2012高中数学复习讲义(通用版全套)第六章 不等式

高中数学复习讲义 共12章

2012高中数学复习讲义 第六章 不等式

【知识图解】

【方法点拨】

不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点.

1. 掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式求最值时一定

要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。

2. 一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式与相应函

数、方程的联系和相互转化。

3. 线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这部分

内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。

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第1课 基本不等式

【考点导读】

1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。 2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。 【基础练习】

a2 b2

1.“a>b>0”是“ab<”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必

2

要条件、既不充分也不必要条件)

2.a2

b2 1,b2 c2 2,c2 a2 2,则ab bc ca的最小值为

1

2

3.已知x,y R，且x 4y 1，则x y的最大值为

1 16

4.已知lgx lgy 1，则【范例导析】 例1.已知x

52

的最小值是xy

51，求函数y 4x 2 的最大值. 44x 5

分析：由于4x 5 0，所以首先要调整符号. 解：∵x ∴y=4x-2+

5

∴5 4x 0 4

11

= 5 4x 3≤-2+3=1 4x 5 5 4x

1

，即x=1时，上式成立，故当x=1时，ymax 1. 5 4x

当且仅当5 4x

例2.（1）已知a，b为正常数，x、y为正实数，且

ab

+=1，求x+y的最小值。 xy

（2） 已知x 0，y 0，且x 2y xy 30，求xy的最大值．

分析：问题（1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于xy的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解.

解:(1)法一：直接利用基本不等式：x+y=(x+y)(

abbxay

+)=a+b++≥当且仅当xyyx

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aybx x=y x=a

，即

a+b=1 y=b

xy

法二： 由

abay

+=1得x= xyy-b

aya(y b) ab

y yy by b

abab a y (y b) a b

y by b x y

∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由

ay

>0得y-b>0 ∴

x+y≥ y-b

ab

y-b=y-b y=b

当且仅当 ，即

a+b=1 x=a

xy

（2）法一：由x 2y xy 30，可得，y

30 x

　(0 x 30)． 2 x

30x x2 (2 x)2 34(2 x) 6464 xy 34 (x 2) 2 x2 xx 2

注意到(x 2) 当且仅当x 2

6464

2(x 2) 16．可得，xy 18． x 2x 2

64

，即x 6时等号成立，代入x 2y xy 30中得y 3，故xy的最大值为18． x 2

法二： x,y R ， x 2y 22xy 22 xy， 代入x 2y xy 30中得：22 xy xy 30 解此不等式得0 xy 18．下面解法见解法一，下略．

点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.

【反馈练习】

1.设a＞1,且m loga(a 1),n loga(a 1),p loga(2a),则m,n,p的大小关系为 2.已知下列四个结论：

2

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①若a,b R,则b a 2b a 2； ②若x,y R ,则lgx lgy 2lgxlgy；

a

b

ab

③若x R ,则x 4 2x 4 4； ④若x R ,则2x 2 x 22x 2 x 2。

x

x

其中正确的是④ 3.已知不等式(x y)(

1xa

) 9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为y

x2 y2

4.（1）已知：x y 0，且：xy 1，求证： 22，并且求等号成立的条件．

x y

xy

（2）设实数x，y满足y+x2=0，0<a<1，求证：logaa+a≤loga2

1。 8

解： （1）分析：由已知条件x，y R ，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有x y，无法利用x y 2xy，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现(x y) 证明： x y 0, x y 0.

1

型，再行论证．

(x y)

又 xy 1,

2x2 y2(x y)2 2xy2

(x y) 2(x y) 22.等号成立

x yx yx y(x y)

当且仅当(x y)

2

时． (x y)2 2,x y 2,x2 y2 4.

