广东省广州市2022届高三数学3月阶段训练(一模考试)试题 理(含解

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- 1 - 广东省广州市2021届高三数学3月阶段训练（一模考试）试题 理（含

解析）

一、选择题: 本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）

B. 1

C. 2

D. 12

【答案】A

【解析】

【分析】 根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果. 【详解】由题可知：()()()2

2

212221111i i i i i z i i i i --===++-- 由21i =-，所以1z i =+

所以z ==

故选：A

【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.

2.已知集合{}0,1,2,3A =，}{

21,B x x n n A ==-∈，P A B =?，则P 的子集共有（ ） A. 2个

B. 4个

C. 6个

D. 8个

【答案】B

【解析】

【分析】 根据集合A 中的元素，可得集合B ，然后根据交集的概念，可得P ，最后根据子集的概念，利用2n 计算，可得结果.

【详解】由题可知：{}0,1,2,3A =，}{

21,B x x n n A ==-∈ 当0n =时，1x =-

当1n =时，0x =

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- 2 - 当2n =时，3x =

当3n =时，8x =

所以集合}{

{}21,1,0,3,8B x x n n A ==-∈=- 则{}0,3P A B =?=

所以P 的子集共有224=

故选：B

【点睛】本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合P 中有n 元素时，集合P 子集的个数为2n ，真子集个数为21n -，非空子集为21n -，非空真子集为22n -，属基础题.

3.sin80cos50cos140sin10????+=（ ）

A.

C. 12-

D. 12

【答案】D

【解析】

【分析】

利用109080,1409050?????=-=+，根据诱导公式进行化简，可得sin80cos50cos80sin 50????-，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.

【详解】由809010,1409050?????=-=+

所以()sin10sin 9080cos10????

=-= ()cos140cos 9050sin50????=+=-， 所以原式()sin80cos50cos80sin50sin 8050??????=-=- 所以原式1sin 302==

故1sin80cos50cos140sin102

????+=

故选：D 【点睛】本题考查诱导公式以及两角差正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.

4.已知命题p ：x ?∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ?∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）

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- 3 - A. p q ∧

B. p q ?∧

C. p q ∧?

D. p q ?∧?

【答案】B

【解析】

【分析】 根据?<0，可知命题p 的真假，然后对x 取值，可得命题 q 的真假，最后根据真值表，可得结果.

【详解】对命题p ：

可知()2140?=--<，

所以x ?∈R ，210x x -+>

故命题p 为假命题

命题 q ：

取3x =，可知2332>

所以x ?∈R ，22x x >

故命题q 为真命题

所以p q ?∧为真命题

故选：B

【点睛】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.

5.已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x

=-，则()}{21x f x +>=（ ） A. {3x x <-或}0x > B. {0x x <或}2x > C. {

2x x <-或}0x > D. {2x x <或}4x > 【答案】C

【解析】

【分析】 简单判断可知函数关于1x =对称，然后根据函数()2f x x x =-的单调性，并计算210

x x x ?-=???≥?，

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- 4 - 结合对称性，可得结果.

【详解】由()()11f x f x -=+，

可知函数()f x 关于1x =对称

当1x ≥时，()2f x x x =-

， 可知()2f x x x

=-在[)1,+∞单调递增 则2120

x x x x ?-=??=??≥? 又函数()f x 关于1x =对称，所以()01f =

且()f x 在(),1-∞单调递减，

所以20x +<或22x +>，故2x <-或0x >

所以()}{21x f x +>={2x x <-或}0x >

故选：C

【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：()()11f x f x -=+，()()110f x f x -++=，考验分析能力，属中档题.

6.如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）

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- 5 - A. B. C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.

【详解】由题意，当0x =时，P 与A 重合，则P '与B 重合，

所以||2OP OP BA '-==,故排除C,D 选项；

当02x π<<

时，||2sin()2cos 2

OP OP P P x x π''-==-=，由图象可知选B. 故选：B

【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.

7.陀螺是中国民间最早娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）

A. (722+π

B. (1022+π

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- 6 - C. ()1042+π

D. ()

1142+π 【答案】C

【解析】

【分析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，

【详解】由题意可知几何体的直观图如图：

上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+

???=+， 故选：C

【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.

8.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）

A. 1211e e r R e e

++-- B. 111e e r R e e ++-- C. 1211e e r R e e -+++ D.

