河南省 - 2008年 - 高考全国卷1数学真题（理科数学）（附答案） - 历年历届试题（详解）

2008年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

．．．．．．．．．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式

P(A?B)?P(A)?P(B)

S?4πR2

如果事件A，B相互独立，那么

其中R表示球的半径 球的体积公式

P(A?B)?P(A)?P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V?43πR 3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

其中R表示球的半径

kkPn(k)?CnP(1?P)n?k(k?0，1,2，?，n)

一、选择题 1．函数y?x(x?1)?x的定义域为（ ）

A．x|x≥0

??

B．x|x≥1 D．x|0≤x≤1

??C．x|x≥1??0?

????

2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（ ） s s s s O A．

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t O B．

t O C．

t O D．

t

????????????????????3．在△ABC中，AB?c，AC?b．若点D满足BD?2DC，则AD?（ ）

A．

4．设a?R，且(a?i)i为正实数，则a?（ ） A．2

B．1

C．0

D．?1

221b?c 33 B．c?532b 3 C．

21b?c 33 D．b?132c 35．已知等差数列?an?满足a2?a4?4，a3?a5?10，则它的前10项的和S10?（ ） A．138

6．若函数y?f(x?1)的图像与函数y?ln（ ） A．e2x?1

B．e2x

C．e2x?1

D．e2x?2

B．135

C．95

D．23

x?1的图像关于直线y?x对称，则f(x)?7．设曲线y?A．2

x?1在点(3，2)处的切线与直线ax?y?1?0垂直，则a?（ ） x?111B． C．? D．?2

22??π??的图像，只需将函数y?sin2x的图像（ ） 3?

B．向右平移

8．为得到函数y?cos?2x?5π个长度单位 125πC．向左平移个长度单位

6A．向左平移

5π个长度单位 12D．向右平移

5π个长度单位 6f(x)?f(?x)?0的解

x9．设奇函数f(x)在(0，??)上为增函数，且f(1)?0，则不等式集为（ ） A．(?1，0)?(1，??) C．(??，?1)?(1，??)

B．(??，?1)?(01)， D．(?1，0)?(01)，

xysin?)，则（ ） ??1通过点M(cos?，ab11A．a2?b2≤1 B．a2?b2≥1 C．2?2≤1

ab10．若直线

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D．

11?≥1a2b2

11．已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为

△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）

A．

1 3B．

2 3 C．3 3 D．

23

12．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48

A D

B C 2008年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修?选修Ⅰ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，

在试题卷上作答无效． ．．．．．．．．．

3．本卷共10小题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

?x?y≥0，?13．13．若x，y满足约束条件?x?y?3≥0，则z?2x?y的最大值为 ．

?0≤x≤3，?

14．已知抛物线y?ax?1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点

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2的三角形面积为 ．

15．在△ABC中，AB?BC，cosB??椭圆的离心率e? ．

16．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C?AB?D的余弦值为

7．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该183，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 ． 3E

GDAMHBNC

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB?bcosA?（Ⅰ）求tanAcotB的值； （Ⅱ）求tan(A?B)的最大值．

3c． 5⑵由第⑴知，tanA=4tanB,⑵∵tanA=4tanB,而tan(A－B)=tanA－tanB3tanB==1+tanAtanB1+4tan2B31+4tanBtanB?34

当且仅且11=4tanB,∴tanB=时“＝”成立。tanB218．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

CD?四棱锥A?BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC?底面BCDE，BC?2，

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2，AB?AC．

（Ⅰ）证明：AD?CE；

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45?，求二面角C?AD?E的大小．

19．（本小题满分12分）

A B C

D

E

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知函数f(x)?x?ax?x?1，a?R． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

32（Ⅱ）设函数f(x)在区间??，?

