自动控制理论答案(孙扬声版)

T2-1 判断下列方程式所描述的系统的性质：线性或非线性，定常或时变，动态或静态。

1dy?t?d2y?t?2； （4）sin?t?y(t)?3u(t)； ??????yt?u(t)?ut（1）2y?t??3t； （3）2dtdt2（7）在图T2-1中去掉一个理想二极管后，情况如何？

解：先区别几组概念（线性和非线性；定常和时变；动态和静态） 线性系统（即系统变量间的关系）：多项式形式，各项变量的幂指数为1； 非线性系统：多项式形式，各项变量的幂指数不全为1； 定常系统：系统参数与时间无关；

时变系统：系统参数与时间有关； 静态系统：输入到输出没有过渡过程； 动态系统：输入到输出有过渡过程。（笔者认为在判断系统静态或动态的时候，我们可以看多项式里面有没有积分或微分。若有积分或微分，为动态系统；若积分和微分都没有，为静态系统。） 题号 分析 a、y(t)的幂指数为2，非线性； 系统性质 d2y(t)（1） b、变量（把因变量或激励量的各阶导数的一次幂看作一dt2个变量）的系数为3t，是时间的函数，时变； c、多项式含有微分，动态。 a、激励量u(t)的幂指数为（3） 非线性，时变，动态 1，不为1，非线性； 2b、各变量的系数均为常数，与时间无关，定常； c、式中不含微分、积分，静态。 a、各变量的幂指数均为1，线性； 非线性，定常，静态 （4） b、变量dy(t)的系数sin?t与时间有关，时变； dt线性，时变，动态 c、式中含有微分，动态。 L（7） Ldy(t)1?（?y(t)?u(t)；?I)、u(t)?0,i(t)?0时： RdtR??（?II)、u(t)?0,i(t)?0时：y(t)?0.在一个正弦周期内，系统非线性、定常、动态。 u(t)V1V2Ry(t)图T2-1 交流电路系统u(t)—输入电压；y(t)—输出电压；V1、V2—理想二极管非线性、定常、动态 T2-2 已知动态系统对输入信号u(t)的响应，试判断下列三个系统是否为线性的：

（1）y(t)?x?0??u(?)d?；

2t?0t0（2）y(t)?3x?0??u(?)d?；

?（3）y(t)?ex?0??e?tt?0?t??u(?)d?。

解：先分清x?0?和u?t?这两个量：x?0?为状态变量（初始状态或初始条件）；u?t?为输入变量。 零状态线性和零输入线性的判定方法：

(I) 当x?0??0时，为零状态，对应的输出称为零状态响应，此时看输出y?t?与输入u?t?的关系是否满足线性，若满足，则为零状态线性；

(II) 当u?t0??0时，为零输入，对应的输出称为零输入响应，此时看输出y?t?与初始状态x?0?的关系是否满足线性，若满足，则为零输入线性； (III) 当（I）、(II)都满足时，就既满足零状态线性又满足零输入线性。 题号 分析 系统性质 a、当x?0??0时，为零状态，此时输出y?t?与输入u?t?满足线性关系，故满足零状态线性； （1） b、当u?t0??0时，为零输入，此时输出y?t?与初始状态x?0?不满足线性关系，故不满足零输入线性； 综上a、b知，系统仅满足零状态线性。 （2） 分析方法同（1） （3） 分析方法同（1） T2-3 有一线性动态系统，分别用t?0时的输入u1?t?,u2?t?,u3?t?,t??0,??,对其进行试验。它们的初始状态都相同，且x?0??0,三种试验中所得输出若为y1?t?,y2?t?,y3?t?试问下列预测是否正确： 。（1）若u3(t)?u1(t)?u2(t),则y3(t)?y1(t)?y2(t)； （2）若u3(t)?u1(t)/u2(t),则y3(t)?y1(t)/y2(t)； （3）若u1(t)?2u2(t),则y1(t)?2y2(t)； （4）若u1(t)?u2(t),则y1(t)?y2(t)。

仅满足零状态线性 既满足零状态线性又满足零输入线性 既满足零状态线性又满足零输入线性 如果x?0??0,哪些预测是正确的？

解：因为系统为线性动态系统，所以不妨设：y(t)?x?0??u(?)d?

