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学校编号 10394 图书分类号 学 号 密 级

全日制学术学位研究生硕士学位论文

高中教材中数学史的研究

Study on history of mathematics in high

school textbooks

学 科 专 业： 课程与教学论 研 究 方 向： 数学课程与教学论 指 导 教 师： 申请学位级别： 教育学硕士

论文提交日期： 年 月 日 论文评阅人： 论文答辩日期： 年 月 日 答辩委员会主席： 学位授予单位： 福建师范大学 学位授予日期： 年 月 日

2014年4月

摘要 中文摘要

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：数学课程应适当介绍数学发展的历史、应用和趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学学科的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神??数学史作为数学文化的重要组成部分，在诠释数学文化和推动素质教育方面发挥着重要作用.

本文从比较研究的角度对人教A版和苏教版高中数学教材（必修）中的数学史进行了系统研究.首先，在分析教材中数学史特点的基础上，结合已有研究总结出教材中数学史的功能.其次，对教材中数学史的数量、分布、类型，数学史涉及的历史人物、信息载体、设计模式等进行了统计和分析.

研究发现，教材中数学史主要有三方面功能：激励功能、认知功能、文化功能.教材中数学史主要分布在阅读与思考部分，出现在例题、习题中的数学史较少；数学史中的历史人物多是中国、德国、英国和法国的数学家，其它东方文明古国较少；数学史主要以文字形式呈现，图形和图表较少；数学史涉及的领域渗透到各个方面，尤其是计算科学和物理学等.人教A版数学史较苏教版更细致，多联系本节知识学习；最后给出编写教材的若干建议.

关键词：数学史，教材，功能，分布，结构

I

摘要 Abstract

The “Ordinary High School Mathematics Curriculum Standards (trial version) ” points out that mathematics curriculum should introduce properly the history of mathematics, application and tendency, the mutual promotion between society and mathematics, the ideological system of mathematics, the value of mathematics aesthetics and the creative spirit of mathematician......As an important part of mathematical culture, the history of mathematics plays an important role in explaining the mathematical culture and giving impetus to the Character Building Education.

Research on the history of mathematics in high school mathematics textbooks of people’s education press(A) and Jiangsu education press is the purpose of this paper , and this paper is from the perspective of comparative study. First of all, this paper finds out the functions of the history of mathematics in textbooks which is based on the analysis on the characteristics of the history of mathematics and the current research. Secondly, this paper give statistics and analysis systematically on the number and type, distribution, the persons in history, information carrier and design patterns about the history of mathematics.

Research found that there are three functions in the history of mathematics of textbooks: excitation, cognition and culture. the history of mathematics mainly in the part of Reading and Thinking, and the history in example and exercise is less. Mathematicians involving in history mainly come from China, England, French, German, and the other ancient nations’ are less. The history of mathematics is mainly presented in the form of text, and graphs and charts are less. Many fields are refers to the history of mathematics, especially the computation and physics. The history of people’s education press(A) is more detailed than the Jiangsu education press’ history, at the same time which often focus on the textbook knowledge.

Finally, combining with the results of the study, I give some reasonable suggestions about compilation of textbook.

Keywords:the history of mathematics, textbook, function, distribution, construction

III

中文文摘 中文文摘

数学史是数学文化的重要组成部分，《普通高中数学课程标准（实验稿）》明确强调数学文化在中学数学教学中的重要作用，相应的在选修课程中也特别安排了数学史选讲内容；目前，以数学史为主题的论文也广泛见诸相关数学教学杂志和会议，特别是自2005年以来，国内每隔两年举办一次的数学史与数学教育国际研讨会更是引起了相关人士对数学史融入数学教学的关注；实践中，以数学史为素材进行的教学设计也得到了许多一线教师的青睐，取得了良好的效果.但相对其它相关研究而言，对数学史融入数学教学的关注度还不够，甚至存在许多误解，诸如认为课堂上讲数学史是浪费时间，讲数学史只是为了唤起学生的好奇心，对成绩的提高没有太大帮助等等.归根结底，问题的产生还是对数学史融入教学的价值、意义、途径和方法等没有深入研究.

教材作为师生进行教学活动的主要参考资料，是进行数学史融入数学教学的重要载体.本文就数学教材中数学史的功能、内容分布、数量、结构等进行了系统研究，希望唤起广大教师对数学史融入数学教学的重视，加深对教材中数学史的理解，同时对自身专业素养的提高也有积极作用.

本文主要针对高中数学教材中数学史功能和教材中数学史内容分布及其结构进行研究.在绪论部分阐述了数学史融入教学的价值、途径、原则和效果等，并给出本文的研究视角和方法.具体研究框架见图1.

V

福建师范大学xxx硕士学位论文 人教A版与苏教版教材数学史的比较研究 相关研究综述 教材中数学史功能 数学史内容分布及结构研究 数数 学学史史融融 入入教教 学学的的 途价值 径

数学史融入教学的原则数 学 史融入教学的效果激励功能认知功能文化功能正文中的数学史习题 中的数学史 阅读材料中的数学史数 学史中的历史人物数 学史的呈现视角数学史的内容载体数学史的设计模式图1 本文研究框架 笔者以数学史为主题词对《数学教育学报》和《数学通报》2004-2013年的47篇相关文章进行了统计，发现数学教育领域对数学史融入教学的关注度逐年增加，但多集中于相关理论的阐释和思辨研究，针对中小学课堂教学实践和相关课程开发的研究较少.

在数学史融入教学的功能部分，结合已有研究，发现其主要体现在三个方面：激励功能、认知功能和文化功能.具体而言数学家的趣闻轶事可以激起学生的好奇心，数学家的精神可以帮助学生树立学习的信心等；通过数学史可以帮助学生深入理解数学知识的发展过程和概念的本质，还可以借用数学史中的思想方法作为教学设计的素材等；数学史的文化属性有助于学生从人文的角度理解数学，感悟数学和人文的联系.

数学史融入教学的方式主要体现在课堂教学和教材设计两方面，根据汪晓勤等人的研究，数学史的运用依次划分为以下几种水平：点缀式、附加式、复制式、顺应式和重构式.国内运用数学史的方式主要是点缀式和附加式.数学史融入教学应遵循科学性、思想性、多样性、可接受性、趣味性等基本原则.数学史融入教学的效果不太理想，主要体现为以下四点矛盾：融入数学史所占用的时间和教学进度之间的矛盾；学生对成绩的关注和数学史学习能否有效提高成绩之间的矛盾；教材编排顺序和数学历史发展顺序之间的矛盾；教师对数学史教学设计的期望和缺乏必要的参

VI

福建师范大学xxx硕士学位论文 考资料和人员协助之间的矛盾.

关于教材中数学史功能的研究，笔者结合教材中的具体实例，总结出三点：激励功能、认知功能和文化育人功能.最后给出在把握教材中数学史功能的同时要注意的几点问题：数学史各项功能的发挥需要相辅相成，逐渐渗透，不可喧宾夺主；数学史教学功能的发挥需要教师的主动学习和有效引导；研究数学史教育功能应该以有效利用数学史为归宿.

关于教材中数学史的内容分布及其结构是本研究的重点内容，本章对两套必修教材的数学史从多角度进行了比较研究.根据教材中数学史所处的位置和组成，依次确定了以下比较维度：正文中的数学史、习题中的数学史、阅读材料中的数学史、数学史中的历史人物、数学史的呈现视角、数学史的信息载体、数学史的设计模式.在每一维度，又根据数学史的具体表现形式进行了详细划分，具体如表1所示.其次，笔者对细分后的维度又从数量方面进行了统计和比较，并结合相关理论进行了定性分析.

表1 比较维度的划分

正文中的数学史 引 言、例 题、其 它 数学史中的历史人物 习题中的数学史 习 题、实习作业 阅读材料中的数学史 注 记、阅读与思考 设计模式 数学史呈现视角 数学史的信息载体 人 物、国 度、职业 绘画、游戏、计算机、文字、图文、图像、K?H、H?K、 天文、生物、军事、图片、图形 生活 研究发现两套教材中的数学史设置既有相同点又各具特色.首先，数学史数量基本相同，且在必修3分布较多.两套教材在正文中的数学史主要以引言的形式出现，以例题和其它形式出现的数学史较少.以习题形式出现的数学史并不多，但相对来讲，苏教版比人教A版多一些，该部分的数学史可进一步分为：史料改编、古算、背景材料和数学与其它相关领域.

以阅读材料形式出现的数学史是教材中数学史的主要组成部分，由注记和阅读与思考两部分构成，主要集中在阅读与思考，为此笔者对该部分数学史内容的侧重点和构成进行了细致研究，按照其内容的侧重点分为四个方面：数学概念发展、思想方法介绍、数学故事和数学与其它，按照其构成又分为七个方面：研究背景、方法与思路、困难与曲折、不足或失误、个性或感受、数学争论、对过程的评论.研究

K?H VII

福建师范大学xxx硕士学位论文 发现，两套教材关于阅读与思考部分数学史内容的侧重点和构成所关注的方面基本相同；且都比较关注研究背景和方法思路的介绍，较少反映数学家遇到的困难挫折和失误.

数学史中的历史人物，涉及相关人物的职业及其国度.研究发现，两套教材都提到一些数学发展史中的关键人物；且西方数学家明显多于东方数学家，东方数学家以中国最多；个别数学史适当涉及其他领域的历史人物，但不是很多.

