有限元算例二维传热问题

一个最基本的有限元计算程序

胡金山,朱青云,余治国

（西安空军工程大学工程学院,西安710038）

我们在学习有限元课程时做的另一个作业，用C/C++编程求解了一个简单的有限元问题，可以作为有限元学习的编程实例，以更好地理解有限元理论，并为进一步使用大型有限元软件打下基础。本文所涉及的有限元基本理论请参考章本照先生编著的<<流体力学中的有限元方法>>, PP.156-165。源代码下载：FemSrc.zip

一．二维传热问题

二．解题过程

1、对结构进行离散化，将待分析的结构物从几何上用线或面划分为有限个单元，按结构物的不同和分析要求，选取不同形式的单元，在单元的边界上设置节点，并书写编号。计算节点坐标

2、单元分析：设法导出单元的结点位移和结点力之间的关系，建立单元刚度矩阵。 单元刚度矩阵的计算：

对于方程

?????????=??=Ω∈=??+??ΓΓg n u u u y x p y u x

u 21||),(2222

采用 Galerkin 弱解表达式

?????ΩΓΩΓ=Ω+Ω??????????+????2)()(uud g uud p d y uu y u x

uu x u δδδδ （*） 这里采用三节点的三角形单元，单元的基函数共有三个，选用插值多项式

)3,2,1()()()()(=++=Φi y c x b a e i e i e i e i

分别代入单元三个节点的坐标可解得

)(1)(1)(10011)(

)()()()()()()()()()()()()(

)()()(e j e k e i e k e j e i e j e k e k e j e k

e k e j e j e i e i e i x x D

c y y D b y x y x D y x y x y x D a -=-=

-== 其中 )()()()(

)()

()(2111e e k e k

e j e j e i e i A y x y x y x D ==

[]

))(())((21)()()()(

)()()()()(e i e k e i e j e i e k e i e j e x x y y y y x x A -----= e 单元中的近似函数为

∑Φ=)()()(e i e i e u u （**）

将式（*）中的积分区域取为e 单元的区域)(e Ω

，并将单元中的近似函数表达式（**）

代入，并注意到)(e i uu δ的任意性，可得

??

???ΩΓΩΓΦ+Φ-=?Φ??Φ?+?Φ??Φ?)()(2)()()()()()()()(

)(e e e d g dxdy p dxdy y y x x u e i e i e j e i e j e i e j

记=)

(e ij A ??Ω?Φ??Φ?+?Φ??Φ?)()()()()()(e dxdy y

y x x e j e i e j e i （***） =)(e i f ???ΩΓΓΦ+Φ-)()(2

)()(e e d g dxdy p e i e i （****） 将单元基函数的具体表达式（*）代入（***）式中，可得

)()(

)()(

)()()(e e j e i e j e i e ij A c c b b A +=

通过等参变换（具体见文献1第201页），可得 ??+++=-=！

)2(!!!2321)(n m l n m l A d p f n m l e i σξξξ 这里指p 为常数的情况，A 为三角形单元的面积。

?ΓΓΦ=)(2)(e d g I e i i

这里g 均为0，所以此项不用计算。

3、整体分析（以求结点力为例）

整体分析就是将各个单元组成结构整体进行分析。整体分析的目的在于导出整个结构结点位移与结点力之间的关系，建立整个结构的刚度方程。

分析步骤：首先按着一定的集成规则，将各单元刚度矩阵集合成结构整体刚度矩阵，并将单元等效结点荷载集合成整体等效结点荷载列阵；然后引入结构的位移边界条件，求解整体平衡方程组，得出基本未知量――结点位移列阵。

4、用选定的算法语言编写出程序（C/C++），调试程序调用高斯消元法解方程的出结果。

附件程序Fem1.cpp 计算了积分值，Fem2.cpp 则采用了面积坐标下的插值函数，积分值取为三角形面积的三分之一。两者结果相同，但是后者更为通用，可以把程序用于其他形状的二维区域的有限元计算，Fem3.cpp 计算了题2。

三．单元网格划分

四边形单元网格划分单元网格划分示意如图1

图 1

计算结果结果数据可视化如图2，3。它们是题1分别用Fem1.cpp 程序和Fem2.cpp 程序计算结果的Matlab 数据可视化图，它们表现的数据基本一致，观察视点不同。图4是题2的解。

图 2

图 3

图4

利用此程序的基本框架，我们还成功地解算了三角形、椭圆形区域的有限元问题。

最后感谢我们的老师――在数学和计算上具有深厚功力的王旭教授，感谢他对我们的悉心指导和热情鼓励！

参考文献：

1.章本照. 流体力学中的有限元方法[M]. 机械工业出版社, 1986

（注：素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3k4q.html