t?0x?0?所处情况 题号 分析 采用叠加原理，结果 （1） y3(t)?x?0???u3(?)d?????????x?0???[u1(?)?u2(?)]d?u3(t)?u1(t)?u2(t)00tt x?0??0, 此时：?2x?0???[u1(?)?u2(?)]d??y1(t)?y2(t),(只因为x?0?的存在）0t 不正确 （2） 系统线性不正确 ?系统同时满足可加性和齐次性；商运算不在其中，故不正确。 tty(t)?x?0???u(?)d? 0t2(t)?2u1(t)y2(t)?x?0???u2(?)d??u??????x?0???2u1(?)d?（3） 00?2x?0???2u1(?)d??2y1(t)，-(只因为x?0?的存在）0t 不正确 （4） y2(t)?x?0??u2(?)d???????x?0??u1(?)d??y1(t)，恒等。tt?0u2(t)?u1(t)?0正确 正确 不正确 正确 正确 x?0??0, 此时： t（1） （2） （3） （4） 与上一种情况比较 同上一种情况 与上一种情况比较 恒等式 y(t)??u(?)d? 0 T2-8 已知线性动态系统的状态方程为

?1x???0??0?0110??0??0?u 0?x?????2???1??y??1

10?x；x(0)??010?

T试求由单位阶跃u?1(t)输入所引起的响应y(t)。

解：依题意，该线性系统的各系数矩阵为

?1A???0??0?s?1(sI?A)???0??00s?1?10110??0??0?；c??10?；b?????2???1??

1?0??；0?；x?0???1?? ??0??0s?1?100??s?1??s?2?； s?220?s?10?det(sI?A)?0?；s?2?0?

?(s?1)(s?2)adj(sI?A)??0??0?0(s?1)(s?2)0??(s?1)(s?2)?(s?1)??0???(s?1)2?0??

0T0(s?1)(s?2)(s?1)?0??0?； ?1?s?2???0?

?；(s?1)2??0?1?s?1adj(sI?A)??1(sI?A)???0det(sI?A)??0??查拉氏（Laplace）变换表得：

状态转移矩阵

01s?111?s?2s?1??t??L?1?(sI?A)?1??et???0?0?0ete2t?et0???10?；（其中L为拉氏反变换的函数符号） e2t??

y(t)?c?(t)x(0)??c?(t??)bu(?)dt0t??11?et?0??0?0?0ete2t?et0??0????t0??1????102t?e???0??

1?et???0??0?0?0et??e2(t??)?et??0??0???0???0?1(?)dt e2(t??)??1?????et?0?et.

补充：如何求n阶矩阵的伴随矩阵？第一步：先找出该n阶矩阵中每一元素在其行列式中所对应的代数余子式Aij；第二步：将得到的代数余子式Aij取代其对应元素所在的位置并写成矩阵的形式，并将此矩阵命名为新矩阵；第三步：将新矩阵转置即得所求伴随矩阵。如何计算Aij：?Aij??-1?M（j为该元素所在的列数）；iji为该元素所在的行数，i?j其中Mij为元素的余子式，即在该n阶矩阵的行列式中，划去所取的任一元素所在的行和列之后，剩下的（n?1)阶行列式的值。以本题为例，同学们检验一下，看看自己是否已掌握了伴随矩阵的求法。

T2-11 已知线性动态系统中

?0A???0???3试求系统的传递函数G(s)。

解：依题意：

1000??0??0?，C???21?，B??????2???1??30?

0??s?1?；(sI?A)??0s?1??

?0s?2??3?det(sI?A)?s2?s?2??3；

?s(s?2)adj(sI?A)???(s?2)??1所求传递函数

?3s(s?2)s?3s??s(s?2)??3?3????2?s????3sT(s?2)s(s?2)?3

1?

s??；s2??G(s)?Cadj(sI?A)Bdet(sI?A)??2??

T2-13 已知系统的传递函数为

3(s?2)?s(s?2)0??s(s?2)??3??3??3ss2?s?2??31??0??0?s????2s????1??3s?2.s3?2s2?3

积分因子数n=1 积分因子数n=2 积分因子数n=3 1积分因子：. s11? 1?KK0 （K为比例因子） ? ? 注意观察:N?0?1?n?1 注意观察:N?0?2?n?1 1 K注意观察:N?0?n?1 0 1 ? 注意观察:N?1?2?n?1 1 K注意观察:N?1?0?n?1 0 注意观察:N?1?n?1 0 2 注意观察:N?2?0?n?1 注意观察:N?2?1?n?1 0 0 注意观察:N?2?n?1 0 3 注意观察:N?3?0?n?1 注意观察:N?3?1?n?1 注意观察:N?3?2?n?1 0 0 0 N>3

注意观察:N?n?1 注意观察:N?n?1 注意观察:N?n?1 此表表明：系统的型N（其中N为开环传递函数G0?s?的积分因子数）越高，稳态误差越小。

记忆此表的方法（请参考）：对于输入函数满足r?t??