数学史的呈现视角被定义为数学在人类生活中的应用，该部分对涉及到数学应用的数学史进行了划分和统计，主要体现在七个方面（见表1），研究发现大部分数学史能结合具体数学知识对相关领域进行一定剖析，便于学生理解.

统计发现文字表述是数学史呈现方式的主要载体，这是符合高中生认知特点的，但辅以适当的图形和图表更能增强数学史的亲和力.

数学史的设计模式总结为三类：数学史引出数学知识（简记H?K，主要集中在章节前的引言部分）、数学知识引出数学史（简记K?H，主要集中在注记和部分阅读与思考栏目）、数学知识和数学史相互渗透（简记K?H，主要集中在数学史案例设计和一些专题中）.统计发现以数学知识引出数学史的设计模式最多，而相互渗透的设计模式最少；其次对K?H模式进行了重点分析，并给出若干教学建议.

最后结合以上研究，笔者提出教材编写的若干建议：（1)数学史的选取应有利于教师在实际教学中的具体操作，同时考虑到学生的理解能力；（2)阅读材料中的数学史应尽可能体现数学家遭遇困惑、挫折或失败的经历；（3)数学史的内容设置应考虑史料的可读性和趣味性；（4)数学史应适当体现少数民族的历史文化特色；（5)数学史的呈现方式应该更加丰富多彩；（6)数学史应适当增加近现代数学家的数学成就和数学在现代生活中的广泛应用；（7)不同版本教材的数学史设计既要体现特色，更要注重统一.

VIII

目录 目录

中文摘要 .............................................................................................................................. I Abstract ............................................................................................................................ III 中文文摘 ............................................................................................................................. V 目录 ................................................................................................................................... IX 绪论 ................................................................................................................................. - 1 - 第一节 研究背景 ........................................................................................................... - 1 - 第二节 研究内容 ......................................................................................................... - 3 - 第三节 相关研究综述 ................................................................................................. - 3 - 3.1 数学史融入数学教学的价值 .................................................................................. - 5 - 3.2 数学史融入数学教学的途径 .................................................................................. - 7 - 3.3 数学史融入数学教学的原则 ................................................................................ - 10 - 3.4 数学史融入数学教学的效果 ................................................................................ - 11 - 第四节 研究方法和思路 ............................................................................................. - 12 - 第五节 相关概念界定 ................................................................................................. - 13 - 第一章 教材中数学史教育功能研究 ....................................................................... - 15 - 第一节 激励功能 ......................................................................................................... - 15 - 1.1 励志功能 ................................................................................................................ - 15 - 1.2 激趣功能 ................................................................................................................ - 16 - 第二节 认知功能 ......................................................................................................... - 17 - 2.1 有利于了解数学概念产生的历史背景 ................................................................ - 17 - 2.2 有利于理解数学概念的本质 ................................................................................ - 18 - 2.3 有利于掌握数学思想方法 .................................................................................... - 20 - 第三节 文化育人功能 ................................................................................................. - 22 - 第四节 结论与建议 ..................................................................................................... - 24 - 第二章 教材中数学史的内容分布及结构研究 ......................................................... - 27 - 第一节 教材中数学史的内容分布研究 .................................................................... - 27 - 1.1 正文中的数学史 .................................................................................................... - 28 -

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福建师范大学xxx硕士学位论文 1.2 习题中的数学史 .................................................................................................... - 30 - 1.3 阅读材料中的数学史 ............................................................................................ - 31 - 第二节 教材中数学史的内容结构研究 ..................................................................... - 37 - 2.1 数学史中的历史人物 ............................................................................................ - 38 - 2.2 数学史的呈现视角 ................................................................................................ - 40 - 2.3 数学史的信息载体 ................................................................................................ - 41 - 2.4 数学史内容的设计模式 ........................................................................................ - 42 - 第三节 结论与建议 ..................................................................................................... - 44 - 第三章 总结与展望 ..................................................................................................... - 47 - 第一节 研究的主要结论 ............................................................................................. - 47 - 第二节 研究的不足 ..................................................................................................... - 48 - 附录1 人教A版教材中的数学史 ............................................................................. - 49 - 附录2 苏教版教材中的数学史 .................................................................................. - 53 - 参考文献 ....................................................................................................................... - 57 -

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第一章 教材中数学史教育功能研究 绪论

本章主要介绍了研究的出发点与目的、研究的主要问题和范围，并以文献综述的形式阐述了数学史融入数学教学的价值、途径、原则和效果等，最后给出本研究的研究视角和研究的基本思路.

第一节 研究背景

数学是一门被公认的高度抽象和难学的科目，正因为抽象所以难学.较之其它学科，高中数学的学习需要学生付出更多的时间和精力，因此培养学生对数学的兴趣，加深学生对数学的认识就显得尤为重要，很难想象一个对数学学习存在畏难情绪的学生能将数学学习坚持三年之久，也很难想象这样的学生（即认为数学是由单纯的逻辑推理和繁琐的计算过程来描绘的）能体验到数学真正的美，即便是可以，其所体验到的痛苦也是可想而知的！数学可以被教得很好，令学生乐此不疲；数学也可以被教得很差，让学生望而生畏.传统的以知识传授为主要目的，以方法和技能训练为主要手段的数学教学方式，不能不说是造成许多学生厌恶数学的主要原因之一.实际教学中，教师呈现给学生的往往是严谨的逻辑推理过程以及完美无缺的数学结论，缺乏概念产生时的火热思考以及数学家所经历的挫折与困惑；教师教给学生的往往是一些最终会被学生遗忘的方法技巧，却忽略了让学生终身受用的数学思想的渗透；教师传授给学生的是具体的数学知识，却忽视了从宏观上对数学知识的梳理和把握.

从广义上看，文化即是人类创造的所有物质文明和精神文明的总和.数学本来具有文化的属性，具体体现在数学发展和人类历史文明发展之间的相互作用.但在实际教学中，这种文化属性却被淹没在形式化的海洋里.数学家丁石孙教授指出：我们长期以来不仅没有认识到数学的文化价值.甚至不了解数学是一种文化……这种状况在相当程度上影响了数学研究和数学教学.齐民友先生也指出：一种没有相当发达的数学文化的民族是注定要衰落的，一个不把掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的.我们无意于否定数学在培养学生逻辑思维方面无法取代的地位，但数学的文化属性终究决定了数学是有可能被教的更好、更讨学生喜欢、更具有人文气息的！

数学史是数学文化的主要载体，有时甚至和数学文化等同使用.数学史主要研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系，给人以启迪和明鉴.作为教育取向的数学史关注如何将数学史的学术形态转

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福建师范大学xxx硕士学位论文 化为教育形态，进而有效地指导数学教学，比如：在课堂教学中适当呈现与数学相关的历史图片、介绍数学家的生平、历史上的趣闻轶事、以数学史为背景设计数学问题等都可以激发学生的学习兴趣；尤其是数学家的奋斗史和克服困难的过程可以很好的激励学生；同时数学史中蕴含着丰富的数学思想方法，如运用祖暅原理推导球体和锥体的体积公式、受勾股定理证明过程的启发而推导余弦公式等；数学史为我们展示了数学发展的全貌，站在历史的高度可以更好的审视数学概念产生和发展的全过程，厘清各数学分支的区别和联系，构建合理的学科知识体系.可以肯定的是，多掌握一些数学史知识的教师在解决问题时就会多一些想法和思路，在教学中会更加游刃有余，传授给学生一些更富有启发意义的知识，使自己的课堂充满哲学思考和人文气息，给学生以春风化雨之感觉.总而言之，数学的文化特性决定了数学史可以作为数学教学的有效载体，发挥更加积极的作用.

近年来，关于数学史融入数学教学的理论和实证研究屡见不鲜，但对数学史“高评价，低利用”的现象却时有发生.究其原因，一方面和广大中学数学教师自身的数学史素养有关；同时也受到应试教育大背景的影响，由于数学史不能对提高学生成绩带来立竿见影的效果，所以教师也就无暇顾及数学史的教学.但数学史对学生理解数学进而树立正确的数学学习观起着举足轻重的作用，因此，就不得不引起广大教师的重视.有研究表明，学生获得数学史知识的渠道主要是从课堂上、图书馆阅览或通过网络学习, 其中56.6%的学生数学史知识的获得主要来源于教师在课堂上的介绍，可见教师的引导作用对学生获得数学史知识的重要影响.教材中的数学史作为教育取向的数学史的典型代表，其中蕴含着丰富的教育素材，是研究数学史融入数学教学的重要素材，同时也可以帮助教师理解教学内容，创造性的使用教材，做到“用教材教”而不是“教教材”[1].

① 李保军，叶雪梅.人教A版与苏教版函数概念的比较研究[J].中学数学月刊.2013，02:38-48.

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绪论

第二节 研究内容

教材是教师进行教学活动的重要资源，对教材的合理利用可以使教学收到事半功倍的效果.在《普通高中数学课程标准（实验）》指导下编写的数学教材设置了大量与数学史相关的内容，广泛分布在教材的各章节.由于教材中的数学史是经过课程专家精心筛选和经过教学法加工过的，所以能较好的体现新课程理念，且方便在教学实践中的具体操作，因此成为广大教师首选的数学史教学资源.但实际情况却是，教师在进行正文知识讲解时，往往对教材中的数学史只做轻描淡写的讲述或用三言两语一带而过，有时为了节省课堂教学时间甚至弃之不用，这样就使数学史应有的教育功能的发挥大打折扣或使其形同虚设.究其原因，主要是广大教师对数学史教育功能、数学史在整个高中数学课程中的分布情况以及如何有效利用教材中的数学史缺乏认识或理解偏颇.

