m?n

取值范围是（ ） A．(?1,3)

B．(?1,3)

C．(0,3)

D．(0,3)

??????????x224【2015，5】已知M(x0,y0)是双曲线C：?y?1上的一点，F1,F2是C的两个焦点，若MF1?MF2?0，

2则y0的取值范围是（ ）

A．(?333322222323,) B．(?,) C．(?,) D．(?,) 33663333225【2014，4】已知F是双曲线C：x?my?3m(m?0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为

A．3 B．3 C．3m D．3m

6【2014，10】已知抛物线C：y?8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个

2????????交点，若FP?4FQ，则|QF|=（ ）

75A． B． C．3 D．2

22x2y257【2013，4】已知双曲线C：2?2=1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )．

ab2111A．y＝?x B．y＝?x C．y＝?x D．y＝±x

342x2y28【2013，10】已知椭圆E：2?2=1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若

ab

1

AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )

x2y2x2y2x2y2x2y2?=1 B．?=1 C．?=1 D．?=1 A．

453636272718189x2y23a9【2012，4】设F1、F2是椭圆E：2?2（a?b?0）的左、右焦点，P为直线x?上一点，

2ab的等腰三角形，则E的离心率为（ ） ?F2PF1是底角为30°A．

1234 B． C． D． 234510【2012，8】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2?16x的准线交于A，B两点，

|AB|?43，则C的实轴长为（ ）

A．2

B．22

C．4

D．8

11【2011，7】设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ）

A．2 B．3 C．2 D．3 二、填空题

x2y212【2017，15】已知双曲线C：2?2?1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，

ab圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________．

x2y2??1错误！未找到引用源。的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴13【2015，14】一个圆经过椭圆

164上，则该圆的标准方程为 ．

14【2011，14】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为

2．过2F1的直线L交C于A,B两点，且VABF2的周长为16，那么C的方程为 ．

三、解答题

x2y2315【2017，20】已知椭圆C：2?2=1（a>b>0） ），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，，P4（1，

ab23）中恰有三点在椭圆C上． 2（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点．

2

l交圆A于C,D16【2016，20】设圆x2?y2?2x?15?0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，

两点，过B作AC的平行线交AD于点E．

（Ⅰ）证明EA?EB为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两

点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

x217【2015，20】在直角坐标系xOy中，曲线C：y?与直线l：y?kx?a（a?0）交于M,N两点．

4（Ⅰ）当k?0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）在y轴上是否存在点P错误！未找到引用源。，使得当k变动时，总有?OPM??OPN错误！未找到引用源。？说明理由．

x2y2318【2014，20】已知点A（0，-2），椭圆E：2?2?1(a?b?0)的离心率为，F是椭圆的焦点，

ab2直线AF的斜率为23，O为坐标原点． 3(Ⅰ)求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当?OPQ的面积最大时，求l的方程．

3

19【2013，20】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．

(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．

20【2012，20】设抛物线C：x2?2py（p?0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．

（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；

（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到

m，n距离的比值．

uuuruur21【2011，20】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA，

uuuruuuruuuruurMA?AB?MB?BA，M点的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值．

4

202班，205班北京自高点教育培优练习 2011—2017年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编

9．解析几何详细答案

1【2017，10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10

??AF?cos??GF?AK（几何关系）1??【解析】设AB倾斜角为?．作AK1垂直准线，AK2垂直x轴，易知?AK1?AF（抛物线特性），

??GP?P???P??P???2?2??∴AF?cos??P?AF，同理AF?PP2P2P?，BF?，∴AB?，

1?cos?1?cos?1?cos2?sin2?又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为

π??， 2DE?2P2P??cos2?，而y2?4x，即P?2． 2?πsin?????2?4221??14?sin??cos??2 12∴AB?DE?2P?2???42sin2?sin?cos2??sin?cos??sin2?cos2?4?16π≥16??，当且仅当取等号，即AB?DE最小值为16，故选A；

sin22?42P2PDE??2P【法二】依题意知：AB?，?cos2?，由柯西不等式知： 2?π2sin????sin??2?1?1AB?DE?2P?2?2?sin?cos?(1?1)2?π?2P??8P?16??，当且仅当取等号，故选A； ?sin2??cos2?4?2【2016，10】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点，已知

AB?42,DE?25，则C的焦点到准线的距离为（ ）

A．2

B．4

C．6

D．8

【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理

设抛物线为y2?2px?p?0?，设圆的方程为x2?y2?r2，如图：

?p?设Ax0,22，D??,5?，点Ax0,22在抛物线y2?2px上，

?2?????