1k拉氏变换1t?????R?s??k?1时， k!s???1令k?1?n,由表易知：e??????K?0（N?n-1）. （N?n-1）（N?n-1）

以本题为例

1010104开环传递函数G0(s)??，系统为N?1型，比例因子K??2.5s(4?s)s(1?1S)44

m??母中含有形如（ms?k）的式子都化为（s?1）的形式，?比例因子K怎么求：先把分子和分?k???最后化得的开环传递函?数G0?s?中的系数即为K.??氏变换(1)、?r?t??10t?拉????R?s??10,s2?e????et????1010??4；K2.5466??,ss2s3

氏变换(2)、?r?t??4?6t?3t2?拉????R?s??6????；K46610.8氏变换(3)、?r?t??4?6t?3t2?1.8t3?拉????R?s???2?3?4,ssss6?e????e1????et????ett????ett?t???0???????；K?e????e1????et????ett????0?

T4-12 某具有扰动输入的反馈控制系统如图T4-12所示，如果其参考输入量和扰动量都是单位阶跃信号，即

r(t)?d(t)?1(t)

D(s)R(s)E(s)??Ks?1??1s?3Y(s)图T4-12 具有扰动的单位反馈系统试求其频域响应Y?s?、频域误差E?s?以及时域的稳态误差e???。 解：利用Mason公式知：

K11?s?3Y?s??s?1s?3R?s??D?s?K1K11??1??

s?1s?3s?1s?31r(t)?d(t)?1(t),R?s??D?s??K?s?1s??????????s(s?1)(s?3)?Ks1K?s?1E?s??R?s??Y?s???

ss(s?1)(s?3)?Ks

e????limsE?s??1?s?0k?12?. k?3k?3

题后小记

K11?s?3为便于理解：Y?s??s?1s?3R?s??D?s?K1K11??1??s?1s?3s?1s?3特此作出以下推导：令Y?s??YR?s??YD?s?；......（叠加原理）其中：K1?YR?s??s?1s?3R?s?；.....(YR?s?表示的是R?s?单独作用下，输出对输入的响应)K11??s?1s?31s?3YD?s??D?s?；......(YD?s?表示的是D?s?单独作用下，输出对输入的响应)K11??s?1s?3

T4-13某具有扰动输入的反馈系统如图T4-13所示，设R(s)?D(s)?1/s。系统中各环节传递函数为

G1(s)?K0.05s?11G2(s)?s?5

G3(s)?2.5

要求：（1）求出系统的稳态误差及调差率；

（2）在扰动点左侧的前馈通路中串入积分因子1/s后，求系统的稳态误差及调差率； （3）在扰动点右侧的前馈通路中串入积分因子1/s后，求系统的稳态误差及调差率；

（4）在上列（2）的情况下，拟对扰动加装比例型补偿环节，以使调差率?s?0.04，试画出补偿方框图。

解：依题意，Y?s??YR?s??YD?s??G1?s?G2?s?G2?s?R?s??D?s?1?G1?s?G2?s?G3?s?1?G1?s?G2?s?G3?s?由图知：E?s??R?s??G3?s?Y?s??G2?s?G3?s?1R?s??D?s?1?G1?s?G2?s?G3?s?1?G1?s?G2?s?G3?s?

2.5111s?5????2.5K2.5Kss1?1?(0.05s?1)(s?5)(0.05s?1)(s?5)(0.05s?1)(s?2.5)?s(0.05s?1)(s?5)?2.5Ks（1）、e????limsE?s??2.5；s?05?2.5Ky???sY?s?G2?s?1?s??D??limD??lim??lim??lims?0s?0s?0yR???sYR?s?G1?s?G2?s?G1?s?s?011