111e e r R e e -+++ 【答案】A

【解析】

【分析】

由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.

【详解】椭圆的离心率：=(0,1)c e a

∈，（ c 为半焦距; a 为长半轴）， 设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r ，n ，如图：

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- 7 - 则,

n a c R r a c R =+-=-- 所以1r R a e +=-,()1r R e c e

+=-, ()121111r R e r R e e n a c R R r R e e e e

+++=+-=+-=+---- 故选：A

【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题.

9.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ）

A. 19

B. 29

C. 13

D. 49

【答案】B

【解析】

【分析】

根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222

C C C C A ，然后计算1A 和1B 分在一组的数目为11

22C C ，最后简单计算，可得结果.

【详解】由题可知：

分别从3名男生、3名女生中选2人 ：2233C C

将选中2名女生平均分为两组：112122C C A

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- 8 - 将选中2名男生平均分为两组：112122

C C A 则选出的4人分成两队混合双打的总数为：

221111112223322212133

222222218C C C C C C C C C C A A A A == 1A 和1B 分在一组的数目为11224C C = 所以所求的概率为

42189

= 故选：B 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m 组，则要除以m

m A ，即!m ，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.

10.已知1F ，2F 是双曲线222:1x C y a -=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B

两点，若AB =2ABF 的内切圆的半径为（ ）

【答案】B

【解析】

【分析】

设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.

【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -

，由题意可得2

2b AB a

== 由1b =

，可得a =

所以双曲线的方程为: 2

212

x y -=

所以12(F F ，

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- 9 -

所以2121122

ABF S AB F F =??==三角形ABF 2的周长为

()(

)22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r

，所以三角形的面积1122S C r r =

??=?=，

所以=，

解得3

r =

， 故选：B 【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.

11.已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，

()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）

A. 2cos x -

B. 2sin x -

C. 2cos x

D. 2sin x

【答案】D

【解析】

【分析】 通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.

【详解】由题可知：()sin f x x x =

所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-

()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+

()55sin cos ,f x x x x =+???

所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+

()()4242cos sin k f x k x x x -=--

()()4141sin cos k f x k x x x -=---

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- 10 - ()44cos sin k f x k x x x =-+

由201945051,202145063=?-=?-

所以()20192019sin cos f x x x x =--

()20212021sin cos f x x x x =+

所以()()201920212sin f x f x x +=

故选：D

【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.

12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题:

①1EF B C ⊥;

② 直线FG 与直线1A D 所成角为60?;

③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;

④ 三棱锥B EFG -的体积为56

. 其中，正确命题的个数为（ ） A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 【答案】C

【解析】

【分析】

画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可．

【详解】如图；

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- 11 - 连接相关点的线段，O 为BC 的中点，

连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；

直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60?；正确；

过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：

是五边形EHFGI ．所以③不正确；

如图：

三棱锥B EFG -的体积为：

由条件易知F 是GM 中点，

所以B EFG B EFM F BEM V V V ---==,

而=

2311522131=2222BEM ABE EDM ABMD S S S S ??+?-??-?-?=-梯形， 1551326F EBM V -=??=．所以三棱锥B EFG -的体积为56

，④正确； 故选：C ．

【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．

二、填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．

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- 12 - 13.设向量a (),1=m ，b ()2,1=，且a b ?=()

2212a b +，则m =_________. 【答案】2

【解析】

【分析】

根据向量的数量积的计算，以及向量的平方，简单计算，可得结果.

【详解】由题可知：21a b m ?=+

且2221,5a m b =+=

由a b ?=()

2212

a b + 所以()21212215m m m +++=?= 故答案为：2

【点睛】本题考查向量的坐标计算，主要考查计算，属基础题.

14.某种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，且

(33)P Z μσμσ-<<+0.9974=．某用户购买了10000件这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间(3,3)μσμσ-+之外的产品件数为_________．

【答案】26

【解析】

【分析】

直接计算()100001(33)P Z μσμσ?--<<+，可得结果.

【详解】由题可知：(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=

则质量指标值位于区间(3,3)μσμσ-+之外的产品件数：

()100001(33)100000.002626P Z μσμσ?--<<+=?=

故答案为：26

【点睛】本题考查正太分布中3σ原则，审清题意，简单计算，属基础题.

15.()52321--x x 的展开式中，2x 的系数是__________. (用数字填写答案)

【答案】25-

【解析】

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- 13 - 【分析】

根据组合的知识，结合组合数的公式，可得结果.

