精算试题

第五章

【例5.1】某人在40岁时投保了3年期10000元定期寿险，保险金在死亡年年末赔付。以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）和利率5%，计算趸缴净保费。 解：趸缴净保费为：

10000A40:3=10000（v×q40+v×p40×q41+v×2p40×q42）

123 =

(1?0.001650)?(1?0.001812)?0.0019931.053

=49.28（元）

【例5.2】张某在50岁时投保了一份保额 100000元的30年定期寿险。假x设lx=1000（1-105 ），预定利率为0.08，求该保单的趸缴净保费。 解：该生命表的最大年龄是105岁，所以t的取值范围是0到55，所求的赔付现值是：

100000A50:30?100000?1.08?(t?1)?t1t?029p?q5050?t

其中

tp?l50?t?50l5055?t 55q50?t?1?p50?t?55?t?(54?t)1?

55?t55?t故，该保单的趸缴净保费是： 100000A50:30?100000?1.08?(t?1)?1t?02955?t1 ?5555?t =20468.70（元）

【例5.3】假设例5.2中张某50随时购买的是保额为100000元的终身寿险。已知lx?1000(1?x)，预定利率为0.08，求该保单的趸缴净保费。 10555解： 100000A50?100000?1.08?(t?1)?tt?0p?q5050?1

=

1000001??551.081?(11?1.081)1.0856 =22421.91（元）

【例5.4】某人在40岁时买了保险额为20000元的终身寿险，假设他的生存函数可以表示为s(x)?1?单的精算现值。 解：由s(x)?1?tp?x 105x，死亡赔付在死亡年年末，i=10%，求这一保105s(40?t)65?t?40s(40)65有

1?1??q40?tp40?t65?t 保单精算现值为： 20000A40?20000?vt?1?tt?0?p?qxx?t

由生存函数可以看出 t因此 20000A40?20000?(t?064p40?0 t≥65

t?11)1.1?65?t1 ?6565?t =3070.65（元）

【例5.5】在例5.2中，假设50岁的张某购买的是一份30年的两全保险，死亡年年末给付，保额为100000元，求该保单的趸缴净保费。

11解：100000A50:30?100000A50:30?100000A50:30

=20468.70?100000?(1.08)?30p50 =24985.85（元）

?30【例5.6】某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔付。如果在40岁到65岁之间死亡，保险公司赔付50000元；在65岁到75岁之间死亡，受益人可领取100000元的保险金；在75岁之后死亡，保险金为30000元。利用转换函数写出保单精算的表达式。

解：这份保单可以分解成一份50000元的25年定期寿险、一份100000元的延期25年的10年定期寿险与一份30000元延期35年的终身寿险的组合。这样，这份保单的精算现值可以表示为： 化简得：

50000(M40?M60)?100000(M65?M75)?30000M75D

4050000M40?50000M65?70000M75D

40【例5.7】对（x）的一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概率如下表所示：

K 0 1 2 bk+1 300000 350000 400000 qk+1 0.02 0.04 0.06 假设预定利

率为6%，计算这一保单的精算现值。 解:依题意，这一保单的精算现值为：

300000v?q?350000v?2xp?qxx?1?400000v?32p?qxx?2

=36829（元）

【例5.8】某人在30岁投保，假设生存函数在0到100间均匀分布，z为死亡赔付现值随机变量，已知利息力为0.05，求A30:10和A30。

解：（1）由于生存函数在0到100间均匀分布，但x=30时，剩余寿命在[0,70]1

间均匀分布，概率密度f（t）=70 ，故

1

AA130:10?E(Z)??700100e?0.05t30?E(Z)??e?0.05t1?1?dt?e?0.2771700.05?701?e1?dt??0.1124700.05?70

?0.05?70?0.5【例5.9】某人在30岁时投保了50000元的30年两全保险，设预定利率为6%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合），求这一保单的趸缴净保费。

解：在死亡均匀分布假设下，趸缴净保费为：

50000A30:30?50000?i?A30:30?A30:3011 ?50000??9467.260.06M30?M60??50000?D60 ln1.06D30D30【例5.10】在例5.9中，如果契约规定在投保的前10年死亡赔付50000元，后20年死亡赔付30000元，满期存货给付20000元，求这一保单的趸缴净保费。

解：这是一个变额保险，可以分解为三部分，趸缴净保费为：

50000A130:100.06 ??ln1.06?4270.52?20000?E10E30303050000?(M30?M40)?30000?(M40?M60)?30000A40:201?D?20000D6030D

30

【例5.11】已知A0=0.8663，i=0.06，求A0。 解：由

(12)i(1?)12i(12)(12)12?1?i?1.06

可算得

=0.058411

再由（5.38）式，得：

A(12)0?ii(12)?A0?0.8899

【例5.12】假设某人41岁时投保了1单位元的终身寿险，死亡年末赔付。已知i=0.05，p40=0.9972，A41?A10?0.00822，求A41。

v?1?0.952381?i?0.90703?1?x?1vq由公式 有

2

?0.002840p40Ax?vq?vpxxA

4040AA4141?A40?A41?(vq?vpA41)?A41(1?vp)?vq?0.008224040?0.21654

第六章

【例6.1】李明今年20岁，如果他能活到60岁，它将能从保险公司得到1000元的一次性给付。设年利率为6%，试写出这笔给付在李明20岁时的现值。

解：李明从20岁活到60岁的概率是40p20，从20岁到60岁死亡的概率为（1?40p20），如果活到60岁，他可以获得1000元给付，死亡则没有给付。因此，他获得给付的期望值为：