??.KK(0.05s?1)D(s)R(s)??G1?s???G3?s?G2?s?Y(s)图T4-13 具有扰动的反馈系统

（2）、由图T4?13(2)知：s(0.05s?1)(s?2.5)E?s??2；s(0.05s?1)(s?5)?2.5Kse????limsE?s??0；s?0

?s??yD???sY?s?G2?s?11??limD??lim??lim??lim?0.s?01s?01KyR???s?0sYR?s?s?01?G1?s?G2?s??G1?s??sss(0.05s?1)D(s)R(s)??G1?s?1S??G3?s?G2?s?Y(s)图T4-13 (2)

（3）、由图T4?13(3)知：(0.05s?1)(s2?5s?2.5)E?s??2；s(0.05s?1)(s?5)?2.5Ks1e????limsE?s???；s?0K1?G2?s?yD???sYD?s?111s?s????lim??lim??lim??lim??.s?0G?s?s?01KyR???s?0sYR?s?s?0K1G1?s???G2?s?s(0.05s?1)D(s)R(s)

??G1?s???G3?s?1SG2?s?Y(s)图T4-13 (3)

（4）、由图T4?13(4)知：11K???G1?s?G2?s??G2?s?K???G1?s??1y???sY?s?ss ?s??D??limD??lim??lim??K??0.04；s?011yR???s?0sYR?s?s?0?G1?s?G2?s??G1?s?ss?K???0.04.D(s)K?R(s)???G1?s?1S??G3?s?G2?s?Y(s)图T4-13 (4)

T5-1 已知系统的闭环传递函数为

G(s)?当下列正弦信号作用于系统时，求系统的稳态响应：

（1）r(t)?sin(t?30)； （2）r(t)?2cos(2t?45)；

??10 11?s

（3）r(t)?sin(t?30?)?2cos(2t?45?)。 解：依题意，频率特性：G?j???10.

11?j?（1）、G?j????1?1011-j??0.905??5.2?11?j12.2

将输入信号r?t?用正弦相量形式表示：R?j????1?1?(t?30??90?)则系统稳态响应：y??j????1?G?j????1?R?j????1?0.905?(t?24.8??90?)用正弦函数形式表示：y??t??0.905sin(t?24.8?).（2）、G?j????2?1011-j2??0.894??10.3?11?j212.5

将输入信号r?t?用正弦相量形式表示：R?j????2?2?(2t?45?)则系统稳态响应：y??j????2?G?j????2?R?j????2?1.788?(2t?55.3?)用正弦函数形式表示：y??t??1.788cos(2t?55.3?).（3）、利用叠加原理以及(1)、(2)知：y??t??0.905sin(t?24.8?)?1.788cos(2t?55.3?).

T5-4(3) 画出下列传递函数的频率特性Nyquist图： （3）G(s)?250(1?s)；

s2(s?5)(s?15) 解：依题意：积分因子数N=2，极点数(n)－零点数(m)=4－1=3

250(1?j?)250?(75?19?2)250?(?2?55)分母有理化 G0(j?)????????2?j(j?)2(j??5)(j??15)?(25??2)(225??2)?(25??2)(225??2)三点成形：K250??????；N2?j0?75?j0?b12503（2）、当???时，G0?j???0???0???；a0?j??n?m?j??32（1）、当??0时，G0?j0??（3）、与实轴交点：令ImG0?j???0，即?2?55?0，???55??7.4rad/s250?(75?19?7.42)考虑正频率(0?????)特性:ReG0?j7.4???2??0.23.7.4?(25?7.42)(225?7.42)?

绘出该传递函数的正频率特性Nyquist图大致图形如下：

Im??55?0.23??0???0Re

知识点补充：K(N?0)??（1）、当??0时，G0?j0????，其中K为比例因子； ???????N??(N?0)???????2????b0?(n?m)?a0??j??m、?j??n的系数（2）、当???时，G0?j????，其中b0、a0分别为.??????0???n?m??????(n?m)????2????T5-7 某系统的开环幅频渐近特性如图T5-7所示，已知开环传递函数中的零点、极点均位于左半复平面上，

试写出其开环传传递函数。

60?20dB/decG0(ω)(dB)40?40200?12?20?1?25??rad/s??60图T5-7 幅频渐近特性

解：依题意，由图知：G0?s??K?1??1??s?1?s1??????1??2??s???容易看出：?1?5?0.5，10??从点??1，?40?到点?5，0?，纵轴的分贝幅值正好降低40dB，?横轴?刚好增加10倍频程。1点??1，40?的幅值由比例因子K和积分因子二者共同作用，s即：40?20lgK-20lg?1,解得：K?100?1?50；11点??2，-12?的幅值由比例因子K、积分因子和一阶滞后因子三者共同作用，1s1?s?1即：-12?20lgK-20lg?2-20lg综上知：G0?s???2，解得：?2?9.98?1

501??1??s?1?s??1?s?0.59.98????

