新版高中数学人教A版选修2-3习题：第二章随机变量及其分布 2.3.1

爱爱爱大大的2.3 离散型随机变量的均值与方差

2.3.1 离散型随机变量的均值

课时过关·能力提升

基础巩固

1.设随机变量X~B(40,p),且E(X)=16,则p=( ) A.0.1

B.0.2

C.0.3

D.0.4

解析:∵E(X)=40×p=16,∴p=0.4. 答案:D 2.某一供电网络,有n个用电单位,每个单位在一天中使用电的机会是p,供电网络中一天平均用电的单位个数是 A.np(1-p) C.n

B.np D.p(1-p)

( )

解析:供电网络中一天用电的单位个数服从二项分布,故所求为np. 答案:B 3.已知随机变量ξ的分布列是

ξ P -1 0 2 cos α 其中 ,则E(ξ)=( )

A.2cos α+ sin α C.0

B.cos α+ sin α D.1

二位分为Greg 爱爱爱大大的答案:D 4.若随机变量ξ~B(n,0.6),且E(ξ)=3,则P(ξ=1)的值为( ) A.2×0.44 C.3×0.44

B.2×0.45 D.3×0.64

解析:∵E(ξ)=0.6n=3,∴n=5,∴ξ~B(5,0.6),

∴P(ξ=1)= 0.6×0.44=3×0.44.

答案:C 5.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的均值为( ) A.100

B.200

C.300

D.400

解析:E(X)=1 000×0.9×0+1 000×0.1×2=200. 答案:B 6.随机变量ξ的分布列为

ξ P 1 0.2 2 0.5 3 m 则ξ的均值是( ) A.2 C.2.3

B.2.1

D.随m的变化而变化

解析:∵0.2+0.5+m=1,∴m=0.3,

∴E(ξ)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.

答案:B 7.已知随机变量ξ的分布列为

ξ

0 1 2

3

4 二位分为Greg 爱爱爱大大的P 0.1 0.2 0.3 x 0.1

则x= ,P(1≤ξ<3)= ,E(ξ)= . 解析:由0.1+0.2+0.3+x+0.1=1得x=0.3.

P(1≤ξ<3)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=0.5. E(ξ)=0.2+0.6+0.9+0.4=2.1. 答案:0.3 0.5 2.1

8.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为代表参加演讲,若用随机变量ξ表示选出的演讲者中女生的人数,则均值E(ξ)= .(结果用最简分数表示)

解析:ξ可取0,1,2,因此P(ξ=0)=

,

, P(ξ=1)=

,P(ξ=2)=

E(ξ)=0

+1 +2

答案: 9.随机抛掷一枚骰子,所得点数X的均值为 .

解析:因为X的分布列为P(X=k)=(k=1,2,3,4,5,6),所以E(X)=(1+2+3+4+5+6)=3.5.

答案:3.5

10.若对于某个数学问题,甲、乙两人都在研究,甲解出该题的概率为,乙解出该题的概率为,设解出该题的人数为ξ,求E(ξ).

解:记“甲解出该题”为事件A,“乙解出该题”为事件B,ξ可能取值为0,1,2.

P(ξ=0)=P( )P( )= - - ,

二位分为Greg 爱爱爱大大的P(ξ=1)=P(A )+P( B) =P(A)P( )+P( )P(B) = - - ,

P(ξ=2)=P(A)P(B)= 所以,ξ的分布列为

ξ P 0

1 2 故E(ξ)=0 +1 +2

能力提升

1.设随机变量ξ的分布列如下表:

ξ P 0 0.1 1 a 2 b 3 0.1

且E(ξ)=1.6,则a-b等于( ) A.0.2

解析:根据题意,

解得 故a-b=-0.2.

答案:C B.0.1

C.-0.2

D.-0.4

二位分为Greg 爱爱爱大大的2.一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6.现有4发子弹,则命中后剩余子弹数的均值为 A.2.44

B.3.376

C.2.376

D.2.4

( )

解析:记命中后剩余子弹数为ξ,则ξ可能取值为0,1,2,3.