1000?40p20?0?(1?40p20)?1000?40p20

【例6.2】设n>t，证明并解释下面两个式子： （1）nEx?tEx?n?tEx?1

Ex1t（2） ?nExn?1Ex?1证明：（1）nEx?v?npx?v?tntp?vxn?t?n?tpx?1?tEx?n?tEx?t

（2）将nEx?tEx?n?tEx?t

Ex1t两边同乘以，得： ??nExn?tEx?tnExn?Et1

x?t【例6.3】张华今年30岁，从今年起，只要他存活，可以在每年年初获得1000元的生存给付，假设年利率为9%。计算这一年金的精算现值。 解：这是一个每年给付1000元的终身生存年金，每一次给付经过折现后在30岁时的价值总和合即为这笔年金在30岁时的精算现值。因此，给付的现值是：

1000?1000?

p3030?1.09?1000??k?12p30?1.09?...?2?1000??kk?0p?1.09

【例6.4】某人今年45岁，花费10000元购买了一份年金产品，保单承诺从下一年开始，每年可以领到等额的给付，已知利率i=5%,一句附表中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，试计算每年可以领取的金额。

解：这是一个期末负终身年金的例子，题目中已经给出了这份年金购买时的现值，要求计算年金每次的给付额。设每次的给付额为p， 有 p?a45?10000 而

a45?ND5645?15.128故 P=661.03（元）

【例6.5】王明在40随时购买了一份年金产品，承诺在未来20年内，如果他存活，则可以在每年年初领取1000元的给付，一旦死亡，则给付立即停止。20年期满，保单自动中止，无论20年后是否存活，不再继续给付。以附表中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，假设预定利率为i=6%，使计算这笔年金的精算现值。 解：其精算现值为：

1000a40:20..?1000?N40D?N6040

=11882.82（元）

【例6.6】某人在30随时购买了一份年金，约定的给付为：从51岁起，如果被保险人生存，每年可以得到5000元的给付，直到被保险人死亡为止。设年利率为6%，存活函数为lx?l0(1?算现值。

解：由存活函数可得生存概率：k又因为 20a30??kE30??vk?kk?21k?21??100)，试计算这笔年金在购买时的精xp3030?l30?k?l3070?k 70p

70因而这笔年金的精算现值为：500020a30?5000?1.06?k?k?2170?k 70=12358.09（元）

【例6.7】对于（30）的从60岁起每年年初6000元的生存年金，预定利率为6%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，求保单的趸缴净现值。

解：有公式（6.13），保单的趸缴净保费为：

6000?30a30?6000?a60?....30E30

=10787.38（元）

【例6.8】某人在35随时购买了一份年金产品，这份年金将从他60岁退休起的25年内，每年年初给付5000元生存年金。给定利率为6%，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合），计算这一年金的精算现值。

解：其精算现值为：

5000?25a35:25?5000?N60..D?N8535

=11683（元）

【例6.9】某30岁的人投保养老保险，保险契约规定，如果被保险人存活的60岁，则确定给付10年年金，若被保险人在60——69岁间死亡，由其指定的受益人继续领取，知道领取满十年为止。如果被保险人在70岁仍然存活，则从70岁起以生存为条件得到年金。如果年仅每年年初支付一次，一次支付6000元，预定利率为6%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）资料，计算保单趸缴净保费。 解:趸缴净保费为：

6000?(a10?10a60)?1? ?6000(v?i?10790.8610....30E30)?D60

ND7060D30【例6.10】如果一个x岁的人获得了一份每年1单位元的连续年金，试用随机变量y表示给付变量的现值。

（1） 用（x）的余寿随机变量T的函数表示y

（2） 利用y是T的函数这一条件计算年金的精算现值ax

（3） 死亡给付1单位元终身寿险的精算现值的随机变量是Z，给付Y也Z

之间的关系。

（4） 利用（3）中的关系，用Ax表示ax 解：（1）y?aT?1?vT?

T1? （2）ax?E(Y)?E(v)

? （3）因为

Y?1?vT?

Z?vT 所以 Y?1?Z?

1?E(Z)?1?Ax（4）ax?E(Y)???

【例6.11】已知某人的生命具有常数死亡力??0.04，设利息力??0.06，试计算: (1)ax

(2)aT超过ax的概率. 解：(1)已知死亡力，则

?tpex?x0??0?x?sds?t

e??ta??vt1?pdt??10tx???

（2）Pr(aT1??ax)?Pr(e0.06?0.06T)

?Pr(T??ln0.4)0.06 ???ln0.40.06?fTdt

?0.54【例6.12】在例6.7中，若年金每月支付一次，求趸缴额。 解：趸缴净保费为：

6000?30a30?6000?(30a30?..(12)..11?E)243030

?6000?N30?D11?D602430

?10357.08【例6.13】某保单提供从60岁起每月500元的生存年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死亡年末给付10000元。设预定利率为6%，如果某人30岁时购买了这种保单，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，求这一年金的精算现值。

解：这一保单包括年金与寿险两种保险形式，其精算现值是两种保险精算值之和，其中年金精算现值与例6.12相同。

10000A30:30?6000?30a301..(12) ?10000?M30?10676.33D?M3030?10357.08

【例6.14】若某人30岁购买从60岁起支付的生存年金，契约规定：在被保险人60-69岁时，每年的给付额为6000元，70-79岁每年的给付额为7000

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