量纲分析相似理论

量纲分析相似理论

第一章

相似理论和量纲分析

量纲分析相似理论

相似理论-举例1(自然灾害模拟)Lab-scale to Real-scale

explosion

实验室模拟：易于实现、经济、安全； 条件可控；获取的信息多、发现规律 问题：是否反映真实现象？如何应用？

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举例3--小放大(易于观察测量)

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举例4--单摆(量纲分析的优势)研究摆动周期问题(假想不知道牛顿第二定律)α主要影响因素：长度l、质量m重力加速g、角度α

l

Tp = f (l , m, g , α )无量纲化：取三个量纲独立的基本量l、m和g 则时间量纲为(长度/加速度)1/2

m

Tp

g发现规律：Tp = f(α)l / g )1/ 2 ( Tp 正比于l 1/ 2 , 反比于g 1/ 2 , 与m无关，Tp与α有关

(l / g )1/ 2

= f1 (1,1,1, α )次数 按后者 = 10次

Tp (l / g )1/ 2

= f 2 (α )

设计实验：每个因素取十组数据，次数 按前者 = 10 ×10 ×10 ×10 = 10 4 次减少实验量，发现规律，具有普适性，好处多多！!

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举例5--边界层描述(普适性问题)速度快，速度慢，粘性小 问题：多样性(海量数据) 难以推广(大小、快慢、 不同介质)

x1 影响因素：速度U ∞,位置x、y, 粘性系数µ,密度ρ合理选取无量纲参数 纵轴 : u U∞ρ ; 横轴：y U∞ µx

x2

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一、相似的基本理论相似的概念几何相似 ----一个物体经过均匀变形后和另一个物体完全 一个物体经过均匀变形后和另一个物体完全 重合称为两个物体几何相似。 重合称为两个物体几何相似。 运动相似 ----两个几何相似的物体运动时，对应点的运动 ----两个几何相似的物体运动时 两个几何相似的物体运动时， 路径几何相似， 路径几何相似，并且对应点经过对应路径的时间之比是常 称为两个物体运动相似。 数，称为两个物体运动相似。 动力相似----两个几何相似和运动相似的物体，对应点受力 两个几何相似和运动相似的物体， 动力相似 两个几何相似和运动相似的物体 成比例，成为两个物体动力相似 成比例，成为两个物体动力相似 。

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一、相似的基本理论一个物理现象，用n个物理量xi i = 1,2,L n)之间的函数来描述 ( f ( x1 , x2 ,L xn ) = 0 在这些变量xi中涉及到m个基本量纲，可从xi中选择m个量纲独立 的物理量，导出n m个无量纲数π j ( j = 1,2, L n m),它们满足函 数关系 F (π 1 , π 2 , Lπ n m ) = 0 它与f ( x1 , x2 , L xn ) = 0有等价的效力。

π i:相似准则

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研究摆动周期问题α主要影响因素：长度l、质量m重力加速g、角度α

l

Tp = f (l , m, g , α )无量纲化：取三个量纲独立的基本量l、m和g 则时间量纲为(长度/加速度)1/2

m

Tp (l / g )1/ 2

g

= f (1,1,1, α )Tp ,

Tp (l / g )1/ 2

= f (α )

π1 =

(l / g )

1/ 2

π2 = α

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例：液滴受气流作用变形、破碎规律σu

ρ

d

在气流吹动下，忽略粘性、重力等影响，液滴变形、 破碎与气流速度、气体密度、液滴尺寸、表面张力相 关，

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相似准则举例- 相似准则举例-液滴破碎写出决定现象的物理量 写出决定现象的物理量

u

ρ

d

σMT 2

LT 1 ML 3 L

写出量纲矩阵 写出量纲矩阵

uM L T 0 1 -1

ρ1 -3 0

d0 1 0

σ1 0 -2

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相似准则举例- 相似准则举例-液滴破碎选择三个独立变量选择 u, ρ , d三个

独立变量求相似参数z π = σρ x d y uρ u 2 x

0 1 1

1 0 说明基本物理量的量纲是 3 1 = 1 ≠ 0 相互独立的。可写出n-3=4-3=1个无量纲π项

0

0

= MT M L L L Ty z

3 x

d

z

σ

M

0 1 1 = M0+ xT 2 z1 y + z 3 x = M 0T 0 L0 L Lx = 11, z = 2, y = 1 -3 1 0 T

π=

-1σ

0

0

-2

ρu 2 d

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相似准则举例- 相似准则举例-液滴破碎选择另三个独立变量(选择 ) 选择另三个独立变量(选择2)选择 u, ρ , σ三个

独立变量求相似参数

0 1 1 说明基本物理量的量纲是 1 3 0 = 1 ≠ 0 相互独立的。可写出n-3 =4-3=1个无量纲π项 1 0 2

π = dρ xσ y u z= LM x L 3 x M yT 2 y LzT z = M x + yT 2 y z L1+ z 3 x = M 0T 0 L0 x = 1, y = 1, z = 2