F

5

?p?∴8?2px0……①；点D??,5?在圆x2?y2?r2上，

?2??p?∴5????r2……②；点Ax0,22在圆x2?y2?r2上，

?2?2??2∴x0?8?r2……③；联立①②③解得：p?4，焦点到准线的距离为p?4．故选B．

x2y2??1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的 3【2016，5】已知方程22m?n3m?n

取值范围是（ ） A．(?1,3)

B．(?1,3)

C．(0,3)

D．(0,3)

x2y22222【解析】2?2?1表示双曲线，则m?n3m?n?0∴?m?n?3m

，m?n3m?n????由双曲线性质知：其中c是半焦距，∴焦距2c?2?2m?4，解得m?1 c2?m2?n?3m2?n?4m2，∴?1?n?3，故选A．

??????????????x224【2015，5】已知M(x0,y0)是双曲线C：?y?1上的一点，F1,F2是C的两个焦点，若MF1?MF2?0，

2则y0的取值范围是（ ）

A．(?333322222323,) B．(?,) C．(?,) D．(?,) 33663333????????????????????C的交点解析：从MF1F2为直径的圆与1?MF2?0入手考虑，MF1?MF2?0可得到以F，此时M1FM1,M2,M3,M4（不妨设M1,M2在左支上，M3,M4在右支上）1?M1F2，

M1F1?M1F2??22，F1F2?23，S?MFF?M1F1?M1F2?1121213|y0|?F1F2解得|y0|?，则M在23?M或M?M上运动，y?(?双曲线的M012342233,)，故选A．. 335【2014，4】已知F是双曲线C：x?my?3m(m?0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为

A.3 B.3 C.3m D.3m

x2y2??1，c2?3m?3,c?3m?3 【解析】：由C：x?my?3m(m?0)，得

3m322设F?3m?3,0，一条渐近线y??3x，即x?my?0，则点F到C的一条渐近线的距离3m6

d?3m?3=3，选A.

1?mx2y256【2013，4】已知双曲线C：2?2=1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )．

ab2111A．y＝?x B．y＝?x C．y＝?x D．y＝±x

342c2a2?b25b1c5222

=??解析：选C，∵e??，∴e?2?，∴a＝4b，，∴渐近线方程为a2aa24a2b1y??x?x.

a2x2y27【2013，10】已知椭圆E：2?2=1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若

abAB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )

x2y2x2y2x2y2x2y2?=1 B．?=1 C．?=1 D．?=1 A．

453636272718189?x12y12??1,①??a2b2解析：选D，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，∴?2 2xy?2?2?1,②??a2b2?x1?x2??x1?x2??y1?y2??y1?y2??y1?y2??y1?y2?b2?=0①－②，得，即， =?2a2b2a?x1?x2??x1?x2?b210???1?1y1?y2=，∴2=. ∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，而＝kAB＝

3?12a2x1?x2又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.

x2y2?=1.故选D. ∴椭圆E的方程为

189x2y23a8【2012，4】设F1、F2是椭圆E：2?2（a?b?0）的左、右焦点，P为直线x?上一点，

2ab的等腰三角形，则E的离心率为（ ） ?F2PF1是底角为30°A．

1234 B． C． D． 2345【解析】如图所示，?F2PF1是等腰三角形，

?F2F1P??F2PF1?30?，|F2P|?|F1F2|?2c，

?PF2Q?60?，?F2PQ?30?，|F2Q|?c，又|F2Q|?所以

3a?c， 233ac3?c?c，解得c?a，因此e??，故选择C．

42a429【2012，8】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y?16x的准线交于A，B两点，

|AB|?43，则C的实轴长为（ ）

7

A．2 B．22

C．4 D．8

x2y2【解析】设等轴双曲线C的方程为2?2?1，

aa即x2?y2?a2（a?0），抛物线y2?16x的准线方程为x??4，

?x2?y2?a2联立方程?，解得y2?16?a2，

?x??4因为|AB|?43，所以|AB|2?(2|y|)2?4y2?48，从而y2?12， 所以16?a2?12，a2?4，a?2，因此C的实轴长为2a?4，故选择C．

