2014-2015 - 2 - 概率统计北科大

A卷

北京科技大学2014—2015学年度第二学期 概率论与数理统计 试题答案及评分标准

一．填空题（每小题3分，共15分） 1. 设事件A和B中至少发生一个的概率为

52，A和B中有且仅有一个发生的概率为，那么A和63B同

时发生的概率为 。

2. 从1,2,3,4中任取一个数记为X，再从1,?,X中任取一个数记为Y，则

P?Y?2?? 。

3. 设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的

?n???0，limP?A?p???? 。

n????n?

4. 设X服从区间?0,??（??0）上的均匀分布，X1,X2,?,Xn是来自该总体的样本，则?的矩估计

?? 。 量?

1n?1?5.设X1,X2,?,Xn,n?1,是来自正态总体N??,??的样本，???Xi?1?Xi为总体参数?的

ki?12无偏

估计量，则k? ．

填空题答案：1.

21 2.4 3.7.8 4. 5.X 591

二．选择题（每小题3分，共15分）

1．若随机事件A和B互斥，且P?A??0,P?B??0，下述关系中正确的是 。 （A）PAB?P?A? （C）P?AB??P?A?P?B?

2．设随机变量X的概率密度函数是??x?，且有???x????x?，F?x?是X的分布函数，则对任意的实数a，有 。 （A）F??a??1???（B）PBA?0 （D）PBA?0

?????a0??x?dx （B）F??a??a1????x?dx 20（C）F??a??F?a?

（D）F??a??2F?a??1

3. 设X,Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX?x?和FY?y?，则Z?min?X,Y?的分布函数是 。

（A）Fz?z??maxFX?z?,FY?z? （C）Fz?z??1???1?FX?z?????1?FY?z???

4. 设随机变量X,Y都服从正态分布且不相关，则它们 。 （A）一定独立 （C）未必独立

5. 设X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个样本，则DX??的无偏估计是 。

2??（B）Fz?z??minFX?z?,FY?z? （D）Fz?z??FY?z?

??（B）?X,Y?一定服从二维正态分布 （D）X?Y一定服从一维正态分布

1n（A）?Xi?Xn?1i?1??2

1n?1（B）?Xi?Xn?1i?1??2

1n（C）?Xi?Xni?1??2

1n?1（D）?Xi?Xni?1??2

选择题答案：1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 三．（本题10分）有两只编号的口袋，一号口袋中放有2个白球及4个黑球，二号口袋中放有3个白球及3个黑球。任取一只口袋，再从中任取一个球，问：

2

（1）取出的这个球是白球的概率是多少？

（2）如果取出的是白球，分析它来自哪只口袋的可能性大？

【解】以Ai表示取出i(i?1,2)号口袋，A表示最后取出的是白球（1分）。 （1）P?A??PAA1P?A1??PAA2P?A2??????1?11?5。 ????（2+1+1分）

2?32?1211?P?AA1?P?A1?223（2）P?A1A????（2+1分）

P?AA1?P?A1??P?AA2?P?A2?1?1?1?15232211?P?AA2?P?A2?322P?A2A????（1分）

P?AA1?P?A1??P?AA2?P?A2?1?1?1?152322所以，60%来自二号口袋，40%来自一号口袋（1分）。

四．（本题12分）在某次实验中需要测量物体的质量。一组测量结果如下（单位：g） 7.6 7.5 7.9 7.4 7.4 7.7 7.8 7.3 7.8。 均值和方差分别记作?和?2。

问题：（1）求均值?的置信区间，置信度为0.95；（2）是否可以认为物体的质量是7.2g？显著性水平??0.05；（3）是否可以认为物体的质量??7.2？显著性水平??0.05。 已知数据：z0.05?1.65；t0.05?8??1.860；t0.05?9??1.833；t0.05?10??1.813；

z0.025?1.96；t0.025?8??2.306；t0.025?9??2.262；t0.025?10??2.228。

解：构造t?统计量t?X??，则t~t?8?（2分）。简单计算得到X?7.6，S2?0.045。（2分） S3S??（1）置信度为0.95，则t0.025?8??2.306，置信区间为?X?t0.025?8????7.436,7.764?。（2分）