ρu 2 d 1 = π′ = σ π

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韦伯(Weber)数

惯性力 ρu 2 d ρu 2 d 2 We = = = σ σd 表面张力

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一、相似的基本理论相似理论相似第一定律--------“彼此相似的现象，它们的同名相似准则 彼此相似的现象， 相似第一定律 彼此相似的现象 必相等。 必相等。” 相似第二定律--------“相似的现象中由相似准则所描述的函数 相似的现象中由相似准则所描述的函数 相似第二定律 关系对两个现象是相同的。 关系对两个现象是相同的。” 相似第三定律--------“假定两个现象服从同一个函数关系，在 假定两个现象服从同一个函数关系， 相似第三定律 假定两个现象服从同一个函数关系 两个现象中所有相似准则相等，则这两个现象相似。 两个现象中所有相似准则相等，则这两个现象相似。”

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一、相似的基本理论相似第一定律是关于相似准则存在的定理。 相似第一定律是关于相似准则存在的定理。 相似第二定律解决了实验数据的整理方法和实验 结果的应用问题。 结果的应用问题。 相似第三定律确定了现象相似的充分必要条件。 相似第三定律确定了现象相似的充分必要条件。

相似准则 u U∞ρ ;y U∞ µx

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二、三种求相似准则的方法三种求相似参数的方法： 三种求相似参数的方法： 1 相似变换法 2 量纲分析法 3 物理法则法 例：密度为ρ 流体在内径为 长度为L的水平光滑圆管内以速度 密度为ρ的流体在内径为d, 长度为 的水平光滑圆管内以速度 V运动 求管子两端压差

p与上述参数的关系。 运动, 求管子两端压差 与上述参数的关系 与上述参数的关系。 运动

lV P+ p D V P

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二、三种求相似参数的方法1 相似变换法 相似变换法——从已知的基本方程出发求相似参数 从已知的基本方程出发求相似参数 (1) 写出基本方程 (2) 无量纲化方程 (3) 求出相似参数

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1 相似变换法(1)写出基本方程(不可压缩流方程) )写出基本方程(不可压缩流方程) 定常： 定常：

r V = 0 r r µ 2r 1 V V = p + V

(管流： 管流：

)

ρ

ρ

u v v + + =0 x r r u u 1 p µ 2u 2u 1 u u +v = + 2+ 2+ ρ x ρ x r r r x r v v 1 p µ 2 v 2 v 1 v u +v = + 2+ 2+ ρ r ρ x r r r x r

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1 相似变换法(2)无量纲化方程 )

u v v + + =0 x r r 1 p µ 2u 2u 1 u u u u +v = + + + ρ x ρ x 2 r 2 r r x r v v 1 p µ 2 v 2 v 1 v u +v = + + + x r ρ r ρ x 2 r 2 r r

) u,v) ) ) ) ) ) ρ = ρ ρ , p = p p , (u , v ) = ( ,(x, r ) = V 0 0

(x, r )

d

) ,µ = µ

µ0

) ) ) u v v ) + ) + ) =0 x r r ) ) ) ) ) ) ) p0 1 p µ0 µ 2u 2u 1 u ) u ) u u ) + v ) = ) + ) )2 + )2 + ) ) 2 ) x r r r r ρ0V ρ x ρ 0Vd ρ x ) ) ) ) ) ) ) p0 1 p µ0 µ 2 v 2 v 1 v ) v ) v u ) + v ) = ) + ) )2 + )2 + ) ) 2 ) x r r r r ρ 0V ρ r ρ0Vd ρ x

(3)求出相似参数 )

ρ 0Vd π1 = µ0

π2 =

p0 ρ0V 2

无量纲方程具有普 遍性， 遍性，对不同管道 流动都适用。 流动都适用。要求 特征量组合的无量 纲系数为常数。 纲系数为常数。

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二、三种求相似参数的方法2 量纲分析法 量纲分析法——从决定现象的物理量的量纲出发求相似 从决定现象的物理量的量纲出发求相似 参数 决定现象的物理量和量纲( 制 (1)写出决定现象的物理量和量纲(SI制) )写出决定现象的物理量和量纲 (2)写出量纲矩阵 )写出量纲矩阵 (3)确定重复变量并检查子行列式 ) (4)求相似参数 )

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2 量纲分析法决定现象的物理量和量纲( 制 (1)写出决定现象的物理量和量纲(SI制) )写出决定现象的物理量和量纲

ρML 3

p

µ

MT 2 L 1 MT 1 L 1

l d V L L LT 1

(2)写出量纲矩阵 )写出量纲矩阵

ρM T L 1 0

p 1

µ1

l

d

V 0 1 1

制中， 在SI制中，一般力 制中 学问题有三个基本 单位(长度、时间、 单位(长度、时间、 质量), ),因此取量 质量)

,因此取量 纲分别用L、 、 纲分别用 、T、M 表示。 表示。

0 0

2 1 0 0

3 1 1 1 1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3jzm.html