20．（本小题满分12分）

?2?31??内是减函数，求a的取值范围． 3?（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）?表示依方案乙所需化验次数，求?的期望．

21．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1????????????????????AB、OB成等差数列，且BF与FA同向． 的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知OA、（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

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22．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

设函数f(x)?x?xlnx．数列?an?满足0?a1?1，an?1?f(an)． （Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，1)是增函数； （Ⅱ）证明：an?an?1?1； （Ⅲ）设b?(a1，1)，整数k≥

a1?b．证明：ak?1?b． a1lnb 6 / 17

参考答案

一、选择题 1：B

本题主要考查了函数的定义域及集体运算。是基础题。答案为B2：A

本题主要考查了导数的几何意义即为切线斜率的几何意义。是基础题。答案为A3：A

本题主要考查了向量的加减及实数与向量的积等向量的运算。??????????????????2????2?2?∵BC＝AC－AB＝b－c,∴BD=BC=b－c,333

?????????????2?2?1?2?∴AD=AB+BD=c+b－c=c+b ∴答案为：A33334：D

本题主要考查了复数的运算。?a2－1=0原式＝(a－1+2ai)i=(a－1)i－2a,∴? ∴a=－1.　当然也可以应用代入验证法。－2a>0?答案为D225：C

本题主要考查了等差数列的性质有通项公式、前n项和公式。由等差数列的性质：a2+a4=2a3=4,∴a3=2，同理a4=5,∴公差d=3,∴an=a3+(n－3)?3=3n－7∴S10=10(－4+23)=95 ∴答数为C2

6：B

本题主要考查了反函数间图象的关系，以及反函数的求法和函数解析式的求法。由y=lnx+1得x=ey－1,∴x=e2(y－1) ∴f(x－1)=e2(x－1)　∴f(x)＝e2x ∴答案为B7：D

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主要考查了导数的几何意义－－切线的斜率和两直线垂直关系的判断。由y'=1?(x－1)－1?(x+1)221=－ ∴（3,2）处切线斜率为k=－=－(x－1)2(x－1)242

∴－a=2,∴a=－2 ∴答案为D。8：A

主要了三角函数图象变换（周期变换与相位变换之间的相互影响）和互余公式???5?5?的灵活应用∵y=cos(2x+)=sin(2x++)=sin(2x+)=sin2(x+)3326125?∴由y=sin2x向左平移个单位得到。∴答案为A。129：D

本题主要考查了函数的奇偶性、单调性，和不等式的解法。最好通过图象来解。f(x)－f(－x)2f(x)=<0xx∴f(x)与x异号，可以画出两个特殊图象y=f(x)和y=x即为答案为D。 由f(x)为奇函数，∴f(x)=－f(－x)，∴10：D

本题主要考查了圆的参数方程、直线与圆的位置关系的判断，以及由文字文语向数学语言的转化能力xy由直线+=1通过点M(cos?,sin?),而M点的轨迹为单位，相当是说直线与ab－111单位圆有公共点，相直线与圆相切或相交。∴d=?1,∴2+2?1ab11+a2b2∴答案为D

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11：B

本题主要考查了利用回避法（即回避作角，利用直接求点到平面的间距求出直线平面的夹角）同时还考查了三余弦公式。2326∵d=1－(?)=,再由cos?A1AB=cos30?cos?A1AO323(O为点A1在底面内的射影），cos?A1AB=331?＝，∴?A1AB＝60?232

62∴?ABB1=120?,∴AB1=3,∴∴sin?=3=∴答案为B3312：B

本题主要考查了涂色问题，通法是依不相邻两块是否同色分类讨论：若A、C同色时，有4?3?3=36种，若A、C不同色时有：4?3?2?2＝48种　∴　共有36＋48＝84种。答案为B

二、填空题

13：

本题主要考查了线性规划的知识，但要注意对比斜率。在(3,－3)处取得最值为9∴答案为914：

本题主要考查了抛物线的标准方程中量的求法，必须先化为标准方程方可。同时也说明，对非标准的二次曲线的方程也是要求的。（毕竟在向量里学过平移的）1111化为(y+1)=x2,∴焦点到顶点的距离为,∴=a,∴a=,∴仅y=0求出抛物线与a4a44x轴的交点为(?2,0),与y轴交点为(0,－1)，∴三角形的面积为1S＝[2－(－2)]?1＝2。∴答案为2。2

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15：

本题将椭圆的定义与余弦定理进行的综合。设AB＝2c，则BC＝2c则由余弦定理得：AC＝4c2+4c2－2?4c2cosB=∴2a=2c+16：

10c, 310c16c8cc3=,∴a=,∴e==333a8取DE、AB中点分别为G，H，连结CH，CH，HG，GN，AG，GB，则?ANG或其补角即为所求的角。则?CHG为二面角C－AB－D的平面角，令AB＝2，则在△CHG中，HG＝2，CH＝3，　∴CG＝4＋3－2?2?3?∴cos?GCB=3+4－52?3?2=3＝3333,∴GN=3+1－2?3?1?=36616