3??（2）作双边检验H0:??7.2,H1:??7.2，（1分）拒绝域为t?X???t0.025?8??2.306，（1分）本题S3t?5.66?2.306，因此不接受零假设H0，不能认为物体的质量是?0?7.2（1分）。

（3）作单边检验H0:??7.2,H1:??7.2，（1分）拒绝域为t?X??（1分）本题?t0.05?8??1.860，

S3（1分） t?5.66?1.860，因此拒绝原假设H0，认为物体的质量??7.2。

3

五．（本题12分）若某厂生产的灯管寿命T服从指数分布，其分布密度函数为

fT?t???e??t,t?0，

其中?是未知参数。现随机抽取10只灯管，测得它们的寿命为（单位：小时）

1190 1178 1220 1224 1230 1200 1190 1176 1182 1210

（1）用极大似然估计法估计参数?的值； （2）用矩估计法估计参数?的值。 【解答】

（1）极大似然估计法。设来自总体的样本X1,X2,?,X10，那么似然函数为L??10?e?i?110?xi（2分），

d1010取对数并对?求导得到，令导数等于零（1分），可以解得?的极大似lnL???xi（1分）

d??i?1??然估计量为?10（2分），于是?的极大似然估计值为??i?Xi?1101（2分）. 1200（2）矩估计法。T的数学期望为ET????0x??e?xdx?1?（1分），令ET?X（1分），则解得?的

??矩估计量为?1??10?1（1分）（1分），进而矩估计值为?。 101200X?Xii?1六．（本题12分）设随机向量X,Y独立，都服从区间?0,2?上的均匀分布。设随机变量

Z1?X?Y,Z2?max{X,Y},Z3?X?Y。

（1）求：Zi,i?1,2,3，的分布密度函数；

（2）求：P?Z1?2,Z2?1?，并判断Z1与Z2是否相互独立。

解答：（1）（9分）Z1的分布密度。因为X与Y独立，所以X,Y的联合概率密度为

?1?, 0?x,y?2f?x,y??fX?x?fY?y???4。

??0, 其它由分布函数的定义有

4

FZ1?z??P?Z1?z??P?X?Y?z??x?y?z??f?x,y?dxdy

?0, z?0?z2?dxz?x1dy?z, 0?z?2??0?048??2?1?2dx21dy??1?z?z, 2?z?4??z?2?z?x48??1, z?4?z?4, 0?z?1??z此时概率密度函数为fZ1?z???1?, 1?z?2（3分）。

4??0, 其它??Z2的分布密度。由分布函数的定义有

??0, z?0?11z2?FZ2?z??P?max?X,Y??z??P?X,Y?z?????dxdy???dxdy?, 0?z?2。

440?x,y?z?max?x,y??z4?0?x,y?2??1, z?2?z?, 0?z?2此时概率密度函数为fZ2?z???2（3分）。

??0, 其它Z3的分布密度。由分布函数的定义有

??0, z?0?11z2?FZ3?z??P?X?Y?z?????dxdy???dxdy?z?, 0?z?2。

444x?z?y?x?z?x?y?z0?x,y?2?0?x,y?2??1, z?2z??1?, 0?z?2此时概率密度函数为fZ3?z???（3分）。 2??0, 其它（2）（3分）P?Z1?2,Z2?1??P?X?Y?2,max?X,Y??1??x?y?20?x,y?1??f?x,y?dxdy?1（1分）。由于4 5

1111，因此Z1与Z2不独立（1分）。 P?Z1?2?P?Z2?1?????（1分）

24841方法二：因若max?X,Y??则X?Y?1（1分），故而

21?1?1?11???P?Z1?1,Z2???P?X?Y?1,max?X,Y????P?max?X,Y????FZ2()?（1分）.

