三角形与平行线 七年级培优较难题

一、三角形与平行线

七年级下学期综合题（二）

１１ 如图, AB∥CD, 点P为一个动点, 下面四个图形中点P相对于A、B、C、D四点的位

置不同, 那么∠APC与∠PAB, ∠PCD的关系是否也不同, 请你分别探讨, 写出你的结论, 并对每一个结论说明理由.

１２。已知, 如图, 射线CB∥OA, ∠C=∠OAB, 点E、F在CB上, 且满足∠FOB=∠AOB, OE平分∠COF.

(1) 若∠C=100°, 求∠EOB的度数.

(2) 若平行移动AB, 其它条件不变, 那么∠OBC:∠OFC的值是否发生变化? 若变化, 找

出变化规律, 若不变, 求出这个比值. (3) 在平行移动AB的过程中, 若∠OEC=∠OBA, 则有①

?AOB为定值; ②?OEB 为?COE?OAB定值, 其中有一个结论是正确的, 找出正确结论并求该定值.

１３。已知, 如图, 直线AB∥CD, 直线EF分别交AB、CD于E、F两点, EM、FN分别平分

∠BEF、∠CFE. (1) 求证: EM∥FN;

(2) 如图, ∠DFE的平分线交EM于G点, 求∠EGF度数;

(3) 如图∠BEG、∠DFG的平分线交于H点, 试问: ∠H与∠G的度数是否存在某种特

定的等量关系? 证明你的结论, 并根据结论猜想: 若∠BEH、∠DFH的平分线交于Ｋ点, ∠Ｋ与∠G度数关系，请是，说明理由。

1４ 已知直线a∥b, 点A在直线a上, 点B、C在直线b上. (1) 如图, 求证: ∠1+∠2+∠3=180°.

(2) 如图, 点D在线段BC上, 且恰有AB平分∠MAD, AC平分∠NAD,

?x?y?z?0?若∠DEC=(x+z)°, 且x、z满足方程组?89x?90y?91z?0, 求证: ∠1=∠2.

?222?89x?90y?91z?90(3) 若点F为线段AB上不与A、B重合的一动点, 点H在AC上, FQ平分∠AFD交AC

?、于Q, 设∠HFQ=y°, (此时点D为线段BC不与点B、C重合的任一点), 问当?、

y之间满足怎样的等量关系时, FH∥a. (如图)

M N

１４

１５ 探究下列问题:

在下列三个图形中, 已知∠ABC=2°, ∠θ=90°. (1) 在图(a)中, ∠α1=∠β1, 试求∠A的度数;

(2) 在图(b)中, ∠α1=∠β1, ∠α2=∠β2, 试求∠A的度数;

(3) 在图(c)中, ∠α1=∠β1, ∠α2=∠β2, ?, ∠αn=∠βn(n为大于1的自然数), 试推

出∠A的度数x与n的关系式.

１６ 如图，所示△ABC是三块平面镜.

已知: 入射光线EF经平面镜AC反射成光线FG, 满足∠EFC=∠AFG. (其余光线经平面镜反

射类同)

(1) 如图1, 若EF∥AB, FG∥BC, ∠A=70°, 则∠B的度数为 ;

(2) 如图2, 光线EF经平面镜AC反射成FG, 再经平面镜AB反射成GF(∠GEB≠

∠FEC), 若∠A=80°, 求∠FEG的度数;

(3) 如图3, 若光线EF∥AB, FG∥BC, FG经平面镜AB反射成GH, GH∥AC, GH经平面

镜BC反射成HD, 问HD是否平行于AB? 若平行, 请画出HD, 并证明; 若不平行, 请说明理由.

１７ 两条平行直线上各有n个点, 用这n对点按如下规则连接线段: ①同一直线上的点之间不连接, ②连接的任意两条线段可以有共同的端点, 但不得有其他的交点. (1) 画图说明当n=1, 2, 3时, 连接的线段最多各有多少条?

(2) 由(1) 猜想n(n为正整数)对点之间连接的线段最多有多少条, 证明你的结论; (3) 当n=2009时, 所连接的线段最多有多少条?

(4) 试猜想当n对点时, 按上述规则画出的图形中, 最少有多少个三角形? (5) 当n=2009时, 按上述规则画出的图形中, 最少有多少个三角形?

１８ 如右图, 一个直角△ABC的木框和一个端点为O且可任意调整角度的直尺, 其中∠ACB=90°, ∠A=?.