(x y)

6 26 2

,y

22

xy 1, (x y)2 6, x y .由以上得x

6 2 2

时等号成立． ,y

22

即当x

说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思

维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式． （2）∵ a a≥2a

x

y

x y

x x2

2a2

111 (x )2 2a228

，

1111

(x )2 ≤，0<a<1 2288

≥2a ∴ a a≥2a

1

(2a8

111 (x )2 228∴ 2a

1

8

xy

18

∴ loga(ax ay)≤loga

) loga2

1 8

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第2课 一元二次不等式

【考点导读】

1. 会解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。 2. 能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题. 【基础练习】 1.解不等式：

123

x x 0 22

1232

（3） x 1 x 3 2x x 2（4） 4 x x 2

22

22

解：（1）原不等式化为3x 4x 4 0，解集为 x 2

3

（1） 3x 4x 4 0 （2）

2

（2）原不等式化为x 2x 3 0，解集为R （3）原不等式化为x x 1 0，解集为

2

2

3 12

x x 4 x2 2x 1 0123 2 2

,得 2（4）由2 x x 4,得

22 x 2x 5 0 1x2 x 3 2

22

x 1或

x 1,

得

1 x 1

x (1,1) 11)

点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程 的判断、以及对应方程两根大小的比较. 2. 函数y

log1(x2 1)的定义域为

1

2

3..二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

则不等式ax2+bx+c>0的解集是( , 2) (3, )

4.若不等式x bx c 0的解集是{xx 3或x 1}，则bc【范例导析】

2

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例.解关于ｘ的不等式

a(x 1)

1(a 1)

x 2

分析：本题可以转化为含参的一元二次不等式，要注意分类讨论.

解:原不等式等价于

(a 1)x (a 2)

0∵a 1∴等价于：

x 2

a 2

a 1 x

a 1 0 （*）

x 2

a 2

>0∵a 2 1 1<１∴x<a 2或x>２ a>１时，（*）式等价于

a 1a 1a 1x 2

a 2x

<0由２－a 2＝a知： a<１时，（*）式等价于

a 1a 1x 2

a 2a 2

当0<a<１时，>２，∴２<x<；

a 1a 1a 2a 2

当a<0时，<２，∴<x<２；

a 1a 1a 2

当a＝0时，当＝２，∴x∈φ

a 1

a 2

综上所述可知：当a<0时，原不等式的解集为（，2）；当a＝0时，原不等式的解集为φ；当0<a<

a 1

a 2a 2

１时，原不等式的解集为（2，）；当a>１时，原不等式的解集为（－∞，）∪（2，＋∞）。

a 1a 1

x

思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.

【反馈练习】

1.若关于x的不等式ax ax a 1 0,的解集为R，则a的取值范围是 ,0

2

2.不等式ax bx 2 0解集为 3.若函数

f(x) =

2

11

x ，则ab值分别为23

，的定义域为R，则a的取值范围为 10

4.已知M是关于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范

围，并用a表示出该不等式的解集.

解：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，

由x 0适合不等式故得(a 1)(2a 3) 0，所以a 1，或a 若a 1，则 2a 3

3. 2

a 1a 15

( a 1) 5，∴3 2a ，

222

a 1

x 3 2a}； 此时不等式的解集是{x|2

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a 13a 155

( a 1) ，∴3 2a ，由 2a 3 ，

22224

a 1

。 此时不等式的解集是{x|3 2a x 2

若a

第3课 线性规划

【考点导读】

1. 会在直角坐标系中表示二元一次不等式、二元一次不等式组对应的区域，能由给定的平面区域确定所

对应的二元一次不等式、二元一次不等式组.