2?2?2?24???x??1?0?七．（本题16分）设连续型随机变量X的分布函数是F?x???A?Bx ?1?x?1，问：

?1x?1?（1）A,B各是多少？ （2）X的分布密度是什么？ （3）求出随机变量Y?sin（4）计算DY。

?2X的分布密度函数。

?A?B?0【解】（1）由于limF?x??1,limF?x??0（1+1分），所以?（1分），解出得到

x?1?0x??1?0A?B?1?A?B?1（1分）。 21x1?，所以概率密度函数f?x??F'?x??（1分）。 222（2）在?1?x?1时，F?x??在x??1和x?1时，f?x??F'?x??0（1分）。 （3）当y??1时，FY?y??0，因此fY?y??0。 当y?1时，FY?y??1，因此fY?y??0。（1分）。 当?1?y?1时，F?y??P?Y?y??P?sin???????X?y??P?X?arcsiny? 2??2?2111??1，于是，f?y??F'?y???（1分） ?P?X?arcsiny??arcsiny?（4分）

2??2???1?y（4）显然，EY?0（1分），因此，DY?EY2??1?1y2?21??1n11?y222ndy?21（3分）。 220八．（本题8分）利用概率论的方法证明恒等式：Cn????C???C??L??Cnn??C2nn。

n

【解答】设一袋中有n只红球，n只黑球，随机抽取n只球的取法数为C2n（2分），取到l只红球，

6

lCnlCnn?l?Cn?ln?ln?l只黑球的取法数分别是Cn，Cn，因此恰好取到l只红球的概率是?n（2分）。nC2nC2n2用Ai,Bi，0?i?n，分别表示恰好取到i只红球和黑球，由全概率公式得到

0?i?n?P?B0n2n?iAi?P?Ai??11n22n2（2

2分），即

0?i?n??C?in2Cn2n?1，变形就是

?C???C???C?

?L??Cnn??C2nn（2分）。

C卷

北京科技大学2014—2015学年度第一学期 概率论与数理统计 试题答案及评分标准

一、填空题（本题共30分，每小题3分）

1.甲乙射击一个目标，甲命中的概率是0.6，乙命中的概率是0.9，两人同时各射击一次，目标被命中的概率是 。

2.若?服从?0,4?上的均匀分布，那么P???2??1?? 。

3.若二维随机变量?X,Y?在以原点为中心的正方形??1,1????1,1?上服从均匀分布，那么1??P?X??? 。

2??4.设?n是n次独立试验中事件A出现的次数，p为A在每次试验中出现的概率，则对任意的??0，

有limP?n?????n??p???? 。 ?n?5. 标准正态分布的概率密度函数是 。

6. 若随机变量X服从二项分布B?100,0.4?，那么X的数学期望是 ，其方差是 。 7. 有十张彩票，其中有一张中奖，现采取抓阄的方式分配给10个人，前四个人都没有抓到这张彩

票，那么这时第五个人抓阄的人恰好抓到这张中奖彩票的概率是 。

?1?D??2，?1比??2 。?1,??2都是参数?的无偏估计量，8. 若?且D?这时我们通常称统计量?

????9.n个人随机地排成一列，其中甲和乙两个人排在一起的概率是 。

1?x231e,x?R 答案：1.0.96 2. 3. 4.1 5.432?2126.40,24 7. 8.有效 9.

n6二、选择题（本题共15分，每小题3分）

7

1. 若P?AB??0，则 。

（A）A,B是互不相容的事件； （B）P?A??0或者P?B??0； （C）A,B是对立的事件； （D）P?A?B??P?A??P?B?。

2.已知X,Y是相互独立的随机变量，同分布于标准正态分布。有人作出如下四个论断： （1）X?Y服从正态分布，但是X?Y不服从正态分布； （2）X?Y与X?Y有相同的数学期望； （3）X?Y与X?Y有相同的方差； （4）X?Y与X?Y是不相关的。

在这四个断言中，正确断言的个数是 。

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

3.设X1,X2,?,Xn相互独立，且同分布于标准正态分布，下列随机变量中服从?2分布的是 。

（A）X1?X2???Xn （B）?X1?X2???Xn?