(1) 如图, 调整角尺, 使角尺的一边OD垂直于AB, 另一边OE经过直角顶点C, 与AB

交于E点, 若∠DOE=45°, ?=30°, 求∠BCE;

(2) 如图, 使角尺的一边OD垂直于边AB, 另一边OE搭在直角边AC上, 调整此时的角

度, 使∠DOE=∠A, 延长BC交OE于F, 作FG平分∠CFE交AC于G, 请判断此时FG与AB的位置关系, 并证明你的结论;

(3) 如图, 使角尺的两边分别与△ABC的两边垂直, 即OD⊥AC于D, OE⊥AB交BA的

延长线于E, ∠DOE与∠ACB的平分线交于点P. 是否存在一个?, 使∠P=?? 若存在, 请求出?的值; 若不存在, 请说明理由.

１９。已知△ABC中, AB=AC, AD⊥BC于D.

(1) 如图(1)中, AB=AC=13, BC=10, AD=12, P为边BC上任意一点, PE⊥AB于E,

PF⊥AC于F, 求PE+PF的值;

(2) 如图(2)中, AB=AC=13, BC=24, AD=5, P为线段BC延长上任一点, PE⊥AB于E, PF

⊥AC于F, 试探究PE与PF之间是否存在某种确定的数量关系, 若存在, 试求出; 若不存在, 请说明理由.

图（1） 图（2） ２０ 6. 如图, 四边形ABCD中, AD∥BC, DE平分∠ADB, ∠BDC=∠BCD. (1) 求证: ∠1+∠2=90°.

(2) 若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F, 且∠F=55°, 求∠ABC.

(3) 若H是BC上一动点, F是BA延长线上一点, FH交BD于M, FG平分∠BFH, 交DE

于N, 交BC于G. 当H在BC上运动时(不与B重合), ①②

?BAD??DMH的值不变;

?DNG?DNG的值不变, 其中只有一个结论是正确的, 请判断正确的结论并求出其值. ?BMH

1、如图，△ABC中，B、C两点分别相交在x轴的负半轴和正半轴上，AO、BD是内角∠

BAC、∠ABC的平分线，AO、BD相交于点I，若∠BAC=α+β，∠ABC=α－β，∠ACB=α（0°＜β＜α＜90°）。 A（1）求∠AIB的度数；

D

I CB（2）一直线垂直于OA分别交直线AB、AO、x轴及AC于Q、T、E、P，

求证：∠BEQ=

1β. 2

2、在直角坐标系中，E、F分别是x轴负半轴和正半轴上一点，G是y轴正半轴上一点，且∠OGE=∠OGF. （1）设E（a，0），F（b，0），G（0，c），若｜a+b｜+（a+2c－4）2≤－（b+c-5）2，求E、

F、G三点的坐标，并求出S△EFG；

（2）P是x轴正半轴上一点，过P点任作一直线分别交GE、GF的延长线于A、B，求证：

∠APE=

1（∠ABG－∠A ） 2（3）在（2）的条件下，过P另作一直线分别交GE、GF于C、D，且使∠APE=∠CPE，

下面两个结论：①∠APC的度数是一个定值。②∠A+∠BDC的度数是一个定值。其中只有一个结论是正确的，请选出正确的结论，并求出其值。 G CBD D FPEBP E A第2题图 OA 第3题图

3、如图，在直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a，b满足（a+b－7）2+|2a－b－2|=0。 （1）求A、B的坐标及S△OAB；

（2）E、D是AB上两点，并且满足∠AOD=∠ADO，∠BOE=∠BEO，求∠EOD。 （3）在（2）的条件下，DP平分∠BDO，EP平分∠OED，下列结论： ①

?P?P为定值；②为定值，其中只有一个是正确的，

?BDO??OEA?BDO??OEABDPO第3题图 请你作出正确的选择，并证明你的结论。

EA

解：

设在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD交与点D 猜想∠D与∠A的关系为：∠D＝∠A/2 理由：

如图，根据“三角形任一外角等于不相邻的两个内角的和”得： ∠D＋∠DBC＝∠DCE 所以∠D＝∠DCE－∠DBC 同理∠A＝∠ACE－∠ABC

因为BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE 所以∠DBC＝∠ABC/2，∠DCE＝∠ACE/2 所以∠D＝∠ACE/2－∠ABC/2

＝(∠ACE－∠ABC)/2 ＝∠A/2

第二个结论对，1/10

4、如图, 直线AB分别交x轴、y轴于A、B, C在y轴正半轴上, 作∠OCD＝∠OAB, CD

交OA于D.