10【2011，7】设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ）

A．2 B．3 C．2 D．3

2b2?2a得b2?2a2?a2?c2?2a2，选B 解析：通径|AB|=a二、填空题

x2y211【2017，15】已知双曲线C：2?2?1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，

ab圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________．

（15）【解析】如图，OA?a，AN?AM?b， ∵?MAN?60?，∴AP?3b，OP?2322OA?PA?a2?b2 ，

433bbAPbbb21232222tan???? ∴，又∵tan??，∴，解得a?3b，∴e?1?2?1??；OP3232aaa3322a?ba?b44【法二】如上图可知A(a,0)到渐进线bx?ay?0的距离为d?AP?aba2?b2?ab， cabAP?AMNa1，?e?23； ??c又AN?AM?b,?AMN?60,?cos?cos30????32ANbce【法三】如图在等边三角形?AMN中AP?3b,FH?b, 2 8

3ba23； 由?OAP??OFH知a?2?e??cbc3【法四】如图，由等面积法可得，在三角形OAN中，

ab13c23

；?c?b?e??222a3【法五】因为AM?b,OA?a且渐进线y?bx可得三角形OAN为 a?双曲线三角线（即三边分别为a,b,c），有几何意义易得?MAP??MOA?30

b323?b??tan?MOA??,e?1????；

a3a3??2

x2y2??1错误！未找到引用源。的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴12【2015，14】一个圆经过椭圆

164上，则该圆的标准方程为 .

解析：由椭圆的性质可知，圆只能经过短轴顶点和右顶点三个点(0,2),(0,?2),(4,0)； （方法一）设圆的半径为r，则有(4?r)2?22?r2，可得r?5，故所求圆的标准方程为2325(x?)2?y2?.

24（方法二）设圆的标准方程为(x?a)?y?r(a?0)，代入点(0,2),(4,0)，解方程组可得

222a?35325,r?半径为r，故所求圆的标准方程为(x?)2?y2?. 2224（方法三）设圆的一般方程为x?y?Dx?Ey?F?0，代入点(0,2),(0,?2),(4,0)，解方程组可

2222得D??3,E?0,F??4,化为标准方程为(x?)?y?3225. 4点，Q13【2014，10】已知抛物线C：y?8x的焦点为F，准线为l，P是l上一

9

2????????是直线PF与C的一个交点，若FP?4FQ，则|QF|=

75A. B. C.3 D.2 22????????【解析】选C，过Q作QM⊥直线L于M，∵FP?4FQ

QMPQ33∴??，∴QM?3，由抛物线定义知QF?QM?3 ?，又

4PF4PF414【2011，14】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为PQ2．过2F1的直线L交C于A,B两点，且VABF2的周长为16，那么C的方程为 ． ?c2x2y2???1为所求． 解析：由?a2得a=4.c=22,从而b=8,??168?4a?16?三、解答题

x2y23 15【2017，20】已知椭圆C：2?2=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，

ab23）中恰有三点在椭圆C上． 2（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点．

PP4三点，将【解析】（1）根据椭圆对称性，必过P3、P4，又P4横坐标为1，椭圆必不过P1，所以过P2，3，?1?b2?1?3??P2?0，1?，P3??1，代入椭圆方程得：，解得a2?4，b2?1， ??3??2???1?1?2?4b2?ax2∴椭圆C的方程为：?y2?1．

4B?m，?yA?， （2）①当斜率不存在时，设l:x?m，A?m，yA?，kP2A?kP2B?yA?1?yA?1?2????1，得m?2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． mmmB?x2，y2?， ②当斜率存在时，设l∶y?kx?b?b?1?，A?x1，y1?，?y?kx?b222联立?2，整理得1?4kx?8kbx?4b?4?0， 2?x?4y?4?0?? 10

y1?1y2?1x2?kx1?b??x2?x1?kx2?b??x1?8kb4b2?4k?k???x1?x2? ，，则x?x?PAPB221222xx2x1x21?4k1?4k18kb2?8k?8kb2?8kb8k?b?1?1?4k2???1，又b?1，?b??2k?1，此时???64k， ?4?b?1??b?1?4b2?41?4k2?1?． 存在k使得??0成立．∴直线l的方程为y?kx?2k?1，当x?2时，y??1，所以l过定点?2，l交圆A于C,D16【2016，20】设圆x2?y2?2x?15?0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，