基于以上分析，本文拟对高中数学必修教材中数学史功能、数学史的内容分布及其结构和设计模式等问题进行系统研究.考虑到国内不同版本教材的编写特色和设计模式的差异，同时为了增强研究的效度和信度，本文选取在国内被广泛使用的人教A版和苏教版高中数学必修教材进行研究.

第三节 相关研究综述

国外关于数学史融入数学教学的研究最早可以追溯到20世纪初，甚至18世纪末，但真正对此进行大规模的研究则是在20世纪80年代后，这既与国际数学教育研究的日渐成熟有关，也是与一些著名的数学教育组织如NCTM和ICMI的积极呼吁分不开

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福建师范大学xxx硕士学位论文 的[1]．1972年，数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relation between History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM）的成立，标志着数学史和数学教育关系作为一个学术领域的出现.国内关于数学史与数学教学关系的探讨可以追溯到1929年的《高级中学算学课程标准》以及1936年的《初级中学算学课程标准》的教学建议，其中强调：凡教材具有特别历史兴味者，教师最好能随时提及，以引起学生之兴趣[2].之后，关于数学史与数学教学的讨论时有出现，但有针对性的研究并不多.2004年颁布的《普通高中数学课程标准（实验稿）》指出：“数学课程应适当介绍数学发展的历史、应用和趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神……”，并且设置了选修课《数学史选讲》，自此数学史与数学教学的研究正式被广大中学教师和教学科研人员所关注.2005年4月第一届数12学史与数学教育国际研讨会在西安召开，标志着我国数学史与数学教育关系的研究10得到很大发展，此后每隔两年都会举行一次，至今已经连续举办了5届.近年来关于8数学史融入数学教学的研究时常会见于各种数学教育类杂志.笔者对国内数学教育数目类核心杂志《数学教育学报》和《数学通报》2004年至2013年间数学史与数学教育相关文章进行统计，涉及相关文章47篇.具体见图2. 2046

图2 2004—2013年“数学史与数学教育”类文章统计

通过图2我们发现，数学史与数学教育类文章的数量基本上呈逐年递增趋势，尤其是2009年、2012年和2013年最多，分别是7篇、10篇和9篇，窥一斑而见全豹，由 ① 张晓贵，张雪.国外数学教学中引入数学史的研究概述[J].数学教育学报.2013，08：50-54.

① 康世刚，胡桂花.对我国“数学史与中小学数学教育”研究的现状分析与思考[J]. 数学教育学报.2009，10： 65-68.

2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年- 4 -

绪论 此也反映出国内广大教师和教研人员对数学史融入数学教学的关注度逐渐增加. 进一步研究发现，每篇文章所关注的角度不尽相同，有些文章注重理论分析和思辨研究（简记“数学教育”），如讨论数学史融入数学教学的作用或设计模式；有些文章针对某一学段的具体问题展开分析（一般这类文章的摘要或题目中会明确提及是哪一学段），总结问题，提出建议，统计发现，这类文章主要涉及大学、高中、初中、小学等不同学段，有的文章没有具体说明是哪一学段，但从文章所涉及的内容特点可以发现其主要针对“中学数学”统一论述（简记“综合”）.

表2 所选文章范围及其归属 年 份 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 合计 数 学 教 育 0 0 0 1 1 3 2 1 4 4 16 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 大 学 综 合 1 1 1 0 0 3 1 4 1 0 12 中 学 高 中 0 1 0 0 0 1 2 0 1 4 9 初 中 0 0 1 1 1 0 0 0 3 0 6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 小 学 由表2容易发现，针对数学史融入数学教学的理论研究最多，共16篇；其次是关 于中学数学教学中融入数学史的研究，其中又以综合论述中学数学教学类文章较多，其次是高中数学类和初中数学类，最少的是小学类，只有一篇；我们欣喜的发现，有3篇文章专门论述数学史融入大学数学教学，这在HPM研究普遍关注中小学数学教学的情况下是不多见的.由此可见，国内数学史融入数学教学的研究所关注的焦点主要集中在中学数学教学以及对相关理论和一些基本问题的讨论.而对小学数学和大学数学中融入数学史关注的比较少.当然这和中学数学知识的特点、不同学段学生的认知水平以及相关数学能力培养的要求等因素有关. 3.1 数学史融入数学教学的价值

在数学教学中融入数学史的目的是为了提高数学教育质量，克服传统数学教学

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福建师范大学xxx硕士学位论文 中存在的一些弊端，如：数学教学中的“掐头去尾，烧中段”；注重知识技能的掌握和训练，而忽视知识产生的背景和在社会历史上的应用，缺少对数学思想方法的体悟；人为地割断数学学科与人文学科之间天然的联系，使数学学习缺少人文气息等.数学史融入数学教学的研究关注的内容包括：数学与其它学科的关系、多元文化的数学、数学史与学生的认知发展、发生教学法、数学史与学生的困难、数学原始文本在教学中的应用等[1].数学史融入数学教学研究的内容决定了数学史在提高数学教育质量方面可以发挥更加积极的作用，同时对数学史融入数学教学价值的深刻认识能够促使广大教师更加主动地运用数学史.

汪晓勤从课堂教学的角度论述了数学史的价值[2]，认为数学教育取向的数学史可以为数学课堂教学提供相关材料，供数学教师课堂教学参考，如教学中可以穿插讲解平面概念的历史、角概念的历史、向量概念的历史、均值概念的历史、均值不等式的历史等；同时数学教育取向的数学史有助于获取相关知识点（概念、公式、定理等）的教学启示,如有研究者通过对负数历史的研究得出启示：代数教学中，负数的图形表示十分重要，如果不用线段、温度等来说明负数，现在的中学生就会与早期代数学家一样，认为它们是荒谬的东西，又如初学函数概念时，将函数理解成特定的表达式不应被认为是一个严重的错误.

罗增儒等从四个方面论述数学史在数学教育中的价值[3].首先数学史料有助于理解数学发展，认识数学发展中的关键步骤和重大问题，并且对一些看似没有关系的数学片段建构完整的认识，同时通过介绍数学家的故事，帮助学生认识到数学发展并非一帆风顺，而是充满了困难与曲折，进而增强学生学习数学的信心.其次数学史有助于学生认识数学思想的重要作用，如通过对相关数学发展的整体介绍，体会符号化思想、坐标思想、微积分思想、方程思想、函数思想等.再次数学史有助于开发学生的数学思维，如通过介绍数学家发明发现的生动过程，有助于学生理解掌握创造方法、技巧，从而增强其创造力.最后，数学史在课堂中也可以发挥积极的作用.

台湾师范大学数学系洪万生认为[4]，教师运用数学史至少可以分为三个层次:说故事，对学生的人格成长会有启发作用；在历史的脉络中比较数学家所提供的不同方法，拓宽学生的视野，培养全方位的认知能力与思考弹性；从历史角度注入数学 ① 张维忠，汪晓勤.文化传统与数学教育现代化[M].北京大学出版社.2006，04，01. ② 汪晓勤，张小明.HPM研究的内容与方法[J].数学教育学报.2006，02：16-18. ③ 张楠，罗增儒.对数学史与数学教育的思考[J].数学教育学报.2006，08：72-75.

④ 冯振举，曲京安.HPM视野下的数学新课程内容构成[J].课程.教材.教法.2007，09：45-56.

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绪论 知识活动的文化意义，在数学教育过程中实践多远文化关怀的理想.杨渭清从五个方面论述数学史在数学教育中的价值[1]：良好数学观形成的阶梯;学习热情激发的养料；数学思想方法培养的载体；人文思想教育的参考；教师数学素养的精神源泉.傅海伦从《全日制义务教育数学课程标准》的一个实例入手，重点论述了数学史在数学探究活动中的作用，以及如何进一步实现情感态度和价值观的目标、体现数学知识之间的联系、渗透数学思想方法教学等[2].朱哲，宋乃庆认为数学史的核心价值在于培养学生的创新思维和创造能力[3],主要表现在用历史上的思想方法解决一个现在的数学问题，从历史上的数学问题和方法中得到启示，提出一个新问题.

分析已有研究，我们发现数学史融入数学教育的价值主要体现在三个方面：(1)激励功能.数学家的趣闻轶事可以激发学生的学习兴趣，数学家经历的困难挫折以及克服困难的勇气可以帮助学生正确认识数学发展的过程，进而树立正确的数学观和数学学习观.(2)认知功能.对相关数学概念发展线索的梳理有助于从宏观上把握概念的发展和完善过程，对重大数学发现的剖析有助于从微观上认识和学习数学家发明创造的过程，同时从历史的角度加深对数学思想方法的理解；以数学史为背景设计教学可以培养学生的探究思维和创新能力.(3)文化功能.数学与人类社会发展有着千丝万缕的联系，数学在发展过程中无疑会打上人类文化的烙印，在教学中渗透数学史可以很好的发挥数学史的文化育人功能. 3.2 数学史融入数学教学的途径

数学史如何融入数学教学的研究主要集中在两个方面，即数学史在课堂教学中的运用研究和数学史在数学教材中的运用研究.

