图形的平移和旋转（经典教案和习题）

§3.1 生活中的平移

一、新知要点

(1)平移的概念 （2）平移的特点 (3)平移的基本性质

火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿着一条直线运动的，那么在运动的过程中这些物体的形状、大小、位置等因素中,哪些没有发生改变? 哪些发生了变化?这种运动就叫做什么？

1.图形的平移

例1:下图中的图形A向右平移了6格得到图形A′ A′ A

(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小。

（2）平移的特点：

①平移是指整个图形平行移动，包括图形的每一条线段，每一个点。经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。

②平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。

例2、观察下图△ABE沿射线XY的方向平移一定距离后成为△CDF。找出图中存在的平行且相等的三条线段和一组全等三角形。

(3) 平移的基本性质：

经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

二、新知巩固（练习）

1.平移改变的是图形的 （ ）

A 位置 B 大小 C 形状 D 位置、大小和形状 2.经过平移，对应点所连的线段 （ ）

A 平行 B 相等 C 平行且相等 D 既不平行,又不相等

3.经过平移,图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离,下面说法正确的是（ ）

A 不同的点移动的距离不同 B 既可能相同也可能不同 C 不同的点移动的距离相同 D 无法确定 4.如图，四边形ABCD平移后得到四边形 EFGH， 填空（1）CD=______， （2）∠ F＝______

（3）HE= ，（4）∠D=_____， （5）DH=_________。

5.如图，若线段CD是由线段AB平移而得到的， 则线段CD、AB关系是__________.

6.试着做一做：

（1）把图形向右平移7格后得到 （2）把图形向左平移5格后到的图形涂上颜色。 的图形涂上颜色。

（3）画出小船向右平移6格后的图形 (4)画出向右平移6格后的图形

三、归纳小结 ●通过本节课的学习，我们明白了什么叫平移。（在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。） ●总结出了平移的性质。（平移不改变图形的形状和大小。经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。） 四、课外作业：

1.将长度为3cm的线段向上平移20cm，所得线段的长度是（ ）

A 3cm B 23cm C 20cm D 17cm 2.关于平移的说法，下列正确的是（ ）

A 经过平移对应线段相等； B 经过平移对应角可能会改变 C 经过平移对应点所连的线段不相等； D 经过平移图形会改变、 3.把可以平移到黑色

位置的

涂上颜色。

4. 把图中的三角形ABC（可记为△ABC）向右平移６个格子，画出所得的△ABC。

'''

ACB

§3.2 简单的平移作图

一、知识回顾 1.平移的概念 2.平移的性质 二、新知要点

1.平移图形的规律，作图的顺序； 2.平行线的作法及对应点的连结；

3.平移三要素：原图形位置，平移方向，平移距离。

例1：观察理解平移后的图形。

例2： 把图中的三角形ABC（可记为△ABC）向右平移8个格子，画出所得的△ABC。 ''''

CAB''度量△ABC与△ABC的边，角的大小，你发现什么呢？

解：（1）、经过平移的图形与原来的图形的对应线段 ，对应角 ，图形的形状和大小都 。 （2）、平移的对应点所连线段 。

（3）、其中BC与B′C′的关系是 （位置关系和数量关系）。 线段AB与A′B′的关系是 （位置关系和数量关系）。 若AC=5，则A′C′= ，若∠BAC=60°，则∠B′A′C′= 。 若△ABC周长为30，则△A′B′C′周长为 。