两点，过B作AC的平行线交AD于点E．

（Ⅰ）证明EA?EB为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两

点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

【解析】：⑴ 圆A整理为?x?1??y2?16，A坐标??1,0?，如图， 243QBE∥AC，则∠C?∠EBD，由AC?AD,则∠D?∠C， ?∠EBD?∠D，则EB?ED，?AE?EB?AE?ED?AD?4?|AB| A422Cx1x2y2根据椭圆定义为一个椭圆，方程为??1，(y?0)； 43B124Ex2y2⑵ C1:? ?1；设l:x?my?1，因为PQ⊥l，设PQ:y??m?x?1?，4323D4|MN|?1?m2|yM?yN|?1?m236m2?36?3m2?4?3m2?4?12?m2?1?3m2?4?x?my?1?联立l与椭圆C1：?x2y23m2?4y2?6my?9?0则 ，?1 ??43???P4圆心A到PQ距离d?|?m??1?1?|1?m23?|2m|1?m22， 221Nx所以|PQ|?2|AQ|2?d2?216?4m43m?4， ?21?m21?mA42B124MQ234

?SMPNQ21112?m?1?43m2?424m2?11?|MN|?|PQ|?????24??2?12,83 221223m?41?m3m?43?2m?1?x217【2015，20】在直角坐标系xOy中，曲线C：y?与直线l：y?kx?a（a?0）交于M,N两点.

4（Ⅰ）当k?0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

11

（Ⅱ）在y轴上是否存在点P错误！未找到引用源。，使得当k变动时，总有?OPM??OPN错误！未找到引用源。？说明理由.

解：（Ⅰ）当k?0时，点M(2a,a)和N(?2a,a)，y??x，故x?2a处的导数值为a，切2线方程为y?a?a(x?2a)，即ax?y?a?0；同理，x??2a处的导数值为?a，切线方程为y?a??a(x?2a)，即ax?y?a?0.

（Ⅱ）在y轴上存在点P错误！未找到引用源。，使得当k变动时，总有?OPM??OPN错误！未找到引用源。.证明如下：

设P(0,b)为符合题意的点，M(x1,y1),N(x2,y2)，直线PM,PN的斜率分别为k1,k2. 直线l与曲线C的方程联立可得x2?4kx?4a?0，则x1?x2?4k,x1x2??4a.

k1?k2?y1?by2?b2kx1x2?(a?b)(x1?x2)k(a?b)，当b??a时，k1?k2?0，则直线???x1x2x1x2aPM,PN的倾斜角互补，故?OPM??OPN，即P(0,?a)符合题意.

x2y2318【2014，20】已知点A（0，-2），椭圆E：2?2?1(a?b?0)的离心率为，F是椭圆的焦点，

ab2直线AF的斜率为23，O为坐标原点. 3(Ⅰ)求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当?OPQ的面积最大时，求l的方程. 【解析】：(Ⅰ) 设F?c,0?，由条件知

223c3，得c?3? 又?， ?a2c3x2?y2?1. …….6分 所以a=2?，b?a?c?1 ,故E的方程4222（Ⅱ）依题意当l?x轴不合题意，故设直线l：y?kx?2，设P?x1,y1?,Q?x2,y2?

x2?y2?1，得?1?4k2?x2?16kx?12?0， 将y?kx?2代入48k?24k2?33当??16(4k?3)?0，即k?时，x1,2? 41?4k222 12

4k2?1?4k2?32从而PQ?k?1x1?x2?，又点O到直线PQ的距离，所以?OPQd?221?4kk?12的面积S?OPQ144k2?34t42t?0 ，设，则，?dPQ?4k?3?tS???1， ?OPQ22421?4kt?4t?t7等号成立，且满足??0， 277x?2 或y??x?2. ……12分 22当且仅当t?2，k??所以当?OPQ的面积最大时，l的方程为：y?19【2013，20】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，

圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.

设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点

x2y2?=1(x≠－2)． 除外)，其方程为43(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)

时，R＝2.

所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.

若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23. 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．

|QP|R?，可求得

|QM|r11?k2x2y22?4?622当k＝时，将y?. x?2代入?=1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝

43474182所以|AB|＝1?k|x2?x1|?.