汪晓勤在《HPM的若干研究与展望》一文中，通过对国内外相关研究的分析，归纳出在课堂教学中运用数学史的四种模式[4]，具体见表3.

表3 课堂教学中运用数学史的四种模式 类 别 附加式 复制式 描 述 展示数学家的图片，讲述趣闻轶事等，去掉后对教学内容没有影响. 直接采用历史上的数学问题、解法等. 顺应式 根据历史材料，编制数学问题. ⑤ 杨渭清.数学史在数学教育中的教育价值[J].数学教育学报.2009，08：31-33.

① 傅海伦，陈焕法.发挥数学史在实现新课程整体目标中的作用—兼谈《全日制义务教育数学课程标准》一个 实例的补充意见[J].数学教育学报.2003，05：70-73.

② 朱哲，宋乃庆.数学史融入数学课程[J].数学教育学报.2008，08：11-14. ③ 汪晓勤.HPM的若干研究与展望[J].中学数学月刊.2012，02：29-32.

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福建师范大学xxx硕士学位论文 重构式 借鉴或重构知识的发生、发展等. 许多一线教师认为，在教学中运用数学史就是讲点数学家的故事以激发学生的学习兴趣，其实这只是数学史较低层次的运用水平，属于附加式运用，况且有调查表明学生对数学史感兴趣，并不表明他们对相关的数学内容也有兴趣.学习“数列”和“算法”时，在考虑到学生的认知水平前提下，可直接利用数学史中的相关问题引入教学.学习三棱锥体积公式的证明时，可以讲一下欧几里得的“穷竭法”，也可以讲讲中国古代的“祖暅原理”和“阳马术”.像这样，教师直接采用了数学史问题和解法，属于复制式.在“空间向量的坐标运算”的教学设计中，可以利用我国古代数学中的基本立体图形“鳖臑（臑音闹）”编制数学问题，这种用法就属于顺应式.

在学习复数概念时[1]，南京一中孔凡海老师根据复数概念的发展历史设计教学，让学生经历复数的产生和发展过程，认识数系扩充的必要性和相关的思想方法.这就体现了数学史运用的最高水平—重构式，即所谓的“发生教学法”，原本的历史发展往往很复杂，而发生法所重构的历史却是线性的，主要呈现历史发展的关键步骤和重要思想，同时考虑学生的认知发展水平.

浙江省诸暨中学张小明老师与汪晓勤教授合作对高一学生进行数学史融入课堂教学的行动研究，总结出数学史融入课堂教学的基本模式[2]，具体流程见图3.

选定合适的教学单 历史上该部分内容的发展过程为何？ 查找历史材料 进行小组会议讨论 哪些教学内容和教学问题适合从历史的角度分析解决？ 数学内容的发展历史与学生对该内容的认知过程以及教材的安排有什 如何安排课堂教学才能有效发挥历史在课堂中的作用？ 设计教案 实施课堂教学 当历史真正融入课堂教学时发生了什么？ 历史对学生的认知活动产生了什么作用？ 学生反馈资料分析 教师课后反思及讨改进下一轮行动方本次教学活动的成功经验和失败教训是什么？ 历史上该部分内容 的发展过程为何？ ① 孔凡海.一堂基于数学史的教学设计课例：复数（第1课）[J].中学数学刊.2012，07：26-28. ② 张小明，汪晓勤.中学数学教材中融入数学史的行动研究[J].数学教育学报.2009，08：89-92. - 8 -

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体、球体的体积”和“估计2的值”，由于其围绕具体的问题和方法展开，故将其归为“思想方法介绍”一类，具体见表2-10.

表2-10 阅读与思考数学史按类统计 人教A版（类目） 苏教版（类目） （P26）函数概念发展历程（D），（P49）函数概念的发展（D），（P78）必修1 （P68）对数的发明（D），（P91）对数的发明（D） 中外历史上的方程求解（I） （P22）画法几何与蒙日（D），（P19）艺术家的透视法.年希尧的《视（P30）“祖暅原理”与柱体、锥学》（O），（P65）“祖暅原理”（I），体、球体的体积（I），（P74）（P123）解析几何的产生及笛卡尔、必修2 欧几里得《原本》与公理化算费马（D） 法（I），（P90）魔术师的地毯（S），（P111）笛卡尔解析几何（D），（P124）坐标法与机器证明（I） （P45）割圆术（I），（P55）一（P29）辗转相除法与更相减损术个著名案例（S），（P141）概率（I），（P32）二进制.计算机（D），（P64）男女出生性别比（O），（P98）尚克斯算错了吗？（S），（P105）小概率事件（S），（P111）布丰投针试验（I），（P117）帕斯卡三角形（I） （P78）向量及向量符号由来（P34）“正切、余切”等三角函数的必修3 与密码（O） 必修4 （D），（P17）三角形与天文（O） 由来（D），（P52）“泰勒级数”的应用（I），（P94）向量源自力学（D）， （P113）弦表与“托勒密定理”（I） （P21）海伦和秦九韶（S），（P62）斐波那契数列（O） 必修5 （P32）斐波那契数列（O），（P35）估计2的值（I），（P59）九连环（O） - 34 -

第二章 教材中数学史内容分布及结构研究 统计发现两套教材介绍数学思想方法的阅读材料都比较多，平均有6处，其次是介绍数学概念发展的阅读材料，平均有5处，讲述数学故事的阅读材料最少，平均有2.5处．可见两套教材都比较重视数学思想方法及核心概念的发展历史，这也正是高中数学史不同于义务教育阶段数学史的最大特点，高中数学史的呈现方式不能像义务教育阶段那样，以讲述数学故事为主以激发学生学习兴趣，而要以激发学生的数学思考为主，但为了增强阅读材料的可读性，应适当融入一定量生动有趣的数学故事或情节.

表2-11 阅读与思考数学史分类统计 人教A版 苏 教 版 平 均 数 数学概念发展4 6 5 思想方法介绍6 6 6 数学故事 3 2 2.5 数学与其它 5 3 4 由于函数概念、对数概念、向量概念和解析几何思想都是中学数学中的核心概念和思想方法，画法几何和斐波那契数列曾在人类文明发展中产生过重要影响，而祖暅原理又蕴含着深刻的数学思想方法，因此两套教材都以这些内容为基础设置相关阅读材料（共7处），介绍核心概念的发展历程和数学对人类文明的重要贡献．总体来看两套教材在阅读与思考部分的数学史的内容安排上比较趋近一致和合理.

表2-12 阅读与思考数学史内容构成维度的划分 研究背景 关于数学家发现问题的数学学科背景或其它知识、技术、政治、经济、宗教、战争等背景性材料. 方法与思路 困难与曲折 关于数学发现和解决问题的具体方法和思考过程. 介绍数学家在数学发现过程中遇到的障碍、遭受的失败、经历的艰难，一般常伴随“经过多少年”、“一筹莫展”、“不理想”、“灰心”等字样. 不足或失败 介绍数学家失误或理论的错误、局限性，常有“当时情况下”、“没有认识到”等字样. 个性或感受 描述数学家个性特征或心理感受，如“执着”、“勤奋”、“痴迷”、“震惊”、“兴奋”等字样. 数学争论 描述历史上的不同观点，如出现“各执一词”、“争论不休”等词汇. - 35 -

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过程的评价 对数学发现和发展过程进行评论，包括编者的评述、数学家自己的评论. 最后，进一步分析比较阅读与思考材料的内容构成.人教A版和苏教版分别有18篇和17篇阅读与思考方面的数学史，数量基本相同，有较强的可比性.分析发现阅读与思考数学史的内容主要由7个方面的基本事实构成，即：研究背景、方法与思路、困难与曲折、不足或失误、个性或感受、数学争论、对过程的评论[1].

两套教材数学史内容和分布的具体情况见表2-12和2-13（注：一篇阅读材料如果有多处出现同一类数学史内容，按出现一次计算；百分数表示该内容出现次数占阅读与思考总数的百分比）.

表2-13 数学史内容分类统计表 研究背景 人教A版 苏 教 版

图2-1 数学史内容分类统计图

从整体上看，人教A版数学史内容的构成由多到少依次为：研究与背景、方法 ① 朱晓民，马勇军.文化视野下中学理科教材中科学史内容分析[J].课程.教材.教法.2013，06：72-81.

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方法与思路 13 72.2% 16 94.1% 困难与曲折 8 44.4% 3 17.6% 不足或失误 6 33.3% 2 11.8% 个性或感受 1 5.6% 2 11.8% 数学争论 2 11.1% 1 5.9% 过程的评 5 27.8% 3 17.6% 17 94.9% 12 70.6% 181614121086420人教A版苏 教 版研究背景方法与思路困难与曲折不足或失误个性或感受数学争论过程的评价第二章 教材中数学史内容分布及结构研究 与思路、困难与曲折、不足或失误、过程的评论、数学争论、个性或感受；苏教版数学史内容的构成由多到少依次为：方法与思路、研究背景、过程的评论、困难与曲折、个性或感受、不足或失误、数学争论，可见两套教材在阅读与思考内容的构成上所关注的维度基本相同.