【详解】由题可知：2x 项来源可以是：（1）取1个23x ，4个1-

（2）取2个2x -，3个1-

2x 的系数为：()()()423

14235453312125C C C C ??-+--=- 故答案为：25-

【点睛】本题主要考查组合的知识，熟悉二项式定理展开式中每一项的来源，实质上每个因式中各取一项的乘积，转化为组合的知识，属中档题.

16.已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，且sin A ，sin B ，sin C 成等差数列， 则sin 22cos B B +的最小值为__________，最大值为___________.

【答案】

1+

(2). 2 【解析】

【分析】 根据正弦定理可得2b a c =+，利用余弦定理222

cos 2a c b B ac

+-=以及均值不等式，可得角B 的范围，然后构造函数()sin 22cos f B B B =+，利用导数，研究函数性质，可得结果.

【详解】由sin A ，sin B ，sin C 成等差数列

所以2sin sin sin B A C =+ 所以22

a c

b a

c b +=+?= 又2

222222cos 22a c a c a c b B ac ac

+??+- ?+-??== 化简可得22332621cos 882

a c ac ac ac B ac ac +--=≥= 当且仅当a c =时，取等号

又()0,B π∈，所以0,3B π??∈ ???

令()sin 22cos f B B B =+，0,

3B π??∈ ???

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- 14 - 则()'22cos22sin 24sin 2sin f B B B B B =-=--

()()'12sin sin 12f B B B ??=--+ ??

? 当1sin 2B >，即,63B ππ??∈ ???

时，()'0f B < 当1sin 2B <，即0,6B π??∈ ???

时，()'0f B > 则()sin 22cos f B B B =+在0,

6π?? ???递增，在,63ππ?? ???递减 所以(

)max sin 2cos 6362f B f πππ??==+= ???

由()0sin02cos02f =+=，

2sin 2cos 13332f πππ??=+=+ ???

所以(

)min 13f B f π??==+ ??? 所以sin 22cos B B +

1+

最大值为2

1+

，2 【点睛】本题考查等差数列、正弦定理、余弦定理，还考查了不等式、导数的综合应用，难点在于根据余弦定理以及不等式求出0,3B π??∈ ???

，考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题. 三、解答题: 共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22、23题为选考题，考生根据要求做答.

（一）必考题：共60分．

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- 15 - 17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，1122

n n n S a --=

(n ∈N *). （1）求1n n a a ++； （2）令2n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列，并求其前n 项和n T .

【答案】（1）112n n n a a ++=-

；（2）证明见详解，11122n n T +=- 【解析】

【分析】

（1）根据1

122n n n S a --=，可得11122n n n S a ++-=，然后作差，可得结果. （2）根据（1）的结论，用1n +取代n ，得到新的式子，然后作差，可得结果，最后根据等比数列的前n 项和公式，可得结果.

【详解】（1）由1

122n n n S a --=①，则11122n n n S a ++-=② ②-①可得：1111112222n n n n n n a a a ++--+=

-=- 所以112

n n n a a ++=- （2）由（1）可知：112n n n a a ++=-

③ 则211

12n n n a a ++++=-④ ④-③可得：211111222n n n n n a a +++??-=-

--= ??? 则112n n b +=，且12

12n n b ++= 令1n =，则114

b =，2111

12122

n n n n b b +++== 所以数列{}n b 是首项为14，公比为12的等比数列 所以1111111142112222

12n n n n T +??- ?????==-=- ???-

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- 16 - 【点睛】本题主要考查递推公式以及,n n S a 之间的关系的应用，考验观察能力以及分析能力，属中档题.

18.如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ?∠=，90ABC ?∠=，3AC PB =.

（1）求证：AC PB ⊥；

（2）求直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见详解；（2）

5 【解析】

【分析】

（1）取AC 中点O ，根据,AC PO AC BO ⊥⊥，利用线面垂直的判定定理，可得AC ⊥平面OPB ，最后可得结果.

（2）利用建系，假设AC 长度， 可得AC ，以及平面PAB 的一个法向量，然后利用向量的夹角公式，可得结果.