若△ABC面积为S，则△A′B′C′面积为 。

例3：画出平移后的图形。

通过操作我们发现：

1．在方格纸上平移图形时，把一个图形向某个方向平移几格，不是指原图形和平移后得到的新图形两个图形之间的空格有几格，而是指原图形的每个顶点都向这一方向平移了几格。

2．在方格纸上平移图形时，可以把这个图形的各个顶点按指定的方向平移到新位置，先分别描出各点，再把各点按原来的顺序连接起来，成为按要求平移后得到的新图形。

3．用平移的方式画一排或一列图形时，可以在第一个图形的底部或左右画一条横线或竖线，以这条横线或竖线为基准，画出的图形就是平移得到的。

4．平移图形或物体时，可以一次平移，也可以两次平移，物体的方向都不会改变。

例4：如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形。

分析：因为A与D是对应点，而平移的对应点的连线段平行且相等所以平移方向——射线AD，平移距离——线段AD的长， 作法：

1.分别过点B、C沿AD方向作线段BE、CF，使它们与AD平行且相等 2.顺次连结D、E、F 则△DEF即为所求。

参考图 三、新知巩固

1.分别画出将□向下平移4格，向左平移8格后得到的图形。

§3.4简单的旋转作图

一、知识回顾 1.旋转的概念

2.旋转的三要素 3.旋转的性质

如图，在方格上作出“小旗子”绕O点按顺时针方向旋转90 度后的图案，并简述理由。

O 二、新知要点 简单图形的旋转作图 两种情况：①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小； ②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点。 作图步骤：①作出图形的几个关键点旋转后的对应点； ②顺次连接各点得到旋转后的图形。 例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B?对应点的位置，以及旋转后的三角形． 分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=∠ACD，?又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示． 解：（1）连结CD

（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线CE上截取CB′=CB 则B′即为所求的B的对应点． （4）连结DB′

则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形。

例2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=

1，4△ABF是△ADE的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF的长度是多少？

（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？

分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF?的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到。?△ABF与△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形． 解：（1）旋转中心是A点

（2）∵△ABF是由△ADE旋转而成的 ∴B是D的对应点

∴∠DAB=90°就是旋转角

1 （3）∵AD=1，DE=

4117 ∴AE=12?()2=

44 ∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点 ∴AF=17 4（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF是等腰直角三角形．

三、新知巩固

1．平面图形的旋转一般情况下改变图形的（ ） A 位置 B 大小 C 形状 D 性质

2．9点钟时，钟表的时针和分针之间的夹角是（ ） A 30° B 45° C 60° D 90°

3．将平行四边形ABCD旋转到平行四边形A′B′C′D′的位置，下列结论错误的是（ ）

A．AB=A′B′ B．AB∥A′B′ C．∠A=∠A′ D．△ABC≌△A′B′C′ 4．做一做

在图1中，将大写字母A绕着它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90度，请作出旋转后的图案．

图1

四、归纳小结 ●图形的旋转

●图形旋转的性质

●简单图形的旋转作图步骤 五、课外作业

1．钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的_______。

2．菱形ABCD绕点O沿逆时针方向旋转到四边形A?B?C?D?，则四边形A?B?C?D?是__________。

3．△ABC绕一点旋转到△A′B′C′，则△ABC和△A′B′C′的关系是_______。 4．钟表的时针经过20分钟，旋转了_______度。

5．图形的旋转只改变图形的_______，而不改变图形的_______。

6．在图中，将大写字母H绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，请作出旋转后的图案。

7．将一个等腰直角三角形ABC（如图2∠A是直角）绕着它的一个顶点B逆时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形。

（1）45° （2）90° （3）135° （4）180°

图2

8．将下面的图案绕点O顺时针方向旋转90度，作出旋转后的图形。

图3

对比平移、轴对称两种图形变换,旋转变换与它们有哪些共性和区别?

§3.5 他们是怎样变过来的

一、知识回顾 1.平移的概念:

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，

这样的图形运动称为平移

2.平移的性质：

1.平移不改变图形的大小和形状。 2.对应点所连的线平行且相等。 对应线段平行且相等。 对应角相等。

3.旋转的概念： 4.旋转的性质 5.轴对称的概念 6.轴对称的性质

观察下列图形是怎么变过来的？

二、新知要点

例1：下图由四部分组成，每部分都包括两个小“十”字，其中一部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗？能经过平移吗？能经过轴对称吗？还有其它方式吗？

解析：(1) 整个图形可以看做是由一个“十”字组成部分通过连续七次平移前后的图形共同组成；

(2) 整个图形也可以看做是由左边的两个“十”字组成的部分通过三次放置形成的； (3) 整个图形不定期可以看做把左边的两个“十”字组成的部分先通过平移一次形成左右四个“十”字组成的图形，然后绕图形中心旋转90度前后的图形共同组成；