2. 能利用图解法解决简单的线性规划问题，并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究代数问题的思

想. 【基础练习】

1.原点（0,0）和点P（1,1）在直线x y a 0的两侧，则a的取值范围是0<a<2

2. 设集合A则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)＝(x,y)|x,y,1 x y是三角形的三边长，是( A )

A B C D

3.下面给出四个点中，位于 Ａ．(0，2)

x y 1 0，

表示的平面区域内的点是（ C ）

x y 1 0

Ｃ．(0， 2)

Ｄ．(2，0)

Ｂ．( 2，0)

x y 2 0

4.由直线x+y+2=0，x+2y+1=0，2x+y+1=0围成的三角形区域（不含边界）用不等式表示为 x 2y 1 0

2x y 1 0

5.在坐标平面上，不等式组 【范例导析】

y x 1所表示的平面区域的面积为3

2 y 3x 1

x 4y 3

例1.设x,y满足约束条件 3x 5y 25,求目标函数z=6x+10y的最大值，最小值。

x 1

分析：求目标函数的最值，必须先画出准确的可行域，然后把线性目标函数转化为一族平行直线，这样就

把线性规划问题转化为一族平行直线与一平面区域有交点，直线在y轴上截距的最大值与最小值问题. 解：先作出可行域，如图所示中 ABC的区域，

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且求得A(5,2),B(1,1),C(1,

22) 5

例1图

作出直线L0：6x+10y=0，再将直线L0平移

当L0的平行线过B点时，可使z=6x+10y达到最小值 当L0的平行线过A点时，可使z=6x+10y达到最大值 所以zmin=16;zmax=50

点拨：几个结论：(1)、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。 （2）、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。

x y 2 0

例2.已知 x y 4 0，

2x y 5 0

（1） 求z x 2y的最大和最小值。 （2） 求z

y

的取值范围。 x

（3） 求z x2 y2的最大和最小值。 解析：注意目标函数是代表的几何意义. 解：作出可行域。 （1）z x 2y y （3，1）， z

1z1zx y 4 0

x ，作一组平行线l：y x ，解方程组{2x y 5 0得最优解B2222

x y 2 0

。解{2x y 5 0得最优解C（7，9）， z7 2 925xma

mni

3 2 15

（2）z y y 0表示可行域内的点（x,y）与（0，0）的连线的斜率。从图中可得，k z k，

OBOA

xx 0

又k

1， 1 z 3。

3,k OAOB33

2222（3）z x y (x 0) (y 0)表示可行域内的点（x,y）到（0，0）的距离的平方。从图中易

得，z

（OF为O到直线AB的距离），z O2，

OC2。

minmax

OF

，

OF2 8,OC2 130， z

max

130，z 8。

min

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点拨：关键要明确每一目标函数的几何意义，从而将目标函数的最值问题转化为某几何量的取值范围. 例3．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 分析：本例是线性规划的实际应用题，其解题步骤是：（1）设出变量，列出约束条件及目标函数；（2）画出可行域（3）观察平行直线系z 3000x 2000y的运动，求出目标函数的最值. 解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为

x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得

x y≤300，

500x 200y≤90000，

x≥0，y≥0.

目标函数为z 3000x 2000y．

x y≤300，

二元一次不等式组等价于 5x 2y≤900，

x≥0，y≥0.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图：

作直线l:3000x 2000y 0，

l

即3x 2y 0．

平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值． 联立

例3

x y 300，

解得x 100，y 200．

5x 2y 900.

200)． 点M的坐标为(100，

zmax 3000x 2000y 700000（元）

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70

万元．

【反馈练习】

x y 5≥ ，

1.不等式组 y≥a，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是5≤a 7

0≤x≤2

x 2 0,

2.已知点P（x，y）在不等式组 y 1 0,表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值范围是[－1，2]

x 2y 2 0

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x y 5, 3x 2y 12,

3.设x、y满足约束条件 则使得目标函数z 6x 5y的最大的点(x,y)是（2,3）．

0 x 3, 0 y 4.

x y≥2，

4.已知实数x，y满足 x y≤2，则z 2x y的取值范围是 5，7

0≤y≤3，

5.画出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值和最小值.

