概率论与数理统计期末复习题

计算题

1、一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，求该箱产品中确实没有次品的概率。

解：设 Ai?“箱中有i件次品”，由题设，有P?Ai??又设 B?“该箱产品通过验收”，由全概率公式，有

1?i?0，1，2?， 31010?1C981?C99P(B)??P(Ai)P?B|Ai???1?10?10???2.71

3?C100C100?3i?02

1?1P?A0?P?B|A0?故P?A0|B???3?0.37

1P?B??2.713即通过验收的该箱产品确实没有次品的概率是0.37。

2、设随机变量X与Y独立同分布，且都服从标准正态分布N(0,1)， 求随机变量Z?解：

因为X与Y独立同分布，且都服从标准正态分布N(0,1)

X2?Y2的概率密度

所以f(x,y)?首先求Z的分布函数

1e2??x2?y22

F(z)?P(Z?z)?P(X2?Y2?z)

当z?0时，F(z)?0

1?e所以当z?0时，F(z)???f(x,y)dxdy???2?x2?y2?z2x2?y2?z2令x?rcos?,y?rsin?

2?zx2?y22dxdy

则上式??d??001e2??r22zrdr??e0?r22rdr

??z?2所以密度函数f(z)?F`(z)??ze,z?0

??0,z?03、设二维随机变量(X,Y)在矩形G?{(x,y)|0?x?1,x2?y?x}上服从均匀分布，（1）求(X,Y)的联合概率密度（2）求(X,Y)关于X、Y的边缘概率密度（3）判断X与Y的独立性。

解：（1）区域G的面积为

2dxdy?dxdy?(x?x)dx?????2?G0x01x121 6 （X、Y）的联合概率密度为

?6,0?x?1,x2?y?x f(x)??

,其它?0 （2）X的边缘概率密度为 fX(x)?x???26dy,0?x?1f(x,y)dy??x?,其它?0?????6(x?x2),0?x?1=?

,其它?0

Y的边缘概率密度为 fY(y)?????y???6dx,0?y?1f(x,y)dx??y?,其它?0=??6(y?y),0?y?1?0,其它

（3）显然f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立。

4．对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5. 求100次炮击中有380至420颗炮弹命中目标的概率. 解答：设 Xi表示第i次炮击命中目标的炮弹数，

由题设，有 EXi?4，DXi?1.5则100次炮击命中目标的炮弹数 X?100?i?1，2，，100?

?Xi?1100i，EX??EXi?1100i?400

DX??DXi?100?1.52

i?1因 X1，X2，，X100相互独立，同分布，则由中心极限定理知

X??Xi近似服从正态分布N?400，100?1.52?

i?1100 于是 P?380?X?420?????420?400??380?400??????

1515????

?20??2????1?2??1.33??1?0.8164

?15?.应用题

1、 由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数??10的普哇松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？ （供参考：X~P(?)，P(X?14)?0.9166,P(X?15)?0.9513)）

解 设该商店每月销售某种商品?件，月底的进货为a件，则当（??a）时就不会脱销，因而按题意要求为

P(??a)?0.95

因为已知?服从??10的普哇松分布，上式也就是

10k?10 ?e?0.95

k!k?0a由题意，P(X?14)?0.9166,P(X?15)?0.9513)，即

10k?10e?0.9166?0.95?k?0k!1410?10e?0.9513?0.95?k!k?015k

于是，这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上个月没存货），就可以95%以上的把握保证这种商品在下个月内不脱销.

2、据预测，假设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X服从[2000,4000] （单位：

吨）上的均匀分布。每销售一吨，可赚外汇3万元；而销售不出，每吨需库存费1万元。问应组织多少货源，才能使收益最大？

解： 设应组织货源吨，显然2000t?t?4000

3t,X?t则收益为Y?g(X)?? ?4X?t,X?t?因为X的密度为

?12000,2000?x?4000f(x)??

0,otherwise?所以

1E(Y)??g(x)f(x)dx?g(x)dx ?20002000??

?40001????(4x?t)dx?2000?2000t4000?123tdx???t?7000t?4000000? ??1000t?当

t?3500时，E(Y)达到最大

证明题

设随机变量序列{Xn}独立同分布，其密度函数为

?e?(x?a),x?a,p(x)??

x?a.?0,P其中a为未知参数。令 Yn?min(X1,?,Xn)，试证：Yn???a。

证明：因为Xi的分布函数为

?1?e?(x?a),x?a, F(x)??x?a.?0,所以???0，有

P(|Yn?a|??)?P(Yn?a??)

?P(?(Xi?a??))

i?1n??P(Xi?a??)??(1?F(a??))?e?n??n???0 ???i?1i?1nnP故 Yn???a。

计算题

1已知离散型随机变量X的分布列为

XP?215?1160151115311 30求Z?X的分布列。

2、设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为

?x?y,0?x?1,0?y?1; p(x,y)???0,其他.（1）求P{X?Y?1}；

（2）求X和Y的边际密度，并判断X与Y 是否相互独立? 应用题

1、设有一笔资金，总量记为1（可以是1万元，也可以是100万），如今投资甲、乙两种证券。若将资金x1投资于甲证券，将余下的资金1?x1?x2投资于乙证券，于是(x1,x2)就形成了一个投资组合。记X为投资甲的收益率，Y为投资乙的收益率，它们都是随机变量。如果已知X和Y的均值（代表平均收益）分别为?1和?2，方差（代表风险）分别为0.25和0.64，X和Y的相关系数为0.4.求该投资组合的平均收益与风险（方差），并求使投资风险最小的投资组合。

2、有一电站供1000台设备用电，各台设备用电与否是相互独立的，若各台设备用电量（度）在[0,60]上服从均匀分布。问若以0.99的概率保证这1000台设备用电，电站至少需供应多少度电？

3、设总体X的概率密度函数是

?2?xexp{??x2}, x?0 f(x)???0, 其它?>0为未知参数，x1,x2,x3,,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。

4、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布，其方差为0.03。在某段时间抽测了10炉铁水，测得铁水含碳量的样本方差为0.0375。试问在显著水平

??0.05下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异? 五、证明题

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