上海市宝山区2015学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监

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宝山区2015学年度第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷

（本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．）

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4

分，否则一律得零分．

1.方程4?2?6?0的解集为 .

2.已知:(1-2i)z?5+10i（i是虚数单位 ），则z= .

3．以(1,2)为圆心，且与直线4x?3y?35?0相切的圆的方程是 ．

n????2??4.数列???,n?N*?所有项的和为 ．

??3????xx5. 已知矩阵A=???12??x6??1922??????，B=，AB=，则x+y= ． ??????y4??78??4350?6. 等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为 .

a??37．若?x??的展开式中x的系数是-84，则a= ．

x??x2y2??1的两条渐近线所围成的三角形的面积等8. 抛物线y??12x的准线与双曲线9329于 ．

9. 已知?,t?0,函数f(x)?31sin?xcos?x的最小正周期为2?，将f(x)的图像向左平移t个单

位，所得图像对应的函数为偶函数，则t的最小值为 ．

10.两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘红色、白色两辆轿车结伴郊游，每辆车最多乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是 ．

rrrrrr3rr11. 向量a，b满足a?1，a?b?，a与b的夹角为60°，则b? .

2???，则12. 数列1，，，，，，，，，，1212312342132143218是该数列的第 项. 913. 已知直线(1?a)x?(a?1)y?4(a?1)?0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数

y?x?

1的图像上，则PQ连线的斜率的取值范围是 . x1

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14. 如图，已知抛物线y2?x及两点A1(0,y1)和A2(0,y2)，其中y1?y2?0.过A1，A2分别作y轴的垂线，交抛物线于B1，B2两点，直线B1B2与y轴交于点A3(0,y3)，此时就称A1，A2确定了A3.依此类推，可由A2，A3确定A4，L.记An(0,yn)，n?1,2,3,L.

给出下列三个结论： ① 数列{yn}是递减数列； ② 对任意n?N，yn?0； ③ 若y1?4，y2?3，则y5?*2. 3其中，所有正确结论的序号是_____．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 15.如图，该程序运行后输出的结果为…… （ ） （A）1 （B）2 （C）4 （D）16

16. P是?ABC所在平面内一点，若CB??PA?PB，其中??R， 则P点一定在……（ ）

（A）?ABC内部 （B）AC边所在直线上 （C）AB边所在直线上 （D）BC边所在直线上 17.若a,b是异面直线，则下列命题中的假命题为

------------------------------------------ （ ）

（A）过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面?与直线b平行； （B）过直线a至多可以作一个平面?与直线b垂直； （C）唯一存在一个平面?与直线a、b等距； （D）可能存在平面?与直线a、b都垂直。

18.王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）

网络 甲：联通130 乙：移动“神州行”

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月租费 12元 无 本地话费 0.36元/分 0.60元/分 长途话费 0.06元/秒 0.07元/秒 第 3 页 共 9 页

若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算. ……（ ）

（A）300秒 （B）400秒 （C）500秒 （D）600秒

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务

必写在黑色矩形边框内． A19．（本题满分12分）

在三棱锥P?ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P?ABC的体积为20，Q是BC的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。

P

Q

B

20. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

已知角A、B、C是?ABC的三个内角，a、b、c是各角的对边，若向量

C9A?B?A?B???5m??1?cos(A?B),cos?,n??,cos?,且m?n?.

82?2???8（1）求tanA?tanB的值； （2）求

21. （本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变． ．．．

（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列?an?，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列?bn?，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

absinC的最大值. 222a?b?ca1?10 b1?2 a2?9.5 b2?3 a3? b3? a4? b4? … … （2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？

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22. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

x21?y2?1上两个不同的点A,B关于直线y?mx?(m?0)对称． 已知椭圆

22（1）若已知C(0,)，M为椭圆上动点，证明：MC?（2）求实数m的取值范围；

（3）求?AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

1210； 2y

23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

OBAx已知函数f(x)?logkx（k为常数，k?0且k?1），且数列?f(an)?是首项为4， 公差为2的等差数列.

(1)求证：数列?an?是等比数列； (2) 若bn?an?f(an)，当k?1时，求数列?bn?的前n项和Sn的最小值； 2（3）若cn?anlgan，问是否存在实数k，使得?cn?是递增数列？若存在，求出k的范围；

若不存在，说明理由．

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宝山区2015学年第一学期期末高三年级数学

参考答案

一．填空题

1. ?log23? 2. -3-4i 3．?x?1???y?2??25 4． 2

225. 8 6. 10.48 11.

5?2? 7． 1 8. 33 9.