题后小结：

（1）、比例因子K?1的对数幅频特性：LmK?20lgK?dB?；?dB?；11（2）、积分因子的对数幅频特性：Lm??Lm???20lg?sj?1（3）、一阶滞后因子的对数幅频渐近特性：1?j?T1T?dB?；1??T1（4）、二阶滞后因子22的对数幅频渐近特性：j?T?j?2?T?1?0?LmG????????20lg??T????

?0?LmG????????40lg??T??

1T1??T???dB?.T5-8 某系统的开环幅频渐近特性如图T5-8所示，已知开环零点、极点均位于左半复平面上，试确定系统的开环2传传递函数。

6052?20dB/decG0(dB)40?60?4020?40?2000.001?200.010.10.20.880.0020.00160.020.51??rad/s??20?40?40?60dB/dec图T5-8 幅频渐近特性

1??K?1?s?0.02??解：依题意，由图知：G0?s??11??1????s?1?s??1?s??1?s?0.00160.20.88??????1点?0.0016，52?的幅值由比例因子K和积分因子二者共同作用，s即：52?20lgK-20lg0.0016,解得：K?102.6?0.0016?0.64；1??0.64?1?s?0.64?1?50s?0.02???G0?s???.11??1?s?1?625s??1?5s??1?1.14s????s?1?s??1?s??1?s?0.00160.20.88??????T6-1 试判断图T6-1（a）、(b)所示两个系统的BIBO稳定性。

U(s)??1s?s?1?2(a)Y(s)U(s)????1s?s?1?2(b)Y(s)图T6-1 反馈系统方框图

1Y?s?1s?s?1?解：（a）、??22U?s?s?s?21?s?s?1?Y?s?-1?j7令s2?s?2?0得系统传递函数的特征根：?1,2?U?s?2?Re??1,2??0,系统BIBO稳定；1Y?s?1s?s?1?（b）、??2?1?2?s?s?3U?s?1?s?s?1?Y?s?1?j11令s2-s?3?0得系统传递函数的特征根：?1,2?U?s?2?Re??1,2??0,系统BIBO不稳定.T6-9 应用Routh判据确定下列特征方程的根中带正实部的根数、带零实部的根数及带负实部的根数： （1）s?5s?2s?10?0；

（3）2s?s?6s?3s?s?1?0； （5）s?s?2s?2s?8s?8?0。 解：（1）s?5s?2s?10?0 列出Routh阵列表如下：

行 列 1s1 1 5 -0.4 127 10 2 0 2 10 0 0 3 10 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 435432543243

?? 42s 3s??32?? ??104s 5s?? 第一列改变了两次符号，所以特征根中带正实部的根数为2个；带零实部的根数为0个；带负实部的根数为2个。

（注意：s的最高次方为总根数，再根据Routh阵列，看第一列有几次变号，即含几个带正实部的根，阵列表里面的数是怎么来的，请参考课本第135~136页，要求熟练掌握。）

（3）2s?s?6s?3s?s?1?0

5432

列出Routh阵列表如下：

行 列 1s5 2s4 3s3 1 2 1 0 ? 2 6 3 -1 3 1 1 0 4 0 0 0 ??????3?s3 4s2 5s 6s0 ?????0且??0? 3?1-1 0 0 ????1? 1 0 0 ?2?3??1? 3??11 0 0 0 ??0 0 0 第一列改变了两次符号，所以特征根中带正实部的根数为2个；带零实部的根数为0个；带负实部的根数为3个。

（5）s?s?2s?2s?8s?8?0 列出Routh阵列表如下：

行 列 1s 2s1 1 1 -4 2 16 8 2 -2 2 0 8 0 0 3 8 8 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5432??54?? ??323s 4s?? ??105s 6s?? 第一列改变了两次符号，所以特征根中带正实部的根数为2个；带零实部的根数为0个；带负实部的根数为3个。

T6-12 有一系统的特征方程为

s3?(??1)s2?(????1)s?(??1)?0

试讨论使系统稳定时?，?的取值范围。

解：列出Routh阵列表如下：

行 列 1s3 2s2 3s1 4s0 1 1 2 3 0 0 ??????1 ??1 0 ??????1 ?????? ??1??1 0 ??0 0 欲使系统稳定，则需满足特征方程的全部系数均为正值且Routh阵列中的第一列各项均为正号。

???1?0???????即?????1?0且?0，解得：??0,??1.

