3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理

3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理 -

3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理 直线运动的描述(线量): 直线运动的描述(线量): 位移、速度、加速度、 位移、速度、加速度、力、动量、冲量、 动量、冲量、 动量定理、动能、动能定理… 动量定理、动能、动能定理… 定轴转动运动的描述(角量): 定轴转动运动的描述(角量): 角位移、角速度、角加速度、角力( 角位移、角速度、角加速度、角力(力 )、角动量 角冲量(冲量矩) 角动量、 矩)、角动量、角冲量(冲量矩) 、角动 量定理、转动动能、转动动能定理… 量定理、转动动能、转动动能定理1

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一 角动量 质点运动描述 质点运动描述

v v 2 p = m v, E k = m v 22

刚体定轴转动描述 刚体定轴转动描述 L = I ω,Ek = I ω

2

v ω = 0, p = 0

v

v ω ≠ 0, p = 0

v

ω

v

v pi

v pj2

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1、质点的角动量 质量为 m 的质点以速 v 在空间运动， 度 v 在空间运动，某时对 v O 的位矢为 r ,质点对 质点对O 的动量矩(角动量) 的动量矩(角动量)

v z L

v vθ m y

v rxv L

o

v v v v v L = r × p = r × mv 大小 L = rm v sin θ

v vθ

v r

v L 的方向符合右手法则角动量单位： 角动量单位：kg·m2·s-13

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开普勒第二定律

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讨论：行星的掠面速度与动量矩(角动量) 讨论：行星的掠面速度与动量矩(角动量) 的掠面速度与动量矩

v v 移为 v d t ,矢径 r 在d t 时间内扫过的面积为dS。 时间内扫过的面积为 1 v v m d S = r × vdt v v r 2 f 掠面速度 dS 1 v v o v v = r ×v vdt r dt 2

v 将行星看为质点, 将行星看为质点,dt 时间内以速度 v 完成的位

·

为一不变量

r r r L=r×p

即为一不变量

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质点以 质点以ω 作半径为 r 的圆 周运动，相对圆心的动量矩 周运动，相对圆心的动量矩 角动量) (角动量)

v L

v p

oωv ri

r

m v

L = rm v = mr ω = I ω2

z

2 刚体定轴转动的角动量

v 2 v L = ∑ mi ri ω= (∑ mi ri )ω i v v L = Iω2

i

v

O

v vi6

mi

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二 刚体定轴转动的角动量定理

v r L = Iω由于刚体转动惯量为一常量

所以

r v r r dL dω =I = Iα = M dt dtv v dL M = dt称刚体定轴转动 的角动量定理

即

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v v dL 微分形式 M= dt 对定轴转的刚体，受合外力矩M, 对定轴转的刚体，受合外力矩 ，从 t1到 t 2内，角速度从 ω1变为 ω2,积分可得： 积

分可得：

∫

t2

t1 t2

Mdt = I ω2 I ω1 Mdtt2

积分形式

∫

冲量矩

t1

非刚体定轴转动的角动量定理 非刚体定轴转动的角动量定理

∫

t1

Mdt = I 2ω2 I1ω1

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三 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若 M = 0 ,则 L = I ω =常量 常量 守恒条件 M =0 不变， 不变； 若 I 不变，ω 不变； 不变. 若 I 变， 也变，但 L = Iω 不变 ω 也变， 内力矩不改变系统的角动量. 内力矩不改变系统的角动量 在冲击等问题中 Q M 冲击等问题中in

>> M ∴ L ≈ 常量ex9

角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律

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许多现象都可 以用角动量守恒来 说明. 说明 花样滑冰 跳水运动员跳水点击图片播放

3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理 刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的 ， 如人手持哑铃的转动 ,芭蕾舞演员和花样滑冰运动 芭蕾舞演员和花样滑冰运动 员作各种快速旋转动作, 员作各种快速旋转动作 都利用了对转轴的角动量 守恒定律。 守恒定律。

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自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等

四 角动量定理、角动量守恒的应用 角动量定理、

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例：一均质棒，长度为 L,质量为 ，现有子 一均质棒， ,质量为M, 处水平射入细棒， 弹在距轴为 y 处水平射入细棒，子弹的质量为 m ,速度为 v0 。求 子弹细棒共同的角速度 ω 。 速度为 解 子弹、细棒系统的角动量守恒 子弹、

mv mv0 y其中

= Iωy

Nx

1 2 2 I = I棒 + I子 = ML + my 3 mv0 y ω= 1 2 ML + my2 3 讨论 水平方向动量守恒 水平方向动量守恒

v0m

ω15

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例2:在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 ： 为 M、 长为 、 可绕中心转动的细杆 ， 有一质 、 长为2l、 可绕中心转动的细杆， 量为m的小球以速度 的小球以速度v 量为 的小球以速度 0 与杆的一端发生完全弹 性碰撞， 求小球的反弹速度v及杆的转动角速 性碰撞 ， 求小球的反弹速度 及杆的转动角速 度ω。 在水平面上， 解：在水平面上，系统 v0 o m 角动量守恒， 角动量守恒，

L0 = L ml v 0 = ml v + I ω

(1) )16

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弹性碰撞动能守恒1 1 1 2 2 m v0 = m v + I ω 2 2 2 2

o(2) )

v0

m

其中

1 1 2 2

I = M ( 2l ) ω = Ml ω 12 3

联立(1)、(2)式求解 式求解 联立( 3m - M ) v 0 v= M + 3m6mv 0 ω= ( M + 3m ) l17

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飞轮1 例3 摩擦离合器 飞轮1:I1、 摩擦 静止，两轮沿轴向结合， 轮2: I2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两 轮达到的共同角速度。 轮达到的共同角速度。 解：两轮对共同转轴的角动量守恒 2 1

试与下例的齿轮啮合过程比较。 试与下例的齿轮啮合过程比较。 啮合过程比较18

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两圆盘形齿轮半径r 例4 两圆盘形齿轮半径 1 、 r2 ,对通过盘心 垂直于盘面转轴的转动惯量为 转动惯量为I 垂直于盘面转轴的转动惯量为 1 、 I2,开始 1 转动，然后两轮正交啮合， 轮以 ω0 转动，然后两轮正交啮合，求啮合后 两轮的角速度。 两轮的角速度。 两轮绕不同轴转动， 解： 两轮绕不同轴转动，故对 两轴分别用角动量定理： 两轴分别用角动量定理：1

219

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1

2

得：

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一杂技演员M由距水平跷板高为 由距水平跷板高为h 例5 一杂技演员 由距水平跷板高为 处自由下落到跷板的一端A, 处自由下落到跷板的一端 ，并把跷板另一 端的演员N弹了起来 问演员N可弹起多高 弹了起来. 可弹起多高? 端的演员 弹了起来.问演员 可弹起多高?

M h N B l Cl/221

A

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