换元法在中学数学解题中应用

换元法在中学数学解题中应用

摘 要本文主要介绍了中学数学中的换元法的概念，根据换元法在数学解题中的应用将其分别分类为整体换元法，局部换元法；常值换元法； 比值换元法；化高次为低次，化无理为有理，化分式为整式，对各种换元法的类型分别进行例题展示和总结，最后强调了换元法在换元时应注意的问题。

关键词：换元法；等量代换；关系 一.换元法及其相关概念 （1）换元法的基本概念

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称换元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式，在研究方程、不等式、函数、三角等问题中有广泛的应用。

（2）换元法的实质

换元法的实质就是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得到简化的一种解题方法。换元法的基本思想是通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，使问题发生有利的转化，从而达到解题目的。 （3 ）换元法的一般步骤

利用换元法解数学题的关键在于适当地选择“新元”，引进适当的代换，找到较容易的解题思路，能使问题简化。 即把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。 换元法的一般步骤：

（4）换元法的实用方法与应用技巧

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注意新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。 你可以先观察算式，可以发现这种要换元的算式中总是有相同的式子，然后把他们用一个字母代替，算出答案，然后答案中如果有这个字母，就把式子带进去，就计算出来了。 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换

成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。 二.常见的换元法的类型 1 从结构上分类 （1）整体换元法

有些题目的目的是加强换元法意识中的“整体观”,已知条件的一部分有机联系起来,看成是一个整体,然后进行整体的置换,这样的换元方法,我们就称它为“整体换元法”。 （2）局部换元法

本题用的是 “局部换元法”。从式子的特征看 ，把及各看作一个整体用和进行换元法 ,可使问题简化。 2 从数值上分类 （1）常值换元法

通常说的换元法，是把一个未知的代数式子用 一个字母来表示，从而使原问题得到简化。但有时，也需要把问题中的某个确定的常值用字母来代替，使问题获得巧妙的解答。我们把 这种解题方法叫做“常值换元法”。下面我们举几个例子来说明它的应用。 3 从功能上分类 （1）化高次为低次

解一元高次方程的基本思想是降次,而换元法是降次的一种基本方法。

（2）化分式为整式

运用换元法解分式方程,主要有三种情况：一是原方程可化为关于某一个分式的二次方程(如，本例题),这时,只须设这一分式为换元法即可；二是原方程中含有未知数的几个分式，除数字系数外，互为倒数关系（如，解方程： ） ，这时，只须设其中一个分式为换元法即可；三是含有未知数的各个分式的分母都是关于未知数的二次三项式，且二次项系数和一次项系数对应成比例数的绝对值最小的多项式为换元法即可。

（3)化无理式为有理式

解比较复杂的无理方程时,如果用两边平方的方法,将出现高次方程,增加解题难度,此时若能根据方程的特点,灵活地应用换元法,则可以实现化繁为简、化难为易的目的。在采用换元法解无理方程时,一般设整个根式为换元法,这样不仅能简化方程,而且往往能直接把无理方程化为有理方程。 三、换元中应注意的问题

换元法是中学数学的一种重要的解题方法。通过换元，可使非标准话问题标准化，复杂的问题简单化。由于这种方法应用较广，并且分布在中学数学的不同章节，不同问题中，学生学习时往往只会孤立地运用这种方法，机械地照抄照搬，对于何时能用换元法，何时不能用，用换元法需要注意哪些问题不太明确。因此，应用时难免出现方法不灵活，甚

至出现错用的现象。

四、能运用换元法解的问题

数学中许多问题的结论是由变量的取值范围唯一确定的，它与变量的变化方式（由小到大、由大到小、对称等）无关。

用换元法解题应注意的两点

（1）选择适当的换元，使换元后有利于运算，有利于标准化

（2）换元后要注意新变量的选取

换元时一定要注意新变量的取值范围对应于原变量的取值范围，不能扩大也不能缩小。但进行参数换元中的三角换元时，角的范围的取法不唯一。 五、结论

通过以上所有例子可以看出 ,在初中数学中,换元法的确有着极其重要的作用。学会运用换元法,不但可以沟通数学各个分支之间的联系,还可以扩大视野,培养学生的学习兴趣。对于一些较难的题目,我们还应当通过认真观察问题的结构特征 ,深入分析问题的隐含条件 ,采用类比、联想猜测等手段进行适当的换元 ,并综合运用各方面的知识给予解决。 参考文献

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