通过以上对阅读与思考中数学史的重点分析，初步得出以下结论和建议. 首先，人教A版有17篇阅读材料涉及问题的研究背景，占阅读与思考数学史总量的94.4%，有13篇涉及研究问题的方法思路，占阅读与思考数学史总量的72.2%，较其它类型的内容多出许多；苏教版有16篇涉及研究问题的方法与思路，占94.1%，有12篇涉及问题的研究背景，占70.6%.可见两套教材都比较重视“研究背景”和“方法与思路”的介绍，这与数学史应该体现数学重要数学思想方法与核心概念的发展历程以及数学对人类文明发展的重大贡献的教学要求一致，因此这样的设计是数学史融入阅读材料的一种良性表现.

其次，两套教材在阅读材料中所体现的数学家遇到的困难与曲折、不足或失误、个性或感受、争论等方面的内容太少，尤其是在介绍数学家时，教材中主要说明数学家生平（如国籍、出生地、时间等）及做出的贡献，较少体现数学家遭遇困惑、挫折、失败的经历.对数学家的描述使学生感觉数学家想到定理是理所当然的，并没有恢复数学“冰冷的美丽”背后“火热的思考”，未能表现出数学家创作过程中的斗争、挫折以及数学家所经历的艰难漫长的道路.

最后，两套教材都注意对数学发现和发展过程进行适当评论，但这种关注显然不够，人教A版只有5篇阅读材料在文后对内容进行了总结，而苏教版只有3处.阅读材料作为一种数学学习的附加式内容，如果不对其主要内容和所体现的思想方法进行归纳总结，或对学生的阅读进行适度引导，就很难发挥其应有的教育价值.

以上我们对教材中数学史的分布情况进行了统计和分析，总而言之，教材中的数学史主要分布在正文、习题和阅读材料部分，尤其以阅读材料部分最多，阅读材料部分的数学史主要以注记和阅读与思考的形式出现，其中阅读与思考中出现最多.

第二节 教材中数学史的内容结构研究

数学史的分布情况体现了教材中数学史的外部构成，要准确把握教材中数学史的内涵及其教学价值，还需要对数学史的内容及其构成进行深入剖析，本节从六个方面对教材中数学史的内容设置和构成情况进行了详细统计和深入分析.

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2.1 数学史中的历史人物

研究数学史中的历史人物，可以帮助我们从文化的角度理解数学，感受数学家的伟大贡献和数学家在人类文明发展中的推动作用，同时可以增加数学常识，为形式上枯燥乏味的数学学习和研究增加一些情趣，沟通数学学科和人文学科之间的桥梁；数学家产生的多少，在一定程度上反映了一个国家的数学发展水平，通过比较不同国家和同一国家不同时期的数学发展水平，可以认清我国和世界先进国家数学发展的差距，以及我国古代的数学发展的伟大成就，进而形成正确的数学发展观.表2-14统计了两套教材中的历史人物（注：有的数学家在多个领域都有所建树，统一归为数学家一类）.

表2-14 数学史中的历史人物 国 度 数 学 家 西 方 人教A版（人物，国度） 苏教版（人物，国度） 莱布尼茨（德）、欧拉（瑞士）、康托（德）、文恩（法）、笛卡笛卡尔（法）、高斯（德）、牛顿尔（法）、莱布尼茨（德）、伯（英）、伯努利（瑞士）、纳皮尔努利（瑞士）、欧拉（瑞士）、（英）、狄利克雷（德）、费马狄利克雷（德）、牛顿（英）、（法）、布里格斯（英）、卡尔达纳皮尔（英）、拉普拉斯（法）、诺（意）、塔尔塔利亚（意）、费布里格斯（英）、皮德尔（英）、拉里（意）、拉格朗日（法）、伽开普勒（德）、伽利略（意）、罗瓦（法）、阿贝尔（挪威）、笛阿尔贝蒂（意）、蒙日（法）、沙格（法）、蒙日（法）、卡瓦列卡瓦列利（意）、费马（法）、里（意）、塔斯基（波兰）、高尔冯.诺依曼（美）、尚克斯（英）、顿（英）、冯.诺依曼（美）、韦贝特朗（法）、布丰（法）、帕达（法）、雷格蒙塔努斯（德）、斯卡（法）、阿批纳斯（德）、哥白尼（波兰）、雷提库斯（德）、雷提库斯（德）、哥白尼（波兰）、哈密尔顿（英）、吉布斯（美）、 泰勒（英）、斯蒂文（荷兰）、兰格文（美）、威赛尔（丹麦）、拉格朗日（法）、格拉斯曼（德）、阿尔冈（瑞士）、莫比乌斯（德）、谢宾斯基（波兰）、斐波那契谢宾斯基（波兰）、斐波那契（意） （意） 古希腊 欧几里得（古希腊）、毕达哥拉欧几里得（古希腊）、海伦（古斯（古希腊）、亚里士多德（古希腊）、托勒密（古希腊） - 38 -

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第一章 教材中数学史教育功能研究

第一章 教材中数学史教育功能研究

高中必修教材中的数学史主要以阅读材料、章节引言、例习题等形式分布在教材的正文、和课后阅读部分；其呈现方式主要是文字形式，部分数学史附带数学家的图像和相关历史图片；内容涉及数学家的生平、数学概念的产生发展、历史趣题、数学故事和数学在其它领域的应用等.分析发现，教材中数学史的功能可以分为三个方面，即数学史的激励功能、认知功能和文化育人功能.

第一节 激励功能

爱因斯坦说过：兴趣是最好的老师，它永远胜过责任心.美国数学家魏尔德也认为：数学课堂上只强调数学的技术是不够的，要使学生被数学所吸引，一定要运用数学历史知识.传统的数学教材给人以逻辑严密，无懈可击的感觉，在用逻辑的方法和形式化的语言构建的知识体系中适当添加数学史，相当于在数学的火锅中添加一剂特别的作料，可以使数学教学体现出别具风格的意蕴；一则简短的数学历史典故，便能将学生带入深深的数学思考之中，一首精悍的数学诗歌便能博得学生会心一笑.“数学予知，历史予智”，讲的就是这层意思. 1.1 励志功能

数学家的趣闻轶事是学生最感兴趣的话题，其中蕴含着数学家的执着和智慧，体现着数学家奋斗过程的艰辛和获得成功后的喜悦，是激励学生学好数学的一剂良药，是帮助学生树立学习信心的良好楷模.

人教A版在阅读材料“对数的发明”中，讲到数学家纳皮尔用对数制作了0??90?每隔1?的八位三角函数表.应当说，纳皮尔仅仅凭借手工运算得到这个三角函数表的工作量是非常大的，这也显示出他超人的毅力和为科学献身的精神.法国著名数学家、天文学家拉普拉斯评价说：对数可以缩短计算时间，在时效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍.由此可见数学家工作之艰辛和贡献之伟大.像这样的数学史在教学时顺带讲一讲，必然会增加学生的兴趣，唤起学生的共鸣.

人教A版在阅读材料“割圆术”中，讲到中国古代数学家在计算圆周率方面的伟大贡献.从理论上讲，运用“割圆术”可以把?的值计算到任意精度.刘徽一直计算到192边形，得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，化成分数为这就是著名的

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“徽率”.我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得?的范围为3.1415926???3.1415927，后人曾推算，若单纯使用“割圆术”，需要计算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确的结果，这不但是当时最精密的圆周率，而且在世界上处于领先地位达1000多年.像这样的数学史不仅可以唤起学生的民族自豪感，更可以让学生感受到数学家的智慧和对数学研究的执着.

苏教版在阅读材料“尚克斯算错了吗”中，也讲到历史上关于圆周率的计算问题.英国数学家尚克斯精于数值计算，尤以计算圆周率?的值闻名，他在1853年利用公式将?值计算到608位小数，1873年又将?值计算到707位，像他这样数十年如一日的精神令人赞叹.1937年的巴黎博览会上，曾把这707位小数刻在“发现馆”的天井院内，供人瞻仰.1940年，一位英国大学生弗格森出于好奇，对尚克斯1853年算得的?值的608个数字作了统计，结果得出每个不同数字出现的次数如表1-1：

表1-1 数 字 出现次数 0 60 1 62 2 67 3 68 4 64 5 56 6 62 7 44 8 58 9 67 这一结果出乎他的意料.他原来猜想这10个数字出现的次数应大致相等.数字7的出现次数怎么会这样少呢？他想：上帝总不会对7怀有歧视吧！尚克斯的计算是否有误？于是他用当时最好的公式和最先进的计算工具（当时电子计算机尚未问世），花了1年时间算出了710位小数.结果发现尚克斯计算的?值从第528位开始出现错误.后来他和美国人伦奇合作，于1948年1月共同发表了?的808位小数值.再次统计的结果表明，数字7出现的次数并不明显少于其它数字.像这样的数学史素材，不仅有趣，更能启发学生的思考：数学家也是会犯错误的、许多数学结论是可以怀疑的、好奇心是取得任何成就的关键、一般人也可以在数学上做出突出贡献、概率知识在生活和科学研究中是多么有用！进而激发学生对概率学习的兴趣和应用概率知识解决实际问题的欲望. 1.2 激趣功能

运用数学史创设问题情境或直接引用历史上的数学名题进行教学可以激发学生的学习兴趣.对历史故事和新鲜事物的好奇是学生的天性，而这种天性往往体现在人文学科中，很难在数学课堂上展现出来，数学史的引入在人文学科和数学学科之间搭建起了一道桥梁.如苏教版在讲解案例设计“韩信点兵—孙子问题”时，花很大篇幅介绍了韩信点兵的历史背景，且叙述上是以讲故事的形式进行的，并附以历史插图，

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第一章 教材中数学史教育功能研究

加之适当的问题引导，让学生在欣赏历史故事的同时不知不觉进入数学知识的学习，这样的设计比单刀直入式的讲解更富有人文关怀，更容易被学生所接受，也更容易在学生的记忆里留下深刻印象.

