2015成人高考高中起点数学（文史财经类）冲刺真题训练讲义4

2015成人高考高中起点数学（文史财经类）冲刺真题训练讲义4 说明：我们根据近年来高起点考试内容及实体的分析与研究，按考试中出现的知识点及题型进行分类归纳，可以使大家一目了然地看出：哪些知识是必考的，考试题型是什么，此题型在近年的试卷中考到的难易程度是什么。

第四章 平面向量、直线、圆、圆锥曲线 【考点精解与真题训练】

§4.1 向量及其线性运算 一、向量

1.向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量

???????????????单字母A、B、C等，带箭头的双字母ABBCCD，带点单字母U、I、E等表示。零向量表示为0

2.向量的几何表示 常用有向线段表示向量，在符号上可用小写黑体单字母a、b、c等 ；大写黑体3.向量的模与夹角

????

(1)向量的模 向量的大小叫做向量的模，记作a、AB等。

模为零的向量是零向量，模为1的向量叫单位向量。

(2)向量相等 模相等,方向相同的向量叫相等向量,a与b是相等向量记为a?b 长度相等、方向相同的有向线段，无论起点是否相同，都是相等向量

(3)向量的夹角 将a或b平移,使它们的起点重合,它们的方向间的夹角叫a与b的夹角,记为?a,b? (4)向量共线 如果向量a与b的夹角等于0或?，叫向量a与b共线，记为a//b。零向量与任何向量共线，如0//a等。

共线向量的有向线段所在的直线可以重合，也可以平行

二、向量的线性运算

向量的加减应遵循平行四边形法则

1.向量的加法 向量a与b之和是以这两向量作两边的平行四边形的对角线向量，也就是:将向量b的起点移至向量a的终点，再从向量a的起点向向量b的终点引向量c，c?a?b.

2.向量的减法 向量a减去向量b等于向量a加上b的反向量，即a?b?a?(?b)。与向量b模相等而方向相反的向量叫b的反向量。或者说从b的终点向量a的终点引出的向量为a?b

3.数乘向量 实数?与向量a的乘积是一个向量，记作?a，它的模是?a?与a方向相同；当??0时，?a与a方向相反。

数乘向量的运算法则是：

(1)1a?a,(?1)a??a (2) ?(?a)?(??)a (3)(???)a??a??a (4)?(a?b)??a??b 2.向量共线的充要条件 非零向量a,b共线的充要条件是存在实数?,使得a??b

b-ba?babd若l1//l2,a?b则a?b, a,b,c,d共线l1l2c?a。当??0时，?aaaa?byCDAB?ba?b??b 向量加法 向量减法0x D点坐标求法图教学过程

三、平面向量的分解定理

如果e1，那么这个平面内的任一向量a,有且只有一对实数?1、e2是同一平面内两个不共线的非0向量，

?2，使得a=?1e1??2e2。e1，e2称为表示这一平面内所有向量的基底．

这就表明：平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示． §4.2 向量的坐标运算和数量积 一、平面向量的坐标运算

????在直角坐标系中,设向量AB的起点在坐标原点,终点A的坐标为A(x,y),与x轴和y轴正方向相同的

????单位向量分别为i,j,则由平面向量的分解定理,向量AB可以表示为

????????????????OA?xi?yj， 记为OA?(x,y). (x,y)称为向量OA坐标,x,y分别是向量OA的x坐标,y坐标.

yy1.平面向量的坐标

A(x,y)yA(x1,y1)j0ijai????AB?(x2?x1,y2?y1)B(x2,y2)xx0x???????? 若向量AB的起点不在坐标原点，起点的坐标A(x1,y1)，终点的坐标B(x2,y2)，则向量AB表示为：

???????? 或 a?(x2-x，y2-y1 )AB?(x2?x1)i?(y2?y1)j 或 AB?(2x?1x,yy)12?12.数量积的定义 设a、b是两个非0向量,它们的夹角为?a,b?,则a与b的数量积(也叫内积)为： a?b?a?bcos?a,b?

