成都七中高一下数学半期考试试题及详解

高一下期数学半期考试试题及答案

成都七中2012-2013学年度下期2015级半期考试数学试题

命题人：康华 审题人：郑勇军 考试时间：120分钟 总分150分 （特别提醒：请在答题卡上作答！）

一、选择题（每题5分，共50分）请将选项填涂在答题卡上

的一个通项公式是（ B ） 1.

（A

）an

( B) an （C）

an

(D) an

2.若等差数列中，a1 4,a3 3，则此数列的第一个负数项是（ B ） （A）a9

( B) a10

( C)a11

(D) a12

3.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，已知a＝52,c＝10,A＝30o,则B等于 ( D )

（A）105o ( B) 60o ( C)15o (D) 105o 或 15o

4.在200m高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30o和60o,则塔高为 ( A ) （A）

4003

m ( B)

4003

3

m ( C)

2003

3

m (D)

2003

m

5.某工厂年产量第一年增长率为a，第二年增长率为b，则这两年平均增长率x满足（ B ） （A）x

a b2

( B) x

a b2

( C)x

a b2

(D) x

a b2

ca

6.已知a、b、c、d均为实数，有下列命题①若ab 0，bc ad 0，则＜0，c＜d＜0，则ac＞bd ；③若bc ad 0，bd＞0则a b

b

c dd

－

db

＞0；②若a＜b

.其中真命题的个数是（D ）

（A） 0 ( B) 1 ( C)2 (D) 3

1、c成等比数列，则7.若3个不同的实数a、1、c成等差数列，且a、

2

2

1a

1c

的值为（ A ）

（A）－2 ( B) 0 ( C) 2 (D) 2或－2

8.等比数列 an 中,a3 7,前三项和S3 21,则公比q的值为 （ C ） （A）

12

12

12

( B) 1 ( C)1或 (D) 1或

9. ABC中三个角的对边分别记为a、b、c，其面积记为S，有以下命题： ①S

12a

2

sinBsinCsinA

；

②若2cosBsinA sinC,则 ABC是等腰直角三角形； ③sinC sinA sinB 2sinAsinBcosC；

④(a+b)sin(A B) (a b)sin(A B)则 ABC是等腰或直角三角形. 其中正确的命题是（ D ）

（A）①②③ ( B)①②④ ( C)②③④ (D)①③④

2

2

2

2

2

2

2

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10. 在平面直角坐标系中，定义

xn 1 yn xn yn 1 yn xn

(n N)

为点Pn(xn，yn)到点Pn 1(xn 1，yn 1)的一个变

换——“七中变换”．已知P1(0，1)，P2(x2，y2)， ，Pn(xn，yn)，Pn 1(xn 1，yn 1)是经过“七中变换”得到的一列点，设an（A

）31)

|PnPn 1|

，数列{an}的前n项和为Sn，那么S10的值为（ A ）

31(2

( B)

( C)31(2

(D)

3 1)

二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上

11.已知等差数列 an ，an 2n 19，那么这个数列的前n项和Sn 的最小值为 ；

12. 不等式 |x＋2|－|x－1| ≤ a解集不空, 则a的取值范围是[ 3, )

13. 在 ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c， A 60 ,则

ba c

ca b

1

14.将正偶数排列如下表其中第i行第j个数表示aij

则i j 61 ； 15.给出下列命题： ①y=2 3x

4x

(i N,j N)

**

，例如a32

10

，若aij

2012

，

的最大值为2－

②对函数y

2

0 c 1时，ｙ的最小值为2；当c

1时，ｙ的最小值为

③若a b 1,c d 4，则ac bd的最大值为

2222

52

；

④若x＞0

2

2

ab ( 1 2)

⑤若a＞ｏ，b＞0，a＋b＝1， 1 0, 2 0,则( 1a 2b) . 4 12 12

其中所有正确命题的序号是 ②④⑤

.