661 12. 128 13. [?3,??) 14. ① ② ③ 2二．选择题 15.D 16. B 17. D 18.B

三．解答题 19．解：V?11??5?6PA?20，所以PA?4，-------------------3分 32取PC的中点为D，连结AD，DQ，

则?AQD为异面直线PB，AQ所成的角，--------------------------------5分

5PD?3,QD?，DA?5，------------------------------------7分

2因为QD?平面PAC，所以QD?AD----------------------9分 所以tan?AQD?2

异面直线PB，AQ所成的角为arctan2。-----------------------12分

20. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

APQBDCururr9A?Br5A?B),n?(,cos)，且m?n?， 解：（1）由m?(1?cos(A?B),cos8282592A?B?.-----------------------------------------------------2分 即[1?cos(A?B)]?cos828∴4cos(A?B)?5cos(A?B),--------------------------------------------------------------------4分

1.----------------6分 9absinCabsinC1??tanC，-----------------8分 （2）由余弦定理得222a?b?c2abcosC2tanA?tanB9?(tanA?tanB)------------------------------------------10分 而∵tan(A?B)?1?tanAtanB81由tanAtanB?知：tanA,tanB?0 ------------------------------------------11分

993tan(A?B)??2tanAtanB?,

84即cosAcosB?9sinAsinB,∴tanAtanB?

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1时取等号，-------------------------------------------------------------12分 33又tanC??tan(A?B),∴tanC有最大值?，

43absinC?所以2的最大值为.---------------------------------14分 8a?b2?c2当且仅当tanA?tanB?21. 解：（1）

a1?10 b1?2 a2?9.5 b2?3 a3? 9 b3? 4.5 a4? 8.5 b4? 6.75 … … --------------------------------------------------------------1分

?当1?n?20且n?N时，an?10?(n?1)?(?0.5)??n21?； 22当n?21且n?N时，an?0．

??n21????,1?n?20且n?N----------------------------------------------------------4分 ?an??22?0,n?21且n?N??而a4?b4?15.25?15，

?3n?1??2?(),1?n?4且n?N-------------------------------------------------------------7分 ?bn??2?6.75,n?5且n?N??（2）当n?4时，Sn?(a1?a2?a3?a4)?(b1?b2?b3?b4)?53.25．---------------8分 当5?n?20时，Sn?(a1?a2?L?an)?(b1?b2?b3?b4?b5?L?bn)

32[1?()4]n(n?1)12?6.75(n?4) ?10n??(?)?3221?2126843n? ??n?------------------------------------------------------------11分

444126843n??200，即n2?68n?843?0， 由Sn?200 得?n?444解得n=34?313?16.30?21 --------------------------------------------------------------13分

?到2029年累积发放汽车牌照超过200万张----------------------------------------------------14分

22. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

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x2?y2?1, 于是 解：（1）设M(x,y),则211MC?x2?(y?)2=2?2y2?(y?)2

22 ??y2?y?9 --------------------------------------------------------2分 4 ?15?(y?)2?

22 因?1?y?1,

所以，当y??11010时，MC.即MC? ----------------------------4分 ?max222（2）由题意知m?0，可设直线AB的方程为y??1x?b. ------------------------------5分 m?x2?y2?1,??2由?消去y，得 ?y??1x?b,?m?2?m222b2x?x?b?1?0. --------------------------------------------------------7分 22mm1x2?y2?1有两个不同的交点， 因为直线y??x?b与椭圆

m2所以,???2b?2?即b?1?224?0， 2m

①----------------------------8分

2 m22mbm2b,) --------------------------------------------------------9分 将AB中点M(2m?2m2?21m2?2代入直线方程y?mx?解得b?? 222m由①②得m??

②

66或m? --------------------------------------------------------10分 33 7

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（3）令t?3166?(?,0)(0,)，即t2?(0,)，

2m22?2t4?2t2?则 AB?t2?1?321t?22 --------------------------------------------11分

12 -----------------------------------------------12分 且O到直线AB的距离为d?t2?1t2?设?AOB的面积为S(t)，所以

S(t)?1112 --------------------------14分 AB?d??2(t2?)2?2?22222当且仅当t?1时，等号成立. 2故?AOB面积的最大值为2. ---------------------------------------------------16分 223．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 解：(1) 证：由题意f(an)?4?(n?1)?2?2n?2，即logkan?2n?2， ∴an?k2n?2 ---------------------------------2分

an?1k2(n?1)?2?2n?2?k2. ∴ank2∵常数k?0且k?1，∴k为非零常数，

42kka??∴数列n是以为首项，为公比的等比数列. -----------------------4分

11时，an?n?1 , f(an)?2n+2，----------------------6分

221?1?1???2n?2?4114?2n?所以Sn?n??n2?3n??n?1-------------------8分

12221?2112n?1n?3n??,所以，是递增数列， 因为n?1221115因而最小值为S1?1?3???。----------------------10分

2442n?2lgk，要使cn?cn?1对一切n?N*成立， (3) 由(1)知，cn?anlgan?(2n?2)?k(2) 当k?即(n?1)lgk?(n?2)?k?lgk对一切n?N成立. ----------------------12分

* 当k?1时，lgk?0，n?1?(n?2)k对一切n?N恒成立；---------------14分

2*2 8

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*2当0?k?1时，lgk?0，n?1?(n?2)k对一切n?N恒成立，

?n?1?2k?只需??，-------------------------------------------------16分

?n?2?minn?11?1?∵单调递增， n?2n?22?n?1?n?1?∴当时，?. -----------------------------------17分 ?n?23??min2∴k?26，且0?k?1， ∴0?k?. 33综上所述，存在实数k?(0,

6)U(1,??)满足条件. ------------------18分 3 9

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