§2.1.1对数函数及其性质（第一、二课时）

太原二十中问题导学案

使用时间： 年 月 日 科 目 课 型 课 题 第 课时 对数函数及其性质（第一、二课时） 主备人 审核人 1．知识技能 ①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题. 学习 目标 2．过程与方法 让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质. 3．情感、态度与价值观 ①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养学生严谨的科学态度. 学习 重点 与 难点 1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质. 2、难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的作用. 学法 指导 学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 【自主学习】 1．设置情境 在2．2．1的例6中，考古学家利用log573012备注 P估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C14含量P，通过关系式，都有唯一确定的年代t与之对应．同理，对于每一个对数式xx中的x，任取一个正的实数值，y均有唯一的值与之对应，所以y?logay?loga关于x的函数． 2．探索新知 一般地，我们把函数y?logax（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a＞0且a≠1． （2）．为什么对数函数y?logax（a＞0且a≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生学 充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解. y答：①根据对数与指数式的关系，知y?logax可化为a?x，由指数的概念，要使习 y a?x有意义，必须规定a＞0且a≠1． yy②因为y?logax可化为x?a，不管y取什么值，由指数函数的性质，a＞0，所以 过 程 x?(0,??)． 例题1：求下列函数的定义域 （1）y?logax2 （2）y?loga(4?x) （a＞0且a≠1） 分析：由对数函数的定义知：x＞0；4?x＞0，解出不等式就可求出定义域． 解：（1）因为x＞0，即x≠0，所以函数y?logax的定义域为?x|x?0?. 222（2）因为4?x＞0，即x＜4，所以函数y?loga(4?x)的定义域为?x|x＜4?. 下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质： 先完成P81表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数y?log2x的图象, 再利用电脑软件画出y?log0.5x的图象. x y 1 2－1 1 0 2 1 4 2 6 2.58 8 3 12 3.58 16 4 y y?log0.5x ０ x y?log2x 注意到：y?log1x??log2x，若点(x,y)在y?log2x的图象上，则点2(x,?y)在y?log1x的图象上. 由于（x,?y）与（x,?y）关于x轴对称，因此，y?log1x22的图象与y?log2x的图象关于x轴对称 . 所以，由此我们可以画出y?log1x的图象 . 2 先由学生自己画出y?log1x的图象，再由电脑软件画出y?log2x与y?log1x的图22象. 探究：选取底数a(a＞0，且a≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？ 4.作法：用多媒体再画出y?log4x，y?log3x，y?log1x和y?log1x y?log3x 234y?log4x -50 -25y?log1x y?log1x 34提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性-4质又如何？ 先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影) 图象的特征 （1）图象都在y轴的右边 （2）函数图象都经过（1，0）点 （3）从左往右看，当a＞1时，图象逐渐上升，当0＜a＜1时，图象逐渐下降 . 函数的性质 （1）定义域是（0，+∞） （2）1的对数是0 x（3）当a＞1时，y?loga是增函数，当 0＜a＜1时，y?logax是减函数. （4）当a＞1时 x＞1，则logax＞0 （4）当a＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜a＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 . 0＜x＜1，logax＜0 当0＜a＜1时 x＞1，则logax＜0 0＜x＜1，logax＜0 由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）： a＞1 （1）定义域（0，+∞）； （2）值域R； （3）过点（1，0），即当x=1，y=0； （4）在（0，+∞）上是增函数 0＜a＜1 图 象 性 质 在（0，+∞）是上减函数 例题训练： 1. 比较下列各组数中的两个值大小 （1）log23.4,log28.5 （2）log0.31.8,（3）loga5.1,log0.32.7 loga5.9 （a＞0，且a≠1） 分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成： （1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数y?log2x的图象.在图象上，横坐标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方： 所以，log23.4?log28.5 解法2：由函数y?log2x在R+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4?log28.5. 解法3：直接用计算器计算得：log23.4?1.8，log28.5?3.1 （2）第（2）小题类似 （3）注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当a＞1时，y?logax在（0，＋∞）上是增函数，且5.1＜5.9. 所以，loga5.1?loga5.9 当a?1时，y?logax在（0，＋∞）上是减函数，且5.1＜5.9. 所以，loga5.1?loga5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一， 令 b1?loga5.1,则a1?5.1, 令b2?loga5.9,则a2?5.9, 则则a2?5.9 当a＞1时，y?ax在R上是增函数，且5.1＜5.9 所以，b1＜b2，即loga5.1＜loga5.9 当0＜a＜1时，y?a在R上是减函数，且5.1＞5.9 所以，b1＜b2，即loga5.1＞loga5.9 说明：先画图象，由数形结合方法解答 课堂练习：Ｐ８５ 练习 第２，３题 补充练习 xbbb

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