??1???1?0?T6-13 给定下列闭环系统的开环传递函数，试应用Nyquist判据判断这些闭环系统的稳定性： （1）G0(s)?2s?1；

2(s?1)10。

(1?s)(1?2s)(1?3s)（2）G0(s)?解：（1）、?G0(s)?2s?1，?G0(s)在不含虚轴的右半s平面上不含极点，即P0?02(s?1)j2??11?2?2?j?G0(j?)??,积分因子数为0，极点数?零点数?1?1?0.22(j??1)21??1当??0时，G0(j0)?；当???时，G0(j?)?1.2画出G0(j?)的Nyquist图，如图(a)所示：????

Im0.250-1??00.51???Re图?a?

?-1，j0?，即N?0.由图?a?知，G0?j??的Nyquist曲线不包围点???N?P0?0,?闭环系统是稳定的。（2）、?G0(s)?10，?G0(s)在不含虚轴的右半s平面上不含极点，即P0?0(1?s)(1?2s)(1?3s)1010?1?11?2??j?6?3?6??G0(j?)??,222(1?j?)(1?2j?)(1?3j?)?1????1?4???1?9??积分因子数为0，极点数?零点数?3?0?3.3当??0时，G0(j0)?10；当???时，G0(j?)?0???.2令ImG0(j?)?0得???1rad/s,考虑正频率特性，此时：ReG0(j1)??1；1rad/s?0.3rad/s,考虑正频率特性，此时：ImG0(j0.3)??6.1.11画出G0(j?)的Nyquist图，如图(b)所示：令ReG0(j?)?0得???Im??

-1???0??010Re-6.1图?b?

?-1，j0?，由图?b?知，G0?j??的Nyquist曲线通过点?闭环系统临界稳定，即不稳定。T6-14 已知系统的开环Nyquist图如图T6-14所示。图中P右代表系统开环传递函数在右半s平面上的极点数，试判断它们的稳定性。

题后小结：ImIm???-1Re-1?????0Re??0?a?P右?2?b?P右?0ImIm??0???-1???Re-1Re??0?c?P右?0?d?P右?0ImIm??0???????0-1Re-1Re??e?P右?0?f?P右?1? 题号 P右 N ???N?P右? 系统稳定性 （a） 2 -2 0 稳定 （b） 0 2 2 不稳定 （c） 0 0 0 稳定 （d） 0 2 2 不稳定 （e） 0 2 2 不稳定 （f） 1 1 2 不稳定

?1?、在Nyquist曲线中，正频率曲线与负频率曲线关于实轴对称；?2?、当??0时的曲线与坐标轴交于无穷远处时，应从Nyquist曲线的??0?处沿顺时针环绕n??到??0?处,其中n为开环传递函数的积分因子数，在坐标图上怎么看出n的值：应从正实轴开始，顺时针走过?角到??0?处，????”负号是因为规定沿顺时针走过的角度为负；?——式中的“2???3?、Nyquist曲线包围点??1，j0?的次数N怎么算？??n????在Nyquist曲线画正确的前提下?，请参考：笔者提供两种方法法一：注意顺时针包围为N正，逆时针包围N为负；我们从????处开始，沿行进方向，从上一次穿过实轴到下一次穿过实轴计数一次1（此时Nyquist曲线只走过了180?，所以每次只能计圈，2其正负根据顺时针包围还是逆时针包围去判断）；??????0??????就停止；走完一个周期法二：如果不喜欢数圈，那就“穿越”吧，这样快。我们定义Nyquist曲线在点??1，j0?以左穿过负实轴时，称为“穿越”，穿越又有正穿越和负穿越之分（二者的区别请见图A-B)。其中：N?负穿越次数?正穿越次数

?a?~图?b?的N.同学们可以用穿越的方法去计算一下本题中图正穿越负穿越Im-1-?????0Re+不称为穿越N?负穿数—正穿数?2-2?0图A?B

请同学们把第七章的例题7-2、7-3、7-4看懂。

例7-2.解：依题意，原系统的开环传递函数：G0(s)?20.

(1?5s)(1?0.5s)(1?0.05s)调整开环增益K?20至K?40，则G0(s)?40.

(1?5s)(1?0.5s)(1?0.05s)频率特性：G0(j?)?40.