P(ξ=0)=0.44+0.43×0.6=0.064, P(ξ=1)=0.42×0.6=0.096,

P(ξ=2)=0.4×0.6=0.24,P(ξ=3)=0.6.

所以,E(ξ)=0×0.064+1×0.096+2×0.24+3×0.6=2.376. 答案:C 3.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中任意抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,则X的均值是( ) A.7.8 C.16

B.8 D.15.6

解析:X的取值为6,9,12,P(X=6)=

,P(X=9)=

,P(X=12)=

E(X)=6 +9 +12 =7.8. 答案:A 4.在一次商业活动中,某人获利300元的概率为0.6,亏损100元的概率为0.4,此人在这样的一次商业活动中获利的均值是 .

解析:设此人获利为随机变量X,则X的取值是300,-100,其概率分布列为

X P

300 0.6

-100 0.4

故E(X)=300×0.6+(-100)×0.4=140. 答案:140 二位分为Greg

爱爱爱大大的5.有5支竹签,编号分别为1,2,3,4,5,从中任取3支,以X表示取出竹签的最大号码,则E(X)的值为 .

解析:随机变量X取值为3,4,5.

, P(X=3)=

P(X=4)=

, P(X=5)=

,

则随机变量X的分布列为

ξ P 3

4 5 故E(X)=3 +4 +5 =4.5. 答案:4.5

★6.一个随机变量ξ的概率分布列如下表:

x P(ξ=x) 1 ? 2 ! 3 ?

某同学计算ξ的均值,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,该同学给出了正确答案E(ξ)= .

解析:设P(ξ=1)=P(ξ=3)=a,P(ξ=2)=b,则2a+b=1,于是E(ξ)=a+2b+3a=2(2a+b)=2. 答案:2 7.如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:t)的频率分布直方图.

二位分为Greg 爱爱爱大大的

(1)求直方图中x的值;

(2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样),求月均用水量在3~4 t 的居民数X的分布列和均值.

解:(1)依题意及频率分布直方图知,0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12.

(2)由题意知,X~B(3,0.1). 因此

P(X=0)= 0.93=0.729,P(X=1)= 0.1×0.92=0.243,P(X=2)= 0.12×0.9=0.027,P(X=3)= 0.13

=0.001.

故随机变量X的分布列为

X P 0 0.729 1 0.243 2 0.027 3 0.001 X的均值为E(X)=3×0.1=0.3.

★8.在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6).求: (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率; (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值. 解:只考虑甲、乙两单位的相对位置,故可用组合计算基本事件数.

(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”,则 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”,由等可能性事件的概率计算公式得

P(A)=1-P( )=1- =1-

二位分为Greg 爱爱爱大大的(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,且P(ξ=0)=

,P(ξ=4)=

,P(ξ=1)=

,P(ξ=2)=

,P(ξ=3)=

从而知ξ的分布列为

ξ P 0 1 2 3 4 故E(ξ)=0 +1

+2 +3 +4

★9.购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1-0.99 (1)求一投保人在一年度内出险的概率p;

(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元,为保证盈利的均值不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).

解:各投保人是否出险相互独立,且出险的概率都是p,记投保的10 000人中出险的人数为ξ,则ξ~B(104,p).

(1)记事件A表示“保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金”,则 发生当且仅当ξ=0, P(A)=1-P( )=1-P(ξ=0)=1-(1-p 又P(A)=1-0.99 ,所以p=0.001.

(2)该险种总收入为10 000a元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出10 000ξ+50 000,

盈利η=10 000a-(10 000ξ+50 000),

盈利的均值为E(η)=10 000a-10 000E(ξ)-50 000. 由ξ~B(104,10-3)知,E(ξ)=104×10-3=10, E(η)=104a-104E(ξ)-5×104=104a-104×10-5×104.

二位分为Greg 爱爱爱大大的∵E(η)≥0,∴104a-104×10-5×104≥0, ∴a-10-5≥0,∴a≥15.

故每位投保人应交纳的最低保费为15元.

二位分为Greg

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