(1) 请说明CD与AB的位置关系, 并予以证明；

(2) ∠ADC的平分线DE与∠OAB的平分线交于F, 求∠F；

(3) M是线段AD上任意一点(不同于A、D), 作MN⊥x轴交AF于N, 作∠ADE与∠ANM

的平分线交于P点, 在前面的条件下, 给出下列结论：①∠P－∠MAN的值不变；②∠P 的值不变. 可以证明, 其中有且只有一个结论是正确的, 请你作出正确的选择并求值. CC EPE DDM DOAOOAAFF NB FB

5、如图, 点A、B在x轴上, 点C在y轴的正半轴上,

(1)若CE平分∠ACB交AB于点E. 求证：∠CAB－∠CBA＝2∠OCE；

(2)若∠CAB＝60o, 点M为AC延长线上的动点, MF、BG为△AMB的角平分线且交于点I. 下列结论：①

IG的值不变；②MG＋BF的值不变. 其中有且只有一个是正确的, 请指出IF正确的结论并求出该值.

6、在直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点是A（0，a），B（b，0），C（c，0），D是线

段上AB上任一点，直线OD交直线AC于E，∠ADO和∠ABO的平分线交于点P。 （1）若|a-2b-c|+（a+2b）2+（b+1）2n=0（其中n为正整数），求A、B、C的坐标，并求△

ABC的面积。

（2）若E点在AC边的延长线上，∠ACB与∠AED的平分线交于Q点，下面两个结论：

①∠P+∠Q的值不变；②∠P－∠Q的值不变，其中只有一个结论是正确的，请选择正确的结论并给出证明，求出定值。 （3）若E点CA边上的延长线上，第（2）问的结论是否仍然成立呢？若成立，请给出证明；

若不成立，不否存在其它的特性呢？试探索，并说明理由。 M EACC GID PQ AOEBAOBOCFB 第5题图 第6题图

7、 图甲，平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A、B两点，令∠OAB=x°，

∠OBA=y°. （1）若x2?2?3(y?2)3，求∠OAB，∠OBA.

（2）如图乙，沿AB、OB放置两面镜子，从O点发出的光线经AB、OB两次反射后，光线DF与入射光线OC交于E点，在（1）的条件下，求∠CED. （3）如图丙，过线段AO上任一点G作直线交线段AB于M，交y轴负半轴于N，∠AMG与∠NOG的平分线交于P点，且∠MBN=∠MNB，下列结论①∠P的值不变；②∠P+∠MNB的值不变，可以证明，其中有且只有一个结论正确，请选择并求值。

8、在平面直角坐标系xOy中，x轴上和第一象限AB方向上各有一平面镜，AB方向上的平面镜与x轴的夹角为∠?，一束光线CD以∠?的入射角射到x轴上的点D（m，0），经两次反射后的反射线光线EF，已知??40?3?m?40??. （1）求点D的坐标与∠?的度数.

（2）∠?在什么范围时，反射光线EF才能与入射光线CD相交于一点H ？

（3）在（2）的条件下，平面镜绕B点旋转，设射线EF交x轴于F点，则下列结论：①

?DHE??HED?DHE??HED的值是定值；②的值是定值。其中只有一个正确，请

?EFD?EFB你判断出正确的结论，并证明。

9、在直角坐标系xOy中，在第一象限AB方向和x轴上各有一平面镜，一束光线CD经过两次反射后的反射光线是EF，且∠DCE＞∠DEC，已知C（m，0），E（n，0），其中m，n满足|m?3|?(n?4)2?0

（1）求C、E的坐标。

（2）若∠ABE=30°，求入射光线DC和反射光线EF所在直线的夹角∠Q的度数。 （3）若平面镜AB绕D点旋转时，设法线DH交y轴于H，则下列结论： ①

?DCE??DEC?DCE??DEC为定值，②为定值。其中只有一个正确，请你判断

?OHD?OHD出正确的结论，并证明。

10、如图，直角坐标系中，A点是第二象限一点，AB⊥x轴于B，且C（0，2）是y轴正半轴上一点，OB—OC=2，S四边形ABOC=11。 （1）求A点坐标；

（2）设D为线段OB上一动点，当∠CDO=∠A时，CD与AC之间存在怎样的位置关系？并

证明。

（3）当D点在线段OB上运动时，作DE⊥CD交AB于E，∠BED，∠DCO的平分线交于M，

现给出两个结论。①∠M的大小不变；②∠BED+∠CDO的大小不变。其中只有一个结论正确，请你判断哪个结论正确，并说明理由。

11、（1）已知平面直角坐标系中有一光源P（a，b），其中a、b满足满足

2

｜2a－b－5｜+（a－2b+5）=0。求P点坐标。

（2）如图，从P点发出一条光线PA经过x轴，y轴两次反射后以BC射出。

求证：PA∥BC。

（3）如图，若从P点发出的光线以不同的角度照射在x轴上，使A在x轴上0～a之间移

动，同样经过x轴、y轴的反射后以BC射出。连结PB并延长至E，作∠EBA的角平分线BF交x轴于F点。

则①

?P?P为定值 ②为定值。

?OBA?OBFy

从中选择一个正确的结论并证明求值。

B D O E x

A C y B C PF y B x C Px O A

O A M

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