数量积的几何意义是 数量积a?b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos?a,b?的乘积

b?b?a (2)(?a)?b??(a?b)=a?(?b) (3)(a+b)?c?ac+bc=a?(?b) 数量积的运算法则 (1)a?3.向量的坐标运算

设向量a?(x1,y1) , b?(x2,y2)，k,??R (1)加法运算 a?b?(x1?x2,y1?y2) (2)减法运算 a?b?(x1?x2,y1?y2) (3)数乘运算 ka?k(1x,1y)?(k1x,k)1 y(4)内积运算 a?b?(x1,y1?)(x2,y2?)x1x?2(5)共线向量 b??a?(x2,y2)??(x1,y1)?要条件是矢量积为零，也即对应坐标成比例）

(6)垂直向量 a?b?1x2x?1y2y?0，a?b的充要条件是a?b?0（向量垂直的充要条件是数量积为零，也即对应坐标之积为0）

起点在原点的向量坐标起点不在原点的向量坐标y 1yx1y1?,a//b的充要条件是a?b?0（向量共线的充x2y2????????????(7)向量的模 a?(x,y)，则向量a可用直角坐标系中的向量OA表示，a=OA，a?OA?x2?y2 例 已知a?(3,?2) , b?(?5,4),求a?b,a?b,a?b.

?2解 a?b?(3?5,?2?4)?( ,a?b?[3?(?5),?2?4]?(8,?6) a?b?3?(?5)?(?2)?4??23

例 求过点N(2,1)且垂直于向量a?(?1,2)的直线方程

??????????a?0，即 解 在所求直线上任取一点M(x,y)(M不与N重合)，则MN?(2?x,1?y)，MN?????? MN?a?(2?x,1?y?)?(1,2?)?(?x2?)?2y?(1x?)?y 2?1

教学过程

所求直线方程为y?1x 2??????????解 在所求直线上任取一点M(x,y)(M不与N重合)，则NM?(x?1,y?2)，因MN//a，故

2x?1y?2? 所求直线方程为:, y?(x?1)?2 323二、距离公式、中点公式和平移公式

例 求过点N(1,2)且平行于向量a?(3,2)的直线方程

????221.距离公式 d?AB?(x2?x1)?(y2?y1) x?x2y?y2,y?12.中点公式 x?1 223.平移公式

yA(x1,y1)????AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2j0iB(x2,y2)x(1)平移 把平面内图形G上的每一点按照同一方向移动相同的长度(即按向量a平移),得到图形G?,我们把这一过程叫做图形G的平移.

????(2)平移公式 设P(x,y)是图形G上的任意一点，与它对应的向量OP?(x,y)，把它按向量a?(h,k)????平移后，在图形G?上的对应点为P?(x?,y?)，这时PP??a?(h,k)，OP??(x?,y?)，由图得

????????????????OP??OP?PP??OP?a

yP(x,y)用坐标表示为: (x?,y?)?(x,y)?(h,k)?(x?h,y?k),

a?(h,k)?x??x?h由此得?

jP?(x?h,y?k)?y??y?k上面公式表示图形中的每一点P(x,y)按向量a?(h,k)平移 后,新坐标为P?(x?h,y?k).

例 若点A(2,4)按a?(?8,9)平移的坐标为A?；求A?的坐标； 若点A(2,4)按b平移至B?(10,20),求b 解 x??2?8??6, y??4?9?13 故A?的坐标为(-6,13)； 设b?(h,k),则h?10?2?8，k?20?4?16，故b?(8,16) 真题训练：

2006年（3）若平面向量a?(3,x)，b?(4,?3)，a?b，则x的值等于 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 答案：?3?4?(?3x)?0, x?4?

0ix????????????2007年（3）已知平面向量AB=(2,?4)，AC=(?1,2)，则BC=

（A）(3,?6) （B）(1,?2) （C）(?3,6) （D）(?2,?8) 答案：?(?1,2)?(2,?4)=(?3,6)?

（x ，） 2，b?（?2 ， 3）2008年（18）若向量a?，a//b，则x??答案：?4 3?x?2, x??4?

?3???222009年

（18）向量a，b互相垂直，且|a|?1，则a?(a?b)? 1 . 答案：1

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教学过程

2010年（10）若向量

（A）-4 （B）-1 答案：B 2011年（2）已知向量

（A）2 （B）1 答案：A

，且a，b共线，则 （C）1 （D）4 ，则实数m= （C）-1 （D）-2

2012年（10） 若向量a?(1,m)，b?(?2,4)，且a?b??10，则m?

(A) —4 (B) —2 (C) 1 (D) 4 答案: B §4.3 直线

直线是在平面或空间沿着一定方向和其相反方向运动的点的轨迹. 直线沒有粗细、沒有端点、沒有方向性、具有无限的長度、具有确定的位置. 一、直线的倾角和和斜率

1.直线的倾角 一条直线l向上的方向与x轴正方 向所成的最小正角叫做这条直线的倾角,如图12.2中 的?,显然, ?的的取值范围是0???180.

