2010年高考试题 - 数学（北京卷）（理）

02010年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理）（北京卷）解析

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

2（1） 集合P?{x?Z0?x?3},M?{x?Rx?9}，则PIM=

(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x≤3} 1，B． 解析：

P??0,1,2?，

M???3,3?0,1,2?，因此P?M??

（2）在等比数列?an?中，a1?1，公比q?1.若am?a1a2a3a4a5，则m= （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 2，C．

2341010a?aaaaa?q?q?q?q?q?aqm123451解析：，因

此有m?11

（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为

3，C．

解析：很容易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形，不难选出答案。 （4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 （A）A8A9 （B）A8C9 （C） A8A7 （D）A8C7 4，A．

82828282第 1 页 共 19 页

8A8解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有种排法，然后将两位282AA98老师插入9个空中，共有种排法，因此一共有A9种排法。

（5）极坐标方程（?-1）（???）=0（??0）表示的图形是

（A）两个圆 （B）两条直线

（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线 5，C．

解析：原方程等价于??1或???，前者是半径为1的圆，后者是一条射线。

????????（6）若a,b是非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)?(xa?b)?(xb?a)为一次函数”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 6，B．

解析：如果同时有

f(x)?(xa?b)?(xb?a)?(a?b)x2?(b?a)x?a?b22，如a?b，则有a?b?0，

b?a，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f(x)为一次函数，

则a?b?0，因此可得a?b，故该条件必要。

?x?y?11?0?x（7）设不等式组 ?3x?y?3?0 表示的平面区域为D，若指数函数y=a的图像上

?5x?3y?9?0?存在区域D上的点，则a 的取值范围是

（A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ??] 7，A．

解析：这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域D的图象，联系指数函数y?a的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点（2,9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点。

(8)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A，则四面体PEＦＱ的1E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零）体积 （Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关

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（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 （Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 （Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关 8，D．

解析：这道题目延续了北京高考近年8，14，20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以1分析出，?EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的4，而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。

第II卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在复平面内，复数9，（-1，1）.

2i2i(1?i)??i(1?i)??1?i1?i(1?i)(1?i)解析：

2i对应的点的坐标为 。 1?i（10）在△ABC中，若b = 1，c =3，?C?10， 1。

2?，则a = 。 33sinC1??sinB??b?2?1?B?,A??Bc2，因此366解析：，故a?b?1 （11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝ 。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。 11，0.030， 3

解析：由所有小矩形面积为1不难得到a?0.030，而三组身高区间的人数比为3:2:1，由分层抽样的原理不难得到140-150区间内的人数为3人。

（12）如图，?O的弦ED，CB的延长线交于点A。若BD?AE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE

＝ ；CE＝ 。

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12，5，27 解析：首先由割线定理不难知道AB?AC?AD?AE，于是AE?8,DE?5，又BD?AE，故

222BE为直径，因此?C?90?，由勾股定理可知CE?AE?AC?28，故CE?27

x2y2x2y2??1的焦点相同，那么双（13）已知双曲线2?2?1的离心率为2，焦点与椭圆

259ab曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 13，??4,0?，y??3x

c?2,c?4?4,0??a解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为，又双曲线离心率为2，即，

by??x??3xa故a?2,b?23，渐近线为 （14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。

设顶点P（x，y）的轨迹方程是y?f(x)，则f(x)的最小正周期为 ；y?f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴 所围区域的面积为 。

说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动。 14， 4，??1

解析：不难想象，从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在

x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4。下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴

1上开始运动的时候，首先是围绕A点运动4个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：

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P P P A B C P

因此不难算出这块的面积为??1

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证

明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数f(x)?2cos2x?sinx?4cosx。 （Ⅰ）求f()的值；

2?3（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值。 15

（I）（2）

?2???39f()?2cos?sin2?4cos??1??2??.333344

f(x)?2(2cos2x?1)?(1?cos2x)?4cosx?3cos2x?4cosx?127?3(cosx?)2?,x?R33

因为

cosx???1,1?,所以当cosx??1时，f(x)取最大值6；当

cosx?23时，取

7最小值3。

?

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