又∵AN＝3，AG＝5，∴cos?ANG＝∴答案为17：

3＋3－52?3?3＝16abc解：⑴由正弦定理得：===2R,sinAsinBsinc∴a=2RsinA,b=2RsinB,c=2rsinC33acosB－bcosA＝c，∴2RsinAcosB－2RsinBcosA=2RsinC553∴sinAcosB－sinBcosA=sin(A+B)533sinAcosB－sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB55282∴sinAcosB=sinBcosA,两边同除以sinBcosA555∴tanAcotB=4.

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18：(1)

解：⑴取BC中点为G，连结GD，AG，则由AB＝AC，∴AG?BC，再由平面ABC?平面BCDE交线为BC∴AG?平面BCDE，∴GD为AD在平面BCDE内的射影。在Rt△CDG中，tan?CDG=在Rt△DCE中，tan?ECD=∴?CDG+?ECD=90?∴GD?CE∴AD?CE(三垂线定理） (2)

A1222 ,=2FBGCHED⑵由AG?平面BCDE，∴AG?BE，∵矩形BCDE，∴BE?BC，∴BE?平面ABC过C作CF?AB于F，则CF?BE，∴CF?平面ABE，∴EF即为CE在平面ABE内的射影∴?CEF＝45?，由CE＝4＋2＝6　∴EF＝CF＝311∴?BC?AG＝?AB?CF　　　∴2?AG＝AB?322AG33∴＝，∴sin?ABC=,∴?ABC=60?,AB22CF3(也可以直接利用＝，从而得出?ABC＝60?）∴AC=AB=BC=2BC2A过C作CH?AD于H，连结EH，则由AD?CE，AD?CH，∴AD?平面CHE，∴AD?EH∴?CHE即为所求的二面角的平面角。在直角三角形CDE中，CE＝2＋4＝6

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FBHEGCD由AG?平面BCDE，∴BC为AC在平面BCDE内的射影CD?BC，∴AC?CD，∴△ACD为直角三角形∴AD=4+2=6∴CH=AC?CD2?223==AD363032330，EH＝，CE＝633由AE＝AD＝6，DE边上的高为6－1＝5，∴由等面积得：6?EH＝2?5，∴EH＝∴在三角形CHE中，CH＝410+－61033∴cos?CHE==－1023302??33?10?∴所求的二面角为arccos?－?10????

19 (1)

解：⑴∵f '(x)=3x2+2ax+1令f '(x)=3x2+2ax+1>0，再令△＝4a2－12>0时，a2>3,∴a<－3,或a>3∴当a?[－3，,3]时，f(x）?0恒成立，∴在R上单调递增当a?(－?,－3)?(3,+?)时，－2a－4a2－12－a－a2－3－a+a2－3x<=或x>6a3a3a?－a－a2－3??－a+a2－3?∴f(x)单调递增区间为－??，，＋???，?????3a3a?????－a－a2－3－a+a2－3?单调增减区间为?，???3a3a??

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(2)

21⑵只需3x2+2ax+1?0在区间(－,－）恒成立即可。33令g(x)=3x2+2ax+1,∴只需：242?7g(－)?3?－2a?+1?0????a?393 ∴?4 ∴a?2?111?g(－)=3?－2a?+1?0?a?2??393?∴a的取值范围为[2,+?) 20:

解：主要依乙所验的次数分类：若乙验两次时，有两种可能：①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：3C2C216?61116114A34?=?= (也可以用?=?=)3131A5A33?4?535C5C31035②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次验中没有，均可以在第二次结束）13A3AC242411424＝=　　（＝?＝）323A5A25?4?35C51025123∴乙只用两次的概率为＋＝。555若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为：3212C2ACAA16?62264243422?（1－）=?= (也可以用?=?=)31331065A5A33?4?535C5A325∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：∴在三次验出时概率为3121112618?（1－）＋（1－－）＝＋＝55555252525