2222???Xn（C）X12?X2 （D）X12?X2 ???Xn24.设X1,X2,?,Xn是来自某总体的一个样本，下面统计量中可以作为总体均值?的无偏估计量的是 。

（A）X1?X2???Xn （B）（C）

X1?X2???Xn

nX1?X2???XnX?X2???Xn （D）1??

n?1n5.设X,Y是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX?x?,FY?y?，则Z?min?X,Y?的分布函数是 。

（A）FZ?z??min?FX?z?,FY?z?? （B）FZ?z??minFX?z?,FY?z? （C）FZ?z??1?min?FX?z?,FY?z?? （D）FZ?z??1??1?FX?z???1?FY?z?? 答案：1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 三、（本题10分）设随机变量X服从区间?0,1?上的均匀分布，记Z?X2。求： （1）随机变量Z的分布函数以及分布密度；

（2）数学期望EZ及方差DZ。

解：X的概率密度函数为f?x??1,x??0,1?（1分）。 （1）当0?z?1时，概率密度为fZ?z??（2）EZ??z?01??12z（3分）；其它情况概率密度为fZ?z??0（1分）。

12zdz?142（2分），DZ?EZ2??EZ??（3分）。

453 8

四、（本题10分）独立抛掷骰子100次，以Xk（1?k?100）记第k次抛掷得到的点数，X??Xk表

k?1100示抛掷的总点数。请解答以下问题：

（1）请写出Xk（1?k?100）的分布律； （2）计算X1?X2?X3?6的概率；

（3）计算Xk（1?k?100）的数学期望及方差；

（4）计算X的数学期望及方差。 解答：（1）Xk（1?k?100）的可能取值为1，2，3，4，5，6，且各种情况的出现是等可能的，因此Xk得分布律为P?Xk?m??1，1?m?6（1分）。 6（2）共有10种情况可以使得X1?X2?X3?6，即?X1,X2,X3?为（4，1，1），（1，4，1），（1，1，4），（3，2，1），（3，1，2），（2，3，1），（1，3，2），（1，2，3），（2，1，3），（2，2，2），（1分）且每种情况出现的可能性都是分）。

1111117（3）由（1）以及数学期望的定义有EXk?1??2??3??4??5??6??（1分），Xk的二阶

666666211111191矩为EXk2?12??22??32??42??52??62??（1

6666666DXk?EXk2??EXk??21105（1分）。因此，所求概率为P?X1?X2?X3?6??（1?216108216分），因此Xk的方差为

914935（1分）。 ??64127?100?100（4）由数学期望的性质知道，EX?E??Xk???EXk?100??350（2分）。又由于Xk（1?k?100）

2?k?1?k?135875?100?100相互独立，因此DX?D??Xk???DXk?100??（1分）。

123?k?1?k?11?ae，a?0，为其概率密度函数的分布称为拉普拉斯分布。请解五、（本题15分）以函数f?x??2ax答以下问题：

（1）求拉普拉斯分布的数学期望和方差；

（2）若有一总体服从拉普拉斯分布，其中a?0是未知参数。现有来自该总体的容量为n的样本X1,X2,?,Xn，试求参数a的矩估计量与极大似然估计量；

（3）若有一组样本观察值为4,?1,3,?3,2，用上述两种方法给出参数a的估计值。 解答：（1）由数学期望的定义得到EX????222??1?x?eadx?0。（2分） 2a??x由方差的定义得到DX?EX??EX??EX????1?x?eadx?2a2。（3分） 2a2x（2）矩方法。由于样本方差S2是总体方差的无偏估计（1分），因此令2a2?S2（1分），可以解得参数a?0的矩估计量为a?（方法二：由于EX????2??2S2（1分）。 2x1?1nx?eadx?2a2，令2a2?A2??Xi2，得a的矩估计量为a?2ani?1A2）. 2 9

1极大似然估计法。构造似然函数L??ei?12an?xia?1????e?2a?n?1a?xii?1n1n，对数似然函数为lnL??nln2a??xiai?1d11（2分），对a求导数有lnL??n??2daaa1nd。令lnL?0，解得a??xi，并容易看xi（1分）?dani?1i?1n1n出这是lnL也即L的极大值点（1分）。因此，a的极大似然估计量为?Xi（1分）。

ni?11（3）矩估计值，样本均值为x??4???1??3???3??2???1，样本方差5?S2?1?21722??117?2.06（1分）（1分），因此a的估计值a。 3???2??22???4??12???24?213422??17?1.84。（方法二：样本二阶矩A2??32???2??22???4??12??,因此a的矩估计值a）