在苏教版的课后习题中，有多道题目是以古算为背景出现的.如我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？题目的表现形式简洁明快，且饶有趣味，让学生在学习知识之余，感受古人的智慧和中国诗歌文化的博大精深.再如：1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”：

4 7 10 13 16 … 7 12 17 22 27 … 10 17 24 31 38 … 13 22 31 40 49 … 16 27 38 49 60 … … … … … … …

（这个方筛的奥妙在于：如果某个自然数n出现在表中，那么2n?1肯定不是质数；如果n在表中不出现，那么2n?1肯定是质数.）问题是：这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？像这样以古算为背景的题目，并不涉及多么深奥的知识，却非常有趣，为传统的习题设计模式注入了新的活力.

第二节 认知功能

吴文俊院士曾说：假如你对数学的历史发展，对一个领域的发生和发展，对于一个理论的兴旺和衰落，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等许多历史因素都弄清楚了，我想就会对数学了解多了，对数学的现状就会知道得更清楚、更深刻，还可以对数学的现状及未来起到一种知道的作用[1]；数学学科的精髓在于其思想方法之深刻，而思想方法往往体现在知识的产生和发展过程中，通过数学史的引入，再现数学发展的关键步骤，让学生体验历史、逻辑和思想的统一. 2.1 有利于了解数学概念产生的历史背景

有研究者认为：如果不知道数学概念为什么出现以及以何种方式出现，想学好 ① 吴文俊.在教育部的全国高校中外数学史讲习班开学典礼上的讲话[A].中国数学史论文集（二）山东：山 东教育出版社.1986，02.

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它几乎是不可能的[1].学生只有清楚了概念产生的历史背景，才能将知识学习得更明白，记忆得更深刻，而数学史恰恰为我们提供了一个从历史的角度审视概念产生和发展的良好契机.

函数概念的产生和发展经历了漫长的历史过程，从最初的变量说到后来的对应说直至现在许多大学数学专业课中普遍采用的关系说，经历了不断的创造与否定、争论与完善的过程，学生通过阅读函数概念的发展史，加之教师的适当引导，就会对各种函数定义的局限性有一个清醒的认识，明确初中函数定义的合理性和不足，进而加深对高中数学用集合定义函数概念的理解.

高中数学教材中，指数概念的学习是先于对数的，而历史上指数的产生要远远晚于对数，学生通过学习课后阅读材料“对数的发明”，会明确引入对数运算的重要意义，认识到对数的发明之所以早于指数，是由于在当时的天文和航海等领域，涉及到许多复杂的乘除法计算，而加减法运算较简单，能不能把乘除法转化为加减法呢，于是纳皮尔经过研究，发现了可以简化运算的“对数”，无怪乎后人将对数的发现称之为延长天文学家寿命的一项发现.教材之所以先讲指数，也只是考虑到学生之前的知识结构和认知发展的需要.教学时适当引导学生阅读对数的发展史，会加深学生对指数和对数关系的理解.

教材中还安排了许多相关概念的历史发展等阅读材料，如：解析几何的发展史、向量的产生、三角学的发展、历史上的方程求解等.对相关数学史的学习可以使学生在头脑中对一些表面上看起来毫无关系的数学知识之间建立起联系，进而学得更明白，即使会占用一些课堂时间，但从学生的长远发展和素质教育的培养目标来看还是值得的.

2.2 有利于理解数学概念的本质

数学史更深层次的意义在于加深学生对数学概念本质的理解.许多学生将数学学习了很多年，到头来并不清楚所学知识的意义，当问起某一数学概念的本质是什么的时候，并不能给出满意的回答，甚至从来没有思考过这个问题，这也是数学学习中“会而不懂”现象的一种具体体现.教材中许多章节以阅读与思考的形式展现了核心概念的发展历史，其中不乏对概念本质的揭示.

欧几里得《原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义是它在人类数学史中第一次给出了公理化的数学体系，教材在对《原本》简单介绍的基础上，重点归 ① 张晓贵，张雪.国外数学教学中引入数学史的研究概述[J].数学教育学报.2013，08：50-54.

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第一章 教材中数学史教育功能研究

纳了其中蕴含的公理化思想的本质，摘录如下：

数学公理化方法，就是从尽可能少的原始概念（基本概念）和尽可能少的一组不加证明的原始命题（公理、公设）出发，应用严格的逻辑推理，推导出其余的命题，使某一数学分支成为演绎系统的一种方法……公理化方法主要有以下三个作用：（1）概括整理数学知识.《原本》就是欧几里得用公理化方法把零碎的几何知识归为一类，树立了以公理化方法研究数学的典范.（2）促进新理论的创立.由于公理化方法把数学分支的基础分析得十分清楚，结构严谨有序，这就有利于比较各数学分支实质上的异同，从而推动和促进新理论的产生，促进数学基础的研究与探索.例如，非欧几何就是在研究和应用公理化的过程中产生的.（3）对其它学科有示范作用.由于数学公理化方法表述数学理论的简洁性、条理性以及结构的和谐性，为其它科学理论的表述起了示范作用，其它科学纷纷效法，建立了自己的公理化方法.

笛卡尔的解析几何思想对数学学习和研究甚至对相关数学分支的建立都有着重要的指导作用，对其本质的理解和把握有助于学生从宏观上认识该思想的精髓，有利于创造性思维的培养.苏教版在阅读与思考中对该思想进行重点阐述，摘录如下：

笛卡尔的解析几何有两个基本思想：（1）用有序数对表示点的坐标；（2）把相互关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一条曲线……我们知道，曲线可以看做是按照某种规律运动点的集合或轨迹.在平面直角坐标系中，设动点P的坐标是(x,y)，点P在运动，它的坐标x和y也随之相应的变化，由于点P是按照某种规律在运动，因此x和y这两个变量相互依赖和制约，也就是说，它们之间应满足一定的关系，这种关系用代数方法表示出来，就可以得到一个含有x，y两个变量的方程F(x,y)?0，这样就建立了曲线和方程之间的对应关系.

需要指出的是，通过数学史让学生理解数学概念的本质，需要发挥教师的积极引导作用，需要教师结合具体知识对阅读材料中的数学史进行讲解，这样才能将数学史教育功能的发挥落到实处.教材中的数学史是经过教学法加工，在尊重历史事实的基础上改造成的学生易于接受的教育形态的数学史，这就为广大教师提供了数学史融入教学的模板，由于教材中反映数学概念本质的数学史数量有限，因此教师在分析数学知识内涵的基础上，通过查阅文献，参考教材中数学史的设计思路，可以设计出更多反映概念本质的数学史.

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2.3 有利于掌握数学思想方法

数学的发展史就是数学家不断提出问题和解决问题的历史，其中不乏数学家对思想方法的创新和对推理过程的精彩演绎.数学史中的思想方法是与教学知识联系最为紧密的内容，最有可能转化为实际的教学资源，可以毫不夸张的说，高中数学所涉及的大部分思想方法都是对历史上相应方法的复制和重演.只是我们在繁重的教学压力和无休止的解题活动中忽视了从历史的角度对数学思想方法进行考察和反思，也就无法看到数学家的创造性思维过程和思想方法本来的博大精深.通过数学史再现一些重要思想方法的产生过程，并且设计成相应的教学活动，让学生在“做数学”的过程中，有意识的体会学习数学思想方法的重要意义.

挖掘数学史中的思想方法编制数学题目，是一种比较直接地利用数学史的方式.学生通过相应数学史的学习掌握了其中的思想方法，再通过具体的解题实践加深了对思想方法的理解.人教A版有一则阅读与思考是关于“祖暅原理与柱体、锥体和球体的体积”，通过自主阅读和教师的适当引导，学生掌握了“祖暅原理”的思想和具体操作，教师不妨设计以下问题[1]：

例1 我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5?6世纪）提出了一条原理“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等.设由曲线x2?4y和直线x?4，y?0所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得到的旋转体为?1，由同时满足x?0,x2?y2?16,x2?(y?2)2?4的点(x,y)构成的平面图形，绕y轴旋转一周所得到的旋转体为?2，根据祖暅原理等知识，通过考察?2可以得到?1的体积为__________.

许多涉及数学思想方法的数学史具有很好的探究价值，可以作为教学知识的适当延伸，培养学生的数学探究能力.教材中有许多非常成功的教学案例，如算法一章的案例分析、祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积、割圆术，托勒密与弦表等，都可以作为进一步探究的材料.

古希腊盛行用几何作图证明代数结论，在学习了两角和与差的正余弦公式后，引导学生学习课后阅读材料“托勒密与弦表”，了解弦表的用途以及用几何方法证明 ① 李保军，叶雪梅.从高考新题型看数学阅读理解能力的考查角度[J].课程教学研究.2013，09：64-67.