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三、解答题（16—19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）请在答题卡对应位置规范答题. 16．（12分）解下列关于ｘ的不等式（组）：

2

1 4 x 0

a(a R). （I） 2；（II）解关于x的不等式x 2 2x 7x 15 0

解：(I)4 x 0 x 2或x 2 2分2x 7x 15 0

2

2

32

x 5 4分

综上，不等式解集为{x|2 x 5} 6分11 a(x 2)

（II a 0

x 2x 2

(x 2)( ax 2a 1) 0 2分 ①a 0时， x 2

②a 0时， （x-2)(x 2 ③a 0时 （x 2)(x 2

1a1a

） 0 2 x 2 ） 0 x 2

1a

1a

或x 2 5分

1a；

综上：a 0时，解集为{xx 2};a 0时解集为{x2 x 2 a 0时解集为{xx 2

1a

或x 2} 6分

17.（12分）已知：等差数列{an}中，a4=14，前10项和S10 185. （Ⅰ）求an；

（Ⅱ）将{an}中的第2项，第4项，…，第2项按原来的顺序排成一个新数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Gn.

a4 14解：（Ⅰ）由 ∴

S 185 10

a1 3d 14,

110a 1 0 9d 1 2

n

185 ,d 3

a1 5

……3分

由an 5 (n 1) 3 an 3n 2 ……………………………6分

（Ⅱ）由已知，bn 3 2 2 ………………… 9分

Gn 3(2 2 Gn 3 2

n 11

2

n

2 2) 2n 6(2

3nn

1) 2n.

2n 6,(n N*) ……………………………………12分

18.（12分）在 ABC中，已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c

sin(B （I）求角A的大小；

（II）当 ABC为锐角三角形时，求sinＢsinＣ的取值范围.

4

) c

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解：（1）sin(B

4

) c Asin(B Asin(B

4

) sinC

在 ABC中，C (A B)

4

) sin(A B) 3分

sinAsinB sinAcosB sinAcosB cosAsinB sinB(sinA cosA) 0 sinA cosA A

4

6分

(2)sinBsinC sinBsin(

412

4)

3 4

B) 4

2

sinBcosB

2

sinB

2

2B s2B 4

sin(2B

4

9分

因为 ABC为锐角三角形

0 B 3 2所以 B 即

2B

42444 0 3 B

42

sinBsinC的取值范围是（

2 12分2419.（12分）某商场经过市场调查分析后得知：预计2013年从开始的前n个月内对某种商品需求的累计数 f(n)

190

n n 2 18 n ,n 1,2,3.....,12（单位：万件）.

（I）问在这一年内，哪几个月需求量将超过1.3万件？

（II）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销（即供大于求），每月初至少要投放多少件商品（精确到件）

解：（1）设第n个月的月需求量为an 则：an {因为f(n)

190

n(n 2)(18 n),1730

1.3 3分

f(1)(n 1)

f(n) f(n 1)(2 n 12)

所以a1 f(1)

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当n 2时，an （fn）-f(n-1)=令an 1.3,即 3n

2

190

( 3n

2

35n 19),

14

35n 19 117,解得 n 7,

3

因为 n N,所以n 5,6 6分即这一年的5、两6个月的需求量超过1.3万件

（2）设每月初等量投放商品a万件，要使商品不脱销，对于第n个月来说，不仅有本月投放市场的a万件商品，还有前几个月未销售完的商品.

所以，需且只需：na f(n) 0对n 1,2 12恒成立,则 a 又因为

f(n)n

(n 2)(18 n)

90 1[

, 9分

(n 2)(18 n)

90109

(n 2) (18 n)2

]

902

所以 a ， 11分

即每月初至少要投放11112件商品，才能保证全年不脱销. 12分

20.（13分）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn a(Sn an 1)（a为常数，a 0,a 1 （Ⅰ）求 an 的通项公式；

2

Sn an，若数列{bn}为等比数列，求a的值； （Ⅱ）设bn an

（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，令cn

3n 2

bn

，求数列{cn}的前n项和为Tn.