分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值

解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域 直线AB的方程为x+2y－1=0，BC及CA的直线方程分别为x－y+2=0，2x+y－5=0 在△ABC内取一点P（1，1），

分别代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5 得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0 因此所求区域的不等式组为

x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0

33x，观察图形可知：当直线y=x2第10题 2

1131－t过A（3，－1）时，纵截距－t最小t最大，tmax=3×3－2×（－1）=11；当直线y=x－t2222

1

经过点B（－1，1）时，纵截距－t最大，此时t有最小值为tmin= 3×（－1）－2×1=－5

2

作平行于直线3x－2y=0的直线系3x－2y=t（t为参数），即平移直线y=

因此，函数z=3x－2y在约束条件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值为11，最小值为－5 。

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第4课 不等式综合

【考点导读】

能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等. 【基础练习】

1.若函数f x x

11 x 2 ,g x x 2 2

x2 2

x 0 ，则f x 与g x 的大小关系是

f x g x

2

2.函数f x 2 ax a在区间 0,1 上恒为正，则a的取值范围是

3.当点 x,y 在直线x 3y 2 0上移动时，z 3 27 1的最小值是x

y

4.对于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3恒成立，则x的取值范围是【范例导析】

例1、已知集合P ,2 ，函数y log2ax2 2x 2的定义域为Q

2 （1）若P Q ，求实数a的取值范围。

（2）若方程log2ax2 2x 2 2在 ,2 内有解，求实数a的取值范围。

2

分析：问题（1）可转化为ax 2x 2 0在 ,2 内有有解；从而和问题（2）是同一类型的问题，既

2可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数.

2

解：（1）若P Q ， ax 2x 2 0在 ,2 内有有解 a 2

xx 2

2

1

1

1

1

22

1 221 1 11

令u 2 2 当x ,2 时，u 4,

2 x2x 2 x2

所以a>-4,所以a的取值范围是aa 4

2

（2）方程log2ax 2x 2 2在 ,2 内有解， 则ax 2x 2 0在 ,2 内有解。

22

2

2

1

2

1

22 11 1

a 2 2

xx x2 2

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当x ,2 时，a ,12

22

所以a ,12 时，log2ax2 2x 2 2在 ,2 内有解 22点拨：本题用的是参数分离的思想.

例2.甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成．．．．．．．本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度vkm/h的平方成正比，且比例系数为b；．

固定部分为a元．

（1）把全程运输成本y元表示为速度vkm/h的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解 解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为

1

3

3

1

s

h，全程运输成本为 v

ssaa

y a bv2 s( bv)．故所求函数为y s( bv)，定义域为v (0，c)．

vvvb

（2）由于s、a、b、v都为正数，

故有s( bv) s 2

avaa

bv，即s( bv) 2sab．

vb

当且仅当

aa

bv，即v 时上式中等号成立． vb

若

aa

时，全程运输成本y最小； c时，则v

bb

aaa

c，易证0 v c，函数y f(v) s( bv)单调递减，即v c时，ymin s( bc)．

vcb

当

综上可知，为使全程运输成本y最小， 在

aa

； c时，行驶速度应为v

bba

c时，行驶速度应为v c． b

在

点拨：本题主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．

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【反馈练习】

1.设0 a 1，函数f(x) loga(a2x 2ax 2)，则使f(x) 0的x的取值范围是(0, )

2.如果函数y log1(x2 2x 3)的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数a的取值范围是____3

3.若关于x的不等式x2 4x m对任意x [0,1]恒成立，则实数m的取值范围为( , 3]

4已知二次函数f (x)=ax2 bx 1 a,b R,且a 0 ,设方程f (x)=x的两个实根为x1和x2．如果x1<2＜x2<4，且函数f (x)的对称轴为x=x0，求证：x0＞—1．

证明：设g(x)= f (x)—x=ax2 b 1 x 1，且a 0.，由x1 2 x2 4得g 2 0，且g(4)>0，即

4a 2b 1 0,31311

4a b 2a,由 4a 2a,得a ,

2428 16a 4b 3 0,4

∴2

3b1b1

1 ,故x 1 1.

18a2a4a2a

4 8

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3l3e.html