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第一章 教材中数学史教育功能研究

代数结论的思想，让学生重温古人对该知识的探究过程，于是设计如下探究问题[1]：

例2 阅读托勒密与弦表，我们简单了解了用构造几何图形的方法证明代数结论的思想，请思考以下问题：

（1）图1-1展示的是两角和的正弦公式的证明方法，你能说明其证明过程吗？ （2）参考上述证法，再看看图1-2能得到什么结论呢？

（3）现存第一张三角函数的弦表，就是古代托勒密利用相当于和差角公式的结果计算出来的，你能利用题1与题2的结果计算出sin75?和cos75?的值吗？

（4）求sin25?cos65??cos25?sin65?和cos40?cos35??sin40?sin35?的值． （5）上述结果是否对任意的角?和?都成立？

（6）课本中给出的证明方法是19世纪法国著名数学家柯西给出的，请将以上两种证法进行比较，你感觉那个证法更好？理由是什么？

Sin(α+β)AαBcosαsinβAαB sinαcosβ

1P1PβαOCDOβαCD

O1PAαsin(???) ? sin?cos??cos?sin? 图1-1 AαB1PBβαCDβα图1-2 OCD需要指出的是，运用数学史中的思想方法进行教学设计，需要紧密联系教学知识，不可喧宾夺主，无谓地增加学生的学习负担；其次要考虑学生的可接受性，数 ① 张小明，汪晓勤.中学数学教材中融入数学史的行动研究[J].数学教育学报.2009，08：89-92.

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学史的引入，是为了更好地促进数学教学，如果史料本身的内容过难过偏，只会平添学生的认知负担，反而起不到激发学习兴趣的作用，其效果自然适得其反.

第三节 文化育人功能

我们认为，数学教学研究可以基于这样两个视角，即心理学的视角和历史文化的视角，前者从微观角度考察在数学学习过程中学生头脑中认知结构发生了哪些变化，是如何表现在外部的教学活动中的，教师如何发挥外部活动的效用，以便积极的影响学生的内部活动，进而促进学生知识结构的良好建构；后者从宏观角度审视学科的历史发展，为数学教学提供历史借鉴，使学生从文化的角度理解数学知识产生的历史必然性以及与其它领域的广泛联系. 传统的数学学习观认为数学是与社会文化毫无关系的，数学史的引入在一定程度上改变了这种观念.

数学家M.克莱因认为：在人类文明中，数学如果脱离了其丰富的文化基础，就会简化成一系列的技巧，它的形象也就被完全歪曲了，由于外行人很少使用数学技巧及其知识，因此他们对这些通常显得枯燥无味的东西很反感.这样一来，对于数学这样一门基础性的、富有生命力的、崇高的学科，就连一些受过良好教育的人也持无视甚至轻蔑态度.克莱因想努力表达这样一个观点：在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量.我们知道，在西方许多数学家本来就是大哲学家或者在其它人文领域有着重要建树.莱布尼兹既是数学家又是伟大的哲学家；牛顿的数学名著《自然哲学的数学原理》是以哲学命名的；我们所熟知的“罗素悖论”是由诺贝尔文学奖得主罗素发现的，他被誉为抽象数学的代表人物；“傅里叶级数”是以理想社会主义的代表人物傅里叶的名字命名的；历届诺贝尔奖得主或菲尔兹奖得主所做的演讲往往不是专业的数学课题，而是关于哲学或文学如何影响其获得发现的；丘成桐先生曾说：“我本人曾经深受中国古代文学、古代诗词歌赋的影响，从《诗经》我看到比兴的方法对寻找数学方向的重要性，吟诵《楚辞》和《史记》激励起我对数学的感情，激励起我向大自然追寻真和美的感受”，可见数学与文化有着天然的联系.

从文化的角度认识数学，能使学生了解数学在各种社会领域中的角色，进而理解数学是出自于人们实际需求与需要.三教学的起源、发展与天文学密不可分，它是天文观测结果推算的一种方法，最早的三角学主要是球面三角学，这不但是因为航

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第一章 教材中数学史教育功能研究

海、历法推算以及天文观测等人类实践活动的需要，而且也因为宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力，后来由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角.古老的斐波那契数列是由数学家斐波那契在研究动物的繁殖问题时引出的，但人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，如树苗在第一年长出一条新枝，新枝成长一年后变为老枝，老枝每年都长出一条新枝，每一条树枝都按照这个规律成长，则每年的分枝数正好构成了斐波那契数列.自然界中许多生物现象都和斐波那契数列有关，如蜂房问题、花瓣问题等，这就促使人们深入研究这个数列的特点，在西方有很长一段时间，对该数列的研究形成了一种风气.

从文化角度认识数学，让学生学会对各族历史文化成就的欣赏，以及对自身文化遗产的骄傲.中西方历史上有许多著名的古建筑，它们是历代能工巧匠智慧的结晶，少数民族的服饰中也蕴藏着丰富的几何图案，它们是各族人民对美的追求和对美好生活的向往的体现，其中不乏巧夺天工的设计和精妙绝伦的几何图形，将其挖掘出来呈现在教材中，作为阅读材料或设计成相应的数学作业，让学生在学习知识之余，拓宽了人文知识视野，提高了文化素养，激发了对美好事物的追求.同时，在教材中融入少数民族的文化遗产，可以建立少数民族学生们的自信，也促使他们对数学更有兴趣[1].

正如之前所说，数学与历史、语言、艺术、哲学等主题有着天然的联系，凭借这种联系，可以使学习更有意义.著名物理学家杨振宁说：“站在制高点，文学与数学是相通的.”许多历史典故蕴含着深刻的数学思想，从中可以寻觅数学解题方法和策略的蛛丝马迹.历史故事“田忌赛马”中，蕴含着一定的概率知识，苏教版将其设计成课后习题，经过计算发现田忌胜出的概率竟远远大于齐王的；历史故事“韩信点兵”中蕴含着丰富的算法思想，教材将其设计成算法案例.用数学知识解释生活现象，让学生感受逻辑推理和精确计算的力量，增强对事实的说服力.我国古代的唐诗宋词，言简意赅、朗朗上口、意境优美，在吟诵之时，我们可以从理性思维的角度去欣赏、评论和感受相应数学思想的意境[2].“雁击长空，鱼翔浅底，万类霜天竞自由”蕴含着朴素的集合思想；“明月松间照，清泉石上流”体现着数学中的对偶原理；“举杯邀明月，对影成三人”可以用射影原理去解释；“无边落木萧萧下，无尽长江滚滚来”正好映射着数学中的无限思想.我国古代的哲学思想博大精深，《道德经》中“道生一，一 ① 张维忠，孙庆括.多元文化视野下的数学教科书编制问题邹议[J].全球教育展望.2012，07：84-89. ② 虞涛.数学思想方法的人文解读[M].上海教育出版社.2011，07.

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第二章 教材中数学史内容分布及结构研究 表2-3 正文中的数学史 人 教 A 版 对数与指数（其它，数学发展）、解析几何简介（引言，总结概括）、算法历史简介（引言，数学发展）、“海伦—秦九韶公式”（例题，数学问题）、辗转相除法与更相减损术（例题，数学问题）、秦九韶算法（例题，数学发展）、进位制（例题，数学发展）、解三角形简介（引言，数学问题）、基线与天文测量（其它，数学应用）、三角形数和正方形数（引言，数学故事）、谢宾斯基三角形（例题，数学问题）、高斯与等差数列（引言，数学故事）、一尺之棰（引言，数学问题）、棋盘上的数学（引言，数学问题）、赵爽弦图（引言，数学问题） 苏 教 版 “东方红一号”的运行轨道（其它，数学应用）、“鸡兔同笼”问题（引言，数学问题）、韩信点兵—孙子问题（例题，数学故事）、欧几里得辗转相除法（例题，数学问题）、解三角形简史（引言，数学应用）、一尺之棰（引言，数学问题） 表2-4 正文中数学史分布 数 学 发 展 人教引 言 1 1 1 0 0 0 总 结 概 括 1 0 0 0 0 0 数 学 问 题 0 8 0 2 1 0 数 学 故 事 2 0 0 0 1 0 数 学 应 用 0 0 1 1 0 1 4 9 2 3 2 1 合 计 A版 例 题 其 它 苏 教 版 引 言 例 题 其 它 两套教材在正文部分的数学史主要是通过引言的形式实现的，其中人教A版有8处，占正文部分的53.3%；苏教版有3处，占正文部分的50.0%，以引言形式出现的数学史有利于学生在学习新知识之前，站在历史的角度总览某一数学分支的发展历史，理解某一数学概念产生的历史必然性，或者通过数学史呈现新的问题情境，激发学生学习新知识的兴趣.

以“其它形式”出现的数学史最少，人教A版只有2处，占正文部分的13.3%；苏教版只有一处，占正文部分的16.7%，将数学史内容穿插在概念讲解或问题说明中，有利于学生及时了解概念产生的背景，理解概念的内涵和外延，更好得体会其

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中的思想方法.遗憾的是两套教材都只重视数学史作为背景材料的作用，忽视数学史在解释相关数学概念方面的功能，而这恰恰是挖掘史料所蕴含的数学思想方法的最好时机，是将学术形态的数学史转化为教育形态的数学史的重要途径.