解：（Ⅰ）S1 a(S1 a1 1)∴a1 a, ……….1分 当n

2

时， Sn a(Sn an 1)

anan 1

Sn 1 a(Sn 1 an 1 1)

两式相减得：an a an 1，

a

(a≠0，n≥2)即{an}是等比数列．

∴an a an 1 an；…4分

n

2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a≠1 bn (a)

a(a

n

1)

a 1

a,bn

n

(2a 1)a

2n

aa

n

a 1

3

，

若{bn}为等比数列，则有b22 b1b3, 而b1 2a ，b2 a(2a 1)

2

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b3 a(2a a 1) ……6分

42

故[a(2a 1)] 2a a(2a a 1)，解得a 再将a

12

32242

12

， ……………………7分

代入得bn ()n成立，所以a

21

112

． …………8分

（III）由（Ⅱ）知bn ()n，

2

所以cn (3n 2) 2

Tn 5 2 8 2

2Tn 5 2

2

n

11 2 8 2

3

3

(3n 2) 2 (3n 1) 2

n

n

2

(3n 2) 2

n 1

Tn (3n 1) 2

n 1

2………13分21.（14分）古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（n N*）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题： （I）求a1，a2，a3，并写出an的一个递推关系； （II）记bn（提示：Sn

an 1，求和Sn

1 i j n

bibj

（i，j

2

2

N*）；

2

2

1 i j n

bibj S1S2

12

[(b1 b2 bn) (b1 b2 bn)]

S1 S3 S2n 1S2 S4 S2n

421

）

（III）证明：解：(1)

17

S1 S3S2 S4

(n N*)．

a1 1，a2 3，a3 7

………2分

事实上，要将n个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面n 1个圆盘转移到B柱上，需要an 1次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将B柱上的n 1个圆盘转移到C柱上，需要an 1次转移，所以有an

2an 1 1

………4分

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（II）由（1）得：an所以an

Sn

1 2(an 1 1) an 1 2bn an 1 2

2

n

，

2 1

n

12

n

…………6分

2

2

2

1 i j n

bibj [(b1 b2 bn) (b1 b2 bn)]

1212

[(2

n 1

2

2

2

n

2 )

n

22

(2 2 2

n2

1

n

2

46n2

2)]

[(2 2 )

43

43

n

( 4

5

]

3

n 1

2 4 …………9分 3

（III）（II）得：Sn 令cn

(2 1)(2 1)

S1 S3 S2n 1S2 S4 S2n

1

，则当n 2时

2

cn

S1 S3 S2n 1S2 S4 S2n

1

(2 1)(2 1)

2

3

(2 1)(2 1)(2 1)(2 1)

(2 1)(2 1)

4

5

34

(2(2

2n 12n

1)(2

2n

1) 1)

1)(2

2n 1

22

1 1

2n 1

12

2n 1

1

14

2

1

2n 1

14

14

12

2n 1

1

14

cn 1 ()

4

1

n 1

c1

又c1

S1S2

12 1

3

17

421

，所以对一切n N*有：

S1 S3S2 S4

S1 S3 S2n 1S2 S4 S2n

c1 c2 c3 cn

c1

1

121n 1

c1 ()c1 ()c1444

1n1 ()

4) 4 4 (1)n 4 c1(

121214211

4

…………12分

（方法二：

cn

12

2n 1

1

1 12

2n 11n () 1 14，从第四项开始放缩求和）

另方面cn 0恒成立，所以对一切n N*有

S1S2

S1 S3S2 S4

S1 S3 S2n 1S2 S4 S2n

17

S1 S3 S2n 1S2 S4 S2n

421

(n N*)

c1 c2 c3 cn c1

17

S1S2

综上所述有：

S1 S3S2 S4

…………14分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3jf4.html