(1?j5?)(1?j0.5?)(1?j0.05?)此时，剪切点频率为?c，对应的相位裕量为?，则

由20lg40?20lg5?c?20lg0.5?c?0，得?c?4rad/s,

??180???(G0(j?c)?180??tg?15?c?tg?10.5?c?tg?10.05?c?18?.

采用超前校正，根据?和?，必须添加的相位超前量：??????50??18??32?.

??????37?，则 预想一个裕量??5，则新超前量：?max????1?sin?max?4.02 ?1?sin?max根据调整增益后的Bode图，确定 LmG0??1Lm???6.04dB 处的频率?max，对应的相位裕量??. 220lg40?20lg5?max?20lg0.5?max??6.04得?max?5.66rad/s,

???180???(G0(j?max)?180??tg?15?max?tg?10.5?max?tg?10.05?max?6?.

????????44???max??37?. 根据?和??，必须添加的相位超前量：?max????????49?，??说明预想的裕量?不足，另选??17，重新计算新超前量：?max根据调整增量后的Bode图，确定 LmG0????1?sin?max?7.15 ?1?sin?max1?，对应的相位裕量??. Lm???8.54dB 处的频率?max2??20lg0.5?max???8.54得?max??6.54rad/s, 20lg40?20lg5?max?)?180??tg?15?max??tg?10.5?max??tg?10.05?max??1?. ???180???(G0(j?max??6.54rad/s，得T2?????????49???max??49?.故选??7.15,?max?max1???max?0.057s,?T2?0.41s.

所以，校正后的开环传递函数为：G0(s)?

40(1?0.41s).

(1?5s)(1?0.5s)(1?0.057s)(1?0.05s)例7-3.

解：依题意，原系统的开环传递函数：G0(s)?50， 2(1?5s)(1?0.05s)频率特性：G0(j?)?50.

(1?j5?)(1?j0.05?)2此时，剪切点频率为?c，对应的相位裕量为?，则 由20lg50?20lg5?c?0，得?c?10rad/s,

??180???(G0(j?c)?180??tg?15?c?2tg?10.05?c?38????50?.

?处的相位裕量???????55?. 估计一个裕量??5，调整开环增益至K?，使新剪切点?c?则此时，开环传递函数为：G0(s)?K?,

(1?5s)(1?0.05s)2频率特性：G0(j?)?K?. 2(1?j5?)(1?j0.05?)?)?180??tg?15?c??2tg?10.05?c?由???180???(G0(j?c??180??90??2tg?10.05?c?55?.??6.3rad/s. 得?c??0得：K??31.5 又由20lgK??20lg5?c采用滞后校正，从检查点A向右下方作一斜率为?40dB/dec的线段交调整后的幅频渐近线于点A， 由20lg100?40lg5?A?20lg31.5?20lg5?A得：?A?0.63rad/s. 与点A、A对应的频率即为该环节在Bode图上的两个转角频率，

即T1?

11?5s，?T1??1.6s，??0.32. 0.20.63所以，校正后的开环传递函数为：G0(s)?

100(1?1.6s).

(1?5s)2(1?0.05s)2例7-4.

解：原系统的开环传递函数：G0(s)?20

(1?5s)(1?0.5s)(1?0.05s)频率特性：G0(j?)?20

(1?j5?)(1?j0.5?)(1?j0.05?)此时，剪切点频率为?c，对应的相位裕量为?，则

由20lg20?20lg5?c?20lg0.5?c?0，得?c?2.83rad/s,

??180???(G0(j?c)?180??tg?15?c?tg?10.5?c?tg?10.05?c?31?.

①先采用超前校正，同时调整增益至K?，

????????34?， 估计一个裕量??5，根据?和?，必须添加的相位超前量：?max?1?sin?max则???3.54，

?1?sin?max?T2?1??c?1?0.19s，?T2?0.66s?0.5s.

3.54?2.83故由20lgK??20lg5?c?0 得：K??14.15. ②再采用滞后校正，Kv线与LmK?线的交点为A，则 由20lg100?20lg50?A?20lg14.15得：?A?0.14rad/s. 故T1?11?50s，?T1??7.14s，??0.143. 0.020.14综上①②知，校正后的开环传递函数为：G0(s)?

100(1?7.14s)(1?0.66s).

(1?50s)(1?5s)(1?0.5s)(1?0.19s)(1?0.05s)

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