?yP(x,y)P2(x2,y2)l2.直线的斜率 当直线的倾角不是90o时,直线的 斜率是直线倾角的正切,常用k表示,即

P1(x1,y1)(a,0)?xk?tan?(??90?)

3.过两点的直线斜率公式 过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2) 的直线的斜率公式为:k?tan??0(0,b)P0(x0,y0)y2?y1y1?y2?

x2?x1x1?x24.直线的截距 在平面直角坐标系中,直线与y轴的交点的纵坐标叫做直线在y轴上的截距(或称纵截距), ,直线与x轴的交点的横坐标叫做直线在x轴上的截距(或称横截距).二者统称为直线的截距.如图12.1中直线在y轴上的截距为b,直线在x轴上的截距为a. 二、直线方程

（一）直线方程的几种形式

1.点斜式 y?y0?k(x?x0)，如斜率为k??2,过点(1,4)的直线方程为y?4??2(x?1)

?b2.斜截式 y?kx, 如斜率为k??2,y轴上的截距为6的直线方程为y??2x?6

3.二點式

y?yy?yy?44?212? (x1?x2,y1?y2)，如. ?P?1,4),P1(12(2,2)? x?11?2x?xxx11?2xyxyy?00?b??1 (a?0?，b?0)，（从上图得，bx?ay?ab，??1） ?x?aa?0ababxy如过点（0，–3）、（5，0）的直线方程为??1

53?C?0(,A不同时为B0)2x?y?6?0 5.一般形式 Ax?By，如

6..参数式 x?x1?at , y?y1+bt.(x1,y1)是直线上的一个点，直线的斜率是k?b/a

4.截距式 三、点、直线间的关系

设两条直线l1,l2的方程为和点P0分别为

l1:y?k1x?b 或 A1x?B1y?C?0;l2:y?k2x?b 或 A2x?B2y?C?0；P0(x0,y0)

3

教学过程

（一）两条直线平行 直线l1,l2平行的充要条件是倾角相同或斜率相等,表为 l1//l2?k1?k2且b1?b2 或 例求过点(0,1)且与直线y?2x?3的平行的直线方程.

A1B1C1 ??A2B2C2解 过点(0,1)且与直线y?2x?3的平行的直线方程的直线方程的斜率为2,由直线的点斜式方程得过点(0,1)且与直线y?2x?3的平行的直线方程为:y?1?2x,即y?2x?1. （一）直线l1,l2重合的充要条件是倾角相同与纵截距相等,表为

l1与l2重合?k1?k2且b1?b2ABCA1 或 1?1?1 A2A2B2C2（二）两条直线垂直 直线l1,l2垂直的充要条件是斜率互为负倒数,表为

l1?l2?k1?k2??1,或 A1?A2?B1?B2?0

例已知M(3,?1),N(?3,5),求线段MN的垂直平分线方程

2x(?23)?y(?，5)x?y?2?0 解得：5?(?1)??1，解法二 线段MN所在直线的斜率是故线段MN的垂直平分线的斜率是1，线段MN

?3?33?3?1?5,)，即(0,2)，故由点斜式方 的垂直平分线经过线段MN的中点，线段MN的中点的坐标是(22程得线段MN的垂直平分线方程为：y?2?x，即x?y?2?0.

解法一

2(x?32)?(y?1)?

（四）点到直线的距离、两平行在线间的距离 点P0(x0,y0)到直线Ax?By?C?0的距离为:d?Ax0?By0?CA?B22.(A、B不同时为0或都不为0)；

两平行直线(l1:Ax?By?C1?0；l2:Ax?By?C2?0)间的距离：d?C2?C1A?B22

例 求点P(-1，2)分别到(1)2x+y-10=0，(2)3x=2的距离．(3) 求2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离. 解：(1)根据点到直线的距离公式，得d?(2)直线3x=2即x?(3) d?2?(?1)?1?2?1022?12?105?105 5225,d??(?1)? 333?6?822?(?7)2?1453?1453 53真题训练：

2006年（8）设一次函数的图像过点(1,1)）和(?2,1)，则该函数的解析式为 （A）y?

1212x? （B）y?x? （C）y?2x?1 （D）y?x?2

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