【详解】（1）取AC 中点O ，连接,OP OB ，如图

由PA PC =，AB BC =

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- 17 - 所以,AC PO AC BO ⊥⊥

由PO BO O =,,PO BO ?平面OPB

所以AC ⊥平面OPB ，又PB ?平面OPB

所以AC PB ⊥

（2）假设3AC =，

由120APC ?∠=，90ABC ?∠=，3AC PB =. 所以333,,2PB OB OP === 则222PB OB OP =+，所以OP OB ⊥ 又OP AC ⊥，,AC OB O ?=,AC OB ?平面ABC 所以PO ⊥平面ABC ，所以PO OB ⊥，PO OC ⊥ 又OB OC ⊥，故建立空间直角坐标系O xyz -，如图

33330,,0,0,,0,,0,0,222A C B P ???????- ? ? ? ????????

()33330,3,0,,,0,0,222AC AB AP ???=== ? ????

设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =

则33002203302

x y n AB n AP y z ?+=???=?????=??+=??

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- 18 - 令3z =，所以()

1,1,3n =- 则直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值为5n AC

n AC ?= 【点睛】本题考查线面垂直、线线垂直的应用，还考查线面角，学会使用建系的方法来解决立体几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.

19.某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如下的频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）；

（2）若从这80个零件中尺寸位于[)62.5,64.5之外的零件中随机抽取4个，设X 表示尺寸在[]64.5,65上的零件个数，求X 的分布列及数学期望EX ；

（3）已知尺寸在[)63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率. 现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.

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- 19 - 【答案】（1）63.47；（2）分布列见详解，期望为

167；（3）余下所有零件不用检验，理由见详解.

【解析】

【分析】

（1）计算[)[)62.0,63.0,63.0,63.5的

频率，并且与0.5进行比较，判断中位数落在的区间，然后根据频率的计算方法，可得结果.

（2）计算位于[)62.5,64.5之外的零件中随机抽取4个的总数，写出X 所有可能取值，并计算相对应的概率，列出分布列，计算期望，可得结果.

（3）计算整箱的费用，根据余下零件个数服从二项分布，可得余下零件个数的期望值，然后计算整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值，进行比较，可得结果.

【详解】（1）尺寸在[)62.0,63.0的频率：

()0.50.0750.2250.15?+=

尺寸在[)63.0,63.5的频率：0.50.7500.375?=

且0.150.50.150.375<<+

所以可知尺寸的中位数落在[)63.0,63.5

假设尺寸中位数为x

所以()0.1563.00.7500.563.47x x +-?=?≈

所以这80个零件尺寸的中位数63.47 （2）尺寸在[)62.0,62.5的个数为800.0750.53??= 尺寸在[]64.5,65.0的个数为800.1000.54??= X 的所有可能取值为1，2，3，4 则()1343474135C C P X C ===，()22434718235C C P X C === ()31434712335C C P X C ===，()44471435C P X C === 所以X 的分布列为

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EX =?+?+?+?= （3）二等品的概率为()0.50.0750.2250.1000.2?++=

如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为

1100999900P =?=（元）

余下二等品的

个数期望值为890.217.8?=

如果不对余下的零件进行检验，

整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为

2119950017.89989P =?+?=（元）

所以12P P >，所以可以不对余下的零件进行检验.

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，掌握中位数，平均数，众数的计算方法，中位数的理解应该从中位数开始左右两边的频率各为0.5，考验分析能力以及数据处理，属中档题.

20.已知函数()e ln x

b f x a x x

=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =.

（1）求a ，b 的值；

（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-.

【答案】（1）2,1a b ==（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）求导，可得f '（1）a =，f （1）be =-，结合已知切线方程即可求得a ，b 的值；

（2）利用导数可得0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，0(1,2)x ∈，再构造新函数

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h x lnx x x =-<<-，利用导数求其最值即可得证． 【详解】（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()()x x a b xe e f x x x

-'=-， 则f '（1）a =，f （1）be =-，

故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=，

又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=，

2a ∴=，1b =；

（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则2

2()x x

x xe e f x x -+'=， 令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减，

又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<，

故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，

且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，

由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<，

故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，

且当0(0,)x x ∈时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0

故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即00002,(1,2)1

x x e x x =∈-， 则0000002()221

x e f x lnx lnx x x =-=--， 令2()2,121

h x lnx x x =-<<-，则222()0(1)h x x x '=+>-， 故()h x 在(1,2)上单调递增，

由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即00222221

lnx ln x -

<--， 0()222f x ln ∴<-． 【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3j8l.html