?555?5??1极大似然估计值，a。 ?xi?2.6（1分）ni?1六、（本题10分）某短跑运动员的运动成绩呈正态分布N??,?2?，?,?2都未知。最近在一系列比赛中取得如下成绩（单位：秒）：

13.2 13.1 13.5 13.0 13.0 13.3 13.4 12.9 13.4

（1）求运动成绩?的置信区间，置信度为0.95； （2）是否可以认为?0?13.1？显著性水平??0.05； （3）是否可以认为??13.1？显著性水平??0.05。 一些已知数据：t0.05?8??1.860。 解答：构造t?统计量t?X??，则t~t?8?。简单计算得到X?13.2，S2?0.045。 S3S??（1）置信度为0.95，则t0.025?8??2.306（1分），置信区间为?X?t0.025?8????13.036,13.364?（3分）。

3??（2）作双边检验H0:??13.1,H1:??13.1（1分），拒绝域为t?X???t0.025?8??2.306（2分），本S3题t?1.41?2.306，因此接受原假设，可以认为?0?13.1（1分）。 （3）作单边检验H0:??13.1,H1:??13.1（1分），拒绝域为t?。 t?1.41?1.860，因此接受原假设，认为??13.1（1分）

七、（本题10分）有甲乙两只口袋，甲袋中有两只白球，三只红球；乙袋中有两只白球，两只红球。从甲袋中随机抽取一只球放入乙袋，然后再从乙袋中随机抽取一只球放回甲袋。 （1）请你分析此时甲袋中最有可能的情况是什么？

（2）若此时甲袋中球的情况没有发生变化，请分析第一次的取球情况。

解答：由题意，我们以Wi表示第i次取出白球，Ri表示第i次取出红球, i?1,2。以Ak表示最后甲袋中有k只白球，k?1,2,3。（1分）

10

X??，本题?t0.05?8??1.860（2分）

S3（1）由乘法公式得到，

224，（1分） P?A1??P?W1R2??P?W1?P?R2W1????552523333， P?A2??P?WWWWW1?P?W2W1??P?R1?P?R2R1??????（1分）12?R1R2??P?12??P?R1R2??P?55555326（1分）。 P?A3??P?RW?PRPWR????????121215525从上述计算结果可以看出最有可能的结果是甲袋中的白球数和红球数没有发生变化，出现这种情况的概率是0.6（1分）。 （2）由贝叶斯公式得到

23?255， P?W1A2????（2分）

P?W1?P?A2W1??P?R1?P?A2R1?2?3?3?355555P?W1?P?A2W1?33?P?R1?P?A2R1?355。 P?R1A2????（2分）

P?W1?P?A2W1??P?R1?P?A2R1?2?3?3?355555从上述计算可以知道，若甲袋中的情况没有变化，那么那么第一次取出白球的概率是0.4，取出红球的概率是0.6，第一次更可能取出红球（1分）。

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（1）由乘法公式得到，

224，（1分） P?A1??P?W1R2??P?W1?P?R2W1????552523333， P?A2??P?WWWWW1?P?W2W1??P?R1?P?R2R1??????（1分）12?R1R2??P?12??P?R1R2??P?55555326（1分）。 P?A3??P?RW?PRPWR????????121215525从上述计算结果可以看出最有可能的结果是甲袋中的白球数和红球数没有发生变化，出现这种情况的概率是0.6（1分）。 （2）由贝叶斯公式得到

23?255， P?W1A2????（2分）

P?W1?P?A2W1??P?R1?P?A2R1?2?3?3?355555P?W1?P?A2W1?33?P?R1?P?A2R1?355。 P?R1A2????（2分）

P?W1?P?A2W1??P?R1?P?A2R1?2?3?3?355555从上述计算可以知道，若甲袋中的情况没有变化，那么那么第一次取出白球的概率是0.4，取出红球的概率是0.6，第一次更可能取出红球（1分）。

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