(4) 整个图形还可以看做把左边的两个“十”字组成的部分通过二次轴对称形成的。

……

通过上述问题的讨论，我们看到图形的平移、旋转，轴对称变换是图形变换中最基本的三种变换方式，它们是今后设计图案的主要手段。

例2：“想一想”你能将下面的左图，通过平移或旋转得到右图吗？

三、新知巩固

1.怎样将下图中的甲图变成乙图案？

2.如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何运用轴对称、平移、旋转这三种运动，将方格中的△ABC重合到△DEF上．

如果一个图形沿一条直线折叠后， 直线两旁的部分能够重合， 那么这个图形叫做轴对称图形 对称轴 对称轴

例： 怎样将下图中的甲图变成乙图案？

2、下图是由三个正三角形拼成的，它可以看作由其中一个三角形经过怎样的变化而得到的？

看一看：

下列三幅图案分别是由什么“基本图形”经过平移或旋转而得到的？

1．

2．

3．

试一试：

怎样将下图中的甲图变成乙图？

做一做：

如图①，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=

1AB， 2（1）求证：△ABE≌△ADF．

（2）阅读下列材料：如图②，把△ABC沿直线平移线段BC的长度，可以变到△ECD的位置；如图③，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图④，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．

图① 图② 图③ 图④ 请回答下列问题：

（1）在图①中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置？

（2）指出图①中线段BE与DF之间的关系．

1. 旋转的三要素

（1）旋转中心； （2）旋转方向； （3）旋转角度。

三、解答题

9．下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点O旋转而相互得到的图形并说明旋转的角度．

11．如图，菱形A′B′C′D′是菱形ABCD绕点O顺时针旋转90°后得到的，你能作出旋转前的图形吗？

12．Rt△ABC，绕它的锐角顶点A分别逆时针旋转90°、180°和顺时针旋转90°，

（1）试作出Rt△ABC旋转后的三角形；

（2）将所得的所有三角形看成一个图形，你将得到怎样的图形？

13．如图，将右面的扇形绕点O按顺时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形：

（1）90°；（2）180°；（3）270°．

你能发现将扇形旋转多少度后能与原图形重合吗？

14．如图，分析图中的旋转现象，并仿照此图案设计一个图案．

§3.6 简单的图案设计

图案设计：图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的。

其中中心对称是旋转变换的一种特例。

2. 中心对称

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 3. 中心对称图形

如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么我们就说，这个图

形是中心对称图形。 4. 中心对称的性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

o

5.在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180后不变的字是_______ 在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180）后不能与原图形重合的是____

○o

3.如图⑴，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块统正方形的中心O作0～90的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示S与n的关系的图象大致是图⑵中的（ ）

（图1） （图2）

4.如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何运用轴对称、平移、旋转这三种运动，将方格中的△ABC重合到△DEF上．

5.如图是跷跷板示意图，模板AB通过点O，且可以绕点O上下转动，如果∠OCA＝90○，∠CAO= 25○，

（1）画出在空中划过的线；

（2）上下最多可以转动多少角度？

三：【课后训练】

5.如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时 针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度为（ ）

A．3 B．32 C．52 D．4

6.△ABC是等腰直角三角形，如图，AB=AC，∠BAC＝90°， D是BC上一点，△ACD经过旋转到达△ABE的位置，则 其旋转角的度数为（ ）

A．90° B．120° C．60° D．45°

7.如图，先将方格纸中“猫头”分别向左平移6格、12格，然后分析所画三个图案的关系．

8.如图，已知∠AOB，要求把其往正东方向平移3cm，要求留画痕，写作法 ．

9.已知边长为 1个单位的等边三角形ABC，

○

（1）将这个三角形绕它的顶点C按顺时针方向旋转30 作出这个图形；

○○○

（2）再将已知三角形分别按顺时针方向旋转60、90、120，作出这些图形．

10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，请你用对称和旋转的知识回答下列问题： （l）△ADE和△DFA关于直线AD对称吗?为什么？

（2）把△BDE绕点D顺时针旋转160○后能否与△CDF重合？为什么？

（3）把△BDE绕点D旋转多少度后，此时的△BDE和△CDF关于直线BC对称？

（二）：【课前练习】

3.4 简单的旋转作图

四、应用拓展

例3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M?在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关

系．

分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明．

解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形

∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90° ∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的 ∴BK=DM

系．

分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明．

解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形

∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90° ∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的 ∴BK=DM

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