苏教版除在算法一章设置2道数学史例题（案例）外，在其它章节没有安排相关数学史例题，人教A版在算法一章设置了4道数学史例题，在数列一章设置了1道. 例题是数学教材的重要组成部分，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源，是数学教材中概念、命题与习题之间的桥梁和纽带，在例题中渗透数学史能较好的体现数学史的思想方法，发挥其深层次的育人价值，因此以数学史为背景的例题应该在教材各章节中广泛渗透. 1.2 习题中的数学史

以习题形式融入数学史改变了以往单纯以学科知识为背景的习题设置模式，为习题教学增添了一抹亮色.统计发现，习题中的数学史主要集中在课后习题和实习作业两部分，以课后习题部分居多.习题中的数学史主要表现为：从相关史料中挖掘教学资源，设计成数学问题，该问题在历史上可能不曾有过（简记“史料改编”）；直接引用历史上著名的数学问题（简记“古算”）；以数学史为背景引出数学问题（简记“背景材料”）；挖掘其它学科或领域（如天文、音乐、建筑等）中的数学元素设计成数学问题（简记“数学与其它”）.具体内容和分布见表2-5和2-6.

表2-5 习题中的数学史 人教 A版 苏 教 版 牛顿的冷却模型（实习作业，背景材料）、以赵州桥为背景的习题（习题，数学与其它）、回文数（习题，史料改编）、莱因德纸草书中的数学问题（习题，古算） 以数学史为线索撰写小论文（实习作业，背景材料）、以赵州桥为背景的习题（习题，数学与其它）、“三斜求积公式”和“海伦面积公式”（习题、史料改编）、百鸡问题（习题、古算）、田忌赛马中的概率问题（习题，史料改编）、商高数（习题，史料改编）、贝特朗问题（习题，史料改编）、平面向量和空间向量发展史（实习作业，背景材料）、证明“三斜求积公式”（习题，史料改编）、谢宾斯基三角形（习题，史料改编）、正方形筛子（习题，史料改编）、中国古算（习题，古算）、竹九节问题（习题，古算）

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第二章 教材中数学史内容分布及结构研究 表2-6 习题数学史分布 人教 A版 苏教版 习 题 实习作业 习 题 实习作业 史料改编 1 0 7 0 古 算 1 0 3 0 背景材料 数学与其它0 1 0 2 1 0 1 0 合 计 3 1 11 2 统计发现，人教A版从必修1到必修5在习题部分出现数学史的次数依次为：1,1,1,0,1，共4处，占教材中数学史总量的7.5%，苏教版在习题部分出现次数依次为：1,1,5,1,5，共13处，占教材中数学史总量的26.5%，可见苏教版教材更重视在习题中渗透数学史.两套教材在习题中的数学史内容和分布情况见表2-5和表2-6. 习题中的数学史多以史料改编的形式出现，苏教版共有7处，人教A版只有1处，这也是我国教材在习题中融入数学史的主要方式，即：以历史名题为模板，将情景或属性换成学生熟悉的现代场景的“顺应式”融入，这样的方式增强了数学史融入教学的可操作性，是一种较好的融入方式；以古算形式出现的数学史直接引用与教学内容相关的古代数学题，不经过任何加工，以原汁原味的形式呈现给学生，颇有趣味，值得玩味；以数学文化为背景的习题通过挖掘人类历史文明中的数学元素设计成问题，两套教材各只有1处，且选材相同，都是以我国古建筑—赵州桥为题材.其实，在我国许多少数民族的历史文化中有许多相关元素可以设计出很好的数学问题（如少数民族服饰或建筑上的几何图案），因此，从数学史应当体现数学文化多元性的角度考虑，史料的选择应尽可能体现不同民族和人类文明不同领域的数学文化.需要注意的是，以西方数学史为素材的习题侧重推理和猜想等思维策略，以中国数学史为素材的史料侧重计算，凸显数学的实际应用价值[1]，这一点在习题设计中也有所体现.

1.3 阅读材料中的数学史

以阅读材料形式出现的数学史，主要包括数学家生平，数学概念、符号、思想的渊源，历史上的数学问题、思想方法等.在该部分出现的数学史主要集中在“阅读与思考”和“注记”部分.统计发现从必修1到必修5，人教A版以阅读材料形式出现 ① 李保军，叶雪梅.2013年高考数学新背景试题赏析[J].高中数学教与学.2014，01：36-38.

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的数学史次数依次为：6,12,11,3,6，共38处，占教材中数学史总量的66.7%，其中有18处以“阅读与思考”的形式出现，20处以“注记”的形式出现.苏教版出现次数依次为：6,5,15,5,2，共33处，占教材中数学史总含量的63.5%，其中17处以“阅读与思考”形式出现，16处以“注记”形式出现，注记中的数学史主要介绍数学家生平或数学概念的发展简史等，阅读与思考中的数学史综合介绍多方面内容.

首先，通过研究注记研究注记中的数学史分布，我们发现，按照内容的侧重点可以将其分为介绍数学符号、数学术语、概念发展、数学家或相关历史人物以及数学名著，其中数学家或历史人物的介绍一般会附以人物的图像.需要注意的是，部分数学史在正文的基础上会附以注记,考虑到这类注记在性质上和其它注记的一致性,故将其和正文部分的数学史分开计算，因此涉及同一内容的数学史可能会被计算两次；苏教版有一则注记以书影的形式介绍了“唐代牙算筹”，为了方便统计，将其归为数学名著一类；将遗传学家孟德尔归为数学家一类.

表2-7 注记中的数学史 函数符号的由来（数学符号）、《代数积拾级》书影（数学名著）、对数符号的由来（数学符号）、“公理”（数学术语）、“公理方法”（数学术语）、欧几里得图像（数学家）、笛卡尔简介（数学家）、笛卡尔图人教A版 像（数学家）、吴文俊图像（数学家）、“algorithm”由来（数学术语）、BASIC语言简介（概念发展）、“九章算术”书影（数学名著）、刘徽图像（数学家）、回归方法简介（概念发展）、伯努利图像（数学家）、孟德尔图像（历史人物）、蒙特卡罗方法简介（概念发展）、弧度制简史（概念发展）、高斯图像（数学家）、斐波那契图像（数学家） 康托图像（数学家）、文恩简介（数学家）、纳皮尔图像（数学家）、开普勒图像（数学家）、笛卡尔图像（数学家）、费马图像（数学家）、苏 教 版 花拉子米图像（数学家）、海伦简介（数学家）、欧几里得图像（数学家）、秦九韶简介（数学家）、唐代牙算筹（数学工具）、莱布尼茨图像（数学家）、冯.诺依曼图像（数学家）、拉普拉斯图像（数学家）、圆周角历史（概念发展）、斐波那契图像（数学家） 表2-8 注记中的数学史分布 人教A版 数学符号 数学术语 概念发展 2 3 4 数学家 9 数学名著 2 合 计 20 - 32 -

第二章 教材中数学史内容分布及结构研究 苏 教 版 0 0 1 14 1 16 统计发现，人教A版注记部分所呈现的数学史类型比较多样，其中大部分注记介绍了数学家的生平和贡献，还有部分注记简略介绍了数学概念的历史背景及其发展，同时对一些数学中常用的数学符号和术语也做了简略介绍，更可贵的是还以书影或历史文献的形式介绍了我国古代的数学名著，使注记中数学史的呈现方式更加丰富多彩，体现了新课程教材的人文关怀.苏教版注记主要介绍数学家的生平，其它类型的注记较少涉及.

其次，研究阅读与思考中的数学史分布（需要指出的是，人教A版有3处涉及数学史的课后阅读材料有明确的教学要求：祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积（探究与发现）、魔术师的地毯（探究与发现）、估计2的值（信息技术应用），考虑到其在性质上与阅读与思考的一致性，故将其归为阅读与思考一类),分析发现两套教材在阅读与思考部分出现数学史次数基本相同.人教A版在每册至少安排两处内容，其中必修2最多，有6处，必修4最少，有2处，平均每册出现3.6处；苏教版每册至少安排一处相关内容，必修3最多，有7处，必修5最少，有1处，平均每册出现3.4处. 两套教材在该部分的数学史分布并不均匀，人教A版主要集中在必修2和必修5（共占55.6%），苏教版主要集中在必修3和必修4（共占65.0%）.以阅读与思考形式出现的数学史是学生学习数学史和体验数学文化内涵的主要途径，因此教材在设计上要尽量考虑连续性，使学生在每册教材的学习中适时感受到数学文化的熏陶.

表2-9 阅读与思考数学史分布 人教A苏教版 必修1 3 2 必修2 6 3 必修3 3 7 必修4 2 4 必修5 4 1 合计 18 17 再次，进一步分析阅读与思考中的数学史，发现两套教材在数学史的选材上，都注意选取一些有重要影响的数学家及其发明创造作为阅读素材，或以历史上有名的数学问题和数学故事为背景设置思考问题，或展示数学在人类生活和其它学科中的广泛应用.根据阅读与思考内容的侧重点，将其素材分为四类：数学概念发展（简记“D”）、思想方法介绍（简记“I”）、 数学故事（简记“S”）、数学与其它（简记“O”），其中“数学与其它”主要介绍历史上数学在其它相关领域中的应用.需要注意的是：人教A版的阅读与思考有2则是以专题介绍的形式出现的，即“祖暅原理与柱体、锥

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