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解法2：设A为甲的次数不多于乙的次数则A表示甲的次数小于乙的次数则只有两种情况，甲进行的一次即验出了和甲进行了两次，乙进行了3次。则设A1,A2分别表示甲在第一次、二次验出，并设乙在三次验出为B2A1C411116224则P(A1)=1=,P(A2)=2=,P(B)＝3（1－1)=?=C55A55C5C310351127∴P(A)=P(A1)+P(A2)?P(B)=+?=55525718∴P(A)=1－=2525

32⑵由⑴问得：P(?=2)=　　　P(?=3)=55

所在 ξ 2 3 3 P 53212∴E?=2?+3?=

555

21:

2 5x2y2解：设双曲线方程为2－2=1,c2=a2+b2ab?????????由BF，FA同向，∴渐近线的倾斜角为（0，），4bb2c2－a222∴渐近线斜率为：k1=<1∴2==e－1<1,∴1

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a?a2?y=－(x－c)?x=???bc与?1联立得：∴???y=bx?y=ab???ac?a?a2c?y=－(x－c)?x=22???b与?1联立得：∴?a－b ?babc?y=－x?y=－??a?a2－b2?

?a2??ab?9a2a2c2ababc2+=[(－)+(+)]　????2222ca－b?c??c?16ca－ba2+b29aacbbc∴2=[(－22)2+(+22)2]c16ca－bca－b162ab22ba24a2b4+4b2a44a2b222=(22)+(22)=2222=222 9(a－b)c(a－b)c(a－b)c(a－b)42ab ∴=22(a>b)3a－b∴2a2－3ab－2b2=0 ∴(a－2b)(2a+b)=0　　b1∴=a2b21c2－a2215∴2=,∴2=e－1=,∴e2=,a4a44∴e=52

22

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法2：同第一种解法的设法注意到三角形OAF也AB4由解法1得：＝　　而在直角三角形OAB中，为直角三角形，OA34即tan?AOB=3∴OA＝OF－AF　　由?1：ax－by=02221－bc而由对称性可知：OA的斜率为k=tan?AOB而AF＝d==b222a+b2k412∴=,∴2k+3k－2=0,∴k= (k=－2舍去）2∴OA=c2－b2=a2 1－k232b1b2c2－a215∴OA=a2,∴=　　　∴2==, ∴e=a2aa244(利用了“特征三角形”）∴e=52 b1x2y2⑵由第⑴知，=,∴a=2b,∴可以设双曲线方程为2－2=1,a24bb同时，c2=5b2,∴c=5b∴?：y=－2(x－5b)联立得：?y=－2(x－5b)?2　　　　得：15x2－325bx+84b2=0?xy2?2－2=1b?4b325b84b2∴x1+x2= x1?x2= 1515325b284b24＝（1＋4)[()－4?1515322b24?84b2∴16=－93∴b2=9,x2y2∴所求的双曲线方程为：－=1.369AB

作后感：要有意识在作题过程中，作到“边做边看”，从而发现题中的巧处。从而避免了大量繁杂的运算。如本题中，得到渐近线夹角的正切值。

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4＝，能联想对应的是两OA3

22

解：⑴由f '(x)=1－lnx－1=－lnx　∵x??0,1?,∴lnx<0,∴－lnx>0∴f '(x)>0在(0,1)内恒成立∴f(x)在区间(0,1)内是增函数。

⑵应用数学归纳法证明：当n=1时，∵00, ∴a1－a1lna1>0∵f(x)在(0,1)内为增函数 ∴00∴n=k+1时，ak+1=f(ak)an∴0

⑶　①若存在m?k，但am?b,则由第⑵问可知ak+1>ak>am>b，∴成立②若ama1,及lnak<0, ∴－aklnak>－a1lnak ∴－aklnak>－a1lnak>－a1lnb 而ak>a1, 　　　　由递推关系　 ak+1=ak－aklnak=ak－1－ak－1lnak－1－aklnak ＝ak－2－ak－2lnak－2－ak－1lnak－1－aklnak　　　　 ＝?=a1－a1lna1－a2lna2－?－ak－1lnak－1－aklnak >a1－ka1lnb而由条件：k?a1－b注意到a1lnb<0,∴ka1lnb?a1－b,∴－ka1lnb>－a1+ba1lnb

∴ak+1>a1－ka1lnb>a1－a1+b=b综上两种情况，无论am与b什么关系,均得ak+1>b。

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