7182当k??时，由图形的对称性可知|AB|＝.

7418综上，|AB|＝23或|AB|＝.

7220【2012，20】设抛物线C：x?2py（p?0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．

（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；

（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，

求坐标原点到m，n距离的比值．

13

由l与圆M相切得|3k|=1，解得k＝?2. 4（1）若∠BFD=90°，则△BFD为等腰直角三角形，

且|BD|=2p，圆F的半径r?|FA|?2p， 又根据抛物线的定义可得点A到准线l的距离

d?|FA|?2p．

因为△ABD的面积为42， 所以

11?|BD|?d?42，即?2p?2p?42， 22所以p2?4，由p?0，解得p?2． 从而抛物线C的方程为x2?4y，

圆F的圆心F（0，1），半径r?|FA|?22， 因此圆F的方程为x2?(y?1)2?8． （2）若A，B，F三点在同一直线m上， 则AB为圆F的直径，∠ADB=90°， 根据抛物线的定义，得|AD|?|FA|?133|AB|，所以?ABD?30?，从而直线m的斜率为或?． 233当直线m的斜率为

33p时，直线m的方程为y?x?，原点O到直线m的距离332d1?p21?(32)3．

?3x?b323?y?2依题意设直线n的方程为y?，得x?b，联立?x?px?2pb?0， 333?x2?2py?4p2p?8pb?0，从而b??． 因为直线n与C只有一个公共点，所以??633px?，原点O到直线n的距离d2?36所以直线n的方程为y?p61?(32)3．

pd3因此坐标原点到m，n距离的比值为1?2?3．当直线m的斜率为?时，由图形的对称性可

p3d26知，坐标原点到m，n距离的比值也为3．

uuuruur21【2011，20】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA，

14

uuuruuuruuuruurMA?AB?MB?BA，M点的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值． ????????????解：（I）设M?x,y?，由已知得B?x,?3?，A?0,?1?. 所以MA???x,?1,?y?，MB??0,?3,?y?，AB??x,?2?.

????????????1再由题意可知MA?MB?AB?0，即??x,?4,?2y???x,2??0. 所以曲线C的方程为y?x2?2.

4??111（II）设P?x0,y0?为曲线C:y?x2?2上一点，因为y??x，所以l的斜率为x0.

42212?0. x0?x?x0?，即x0x?2y?2y0?x02122x0?42y0?x0121?24?2???2当x0?0时取等l则O点到的距离d?. 又y0?x0?2，所以d??x0?4?222?4x0?4x0?42?x0?4??因此直线l的方程为y?y0?号，所以O点到l的距离的最小值为217．（本题满分10分）

汉阳一中、江夏一中2017-2018学年高二年级10月联考

数学试卷(理科)

113已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程.

114．（本题满分12分）

如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当

1

AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程.

2

115．（本题满分12分）某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

116．（本题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y?2x?4,设圆C的半径为1,圆心在l上. (1)若圆心C也在直线y?x?1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; (2)若圆C上存在点M,使MA?2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.

15

117．（本题满分12分）已知与圆C:x2?y2?2x?2y?1?0相切的直线l交x轴，y轴于A,B两点，

OA?a,OB?b?a?2,b?2?

(1)求证：?a?2??b?2??2 (2)求线段AB中点的轨迹方程； (3)求△AOB面积的最小值． 118．（本小题满分12分） 已知圆C的方程为x2?(y?4)2?4,点O是坐标原点.直线l:y?kx与圆C交于M,N两点. (Ⅰ)求k的取值范围;

(Ⅱ) 求M,N的中点P的轨迹; (Ⅲ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且

211.请将n表示为m的函数. ??222|OQ||OM||ON| 16

117．（本题满分12分）已知与圆C:x2?y2?2x?2y?1?0相切的直线l交x轴，y轴于A,B两点，

OA?a,OB?b?a?2,b?2?

(1)求证：?a?2??b?2??2 (2)求线段AB中点的轨迹方程； (3)求△AOB面积的最小值． 118．（本小题满分12分） 已知圆C的方程为x2?(y?4)2?4,点O是坐标原点.直线l:y?kx与圆C交于M,N两点. (Ⅰ)求k的取值范围;

(Ⅱ) 求M,N的中点P的轨迹; (Ⅲ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且

211.请将n表示为m的函数. ??222|OQ||OM||ON| 16

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