2011年黄冈中学高考数学压轴题精选2

【精编精解】2011年黄冈中学高考数学压轴题精选2

x2y2=1的左、右焦点. 6、设F1、F2分别是椭圆+54（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得

|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

7、已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上. (1)求动圆圆心的轨迹M的方程；

(2)设过点P,且斜率为?3 的直线与曲线M相交于A,B两点.

（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由 （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

8、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）

求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；

（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。

9、已知二次函数f(x)?x2?2bx?c(b,c?R)满足f(1)?0，且关于

x的方程

，（0，1）内。 f(x)?x?b?0的两实数根分别在区间（-3，-2） （1）求实数b的取值范围；

（2）若函数F(x)?logbf(x)在区间（-1-c，1-c）上具有单调性，求实数C的取值范

围

10、已知函数f(x)在(?1,1)上有意义,f(12)??1,且任意的x、f(x)?f(y)?f(x?y1?xy).

（1）若数列{x1n}满足x1?2,x2xn*n?1?1?x2(n?N),求f(xn). n （2）求1?f(1)?f(1511)??f(11n2?3n?1)?f(n?2)的值. 解答

6、解：（Ⅰ）易知a?5,b?2,c?1,?F1?(?1,0),F2(1,0)

y?(?1,1)都有

22设P（x，y），则PF?PF?(?1?x,?y)?(1?x,?y)?x?y?1 12x2?4?421x?1?x2?3 55?x?[?5,5]，

?当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值3；

当x??5，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值4

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不

存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k 直线l的方程为y?k(x?5)

?x2y2?1??由方程组?5，得(5k2?4)x2?50k2x?125k2?20?0 4?y?k(x?5)?依题意??20(16?80k2)?0，得?55 ?k?55当?55时，设交点C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD的中点为R(x0,y0)， ?k?55x1?x250k225k2,x0??2则x1?x2? 225k?45k?425k2?20k?y0?k(x0?5)?k(2?5)?2.

5k?45k?4又|F2C|=|F2D|?F2R?l?k?kF2R??1

?k?kF2R20k)220k25k?4?k????1 2225k4?20k1?25k?40?(?∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|

7、解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.

?(2)(i)由题意得,直线AB的方程为:y??3(x?1)由?y2??3(x?1) 消去 y 得:?y?4x

1123163x2?10x?3?0,解得x1?,x2?3.所以A(,),B(3,?23),|AB|?x1?x2?2?.3333

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

162?22(3?1)?(y?23)?(),?3相减得:42?(y?23)2?(4)2?(y?23)2,解得y??143(不符,舍)?122162339)?()?(?1)2?(y?33?3

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.

（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，

?由?y??3(x?1) 得 y?23,此时A,B,C三点共线,故y?23.?x??1，

12322843y16256又|AC|2?(?1?)2?(y?)???y2,|AB|2?()2?339339， 当|BC|2?|AC|2?|AB|2,即28?43y?y2?∠CAB为钝角.

28432562?y?y2?,即y?3 时,9399

当|AC|2?|BC|2?|AB|2,即2843256?y?y2?28?43y?y2?939

103 时?CBA为钝角.3

2562843y又|AB|2?|AC|2?|BC|2,即???y2?28?43y?y2993 y??即:y2?44223y??0,(y?)?0333.

该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:

y??10323或y?(y?23)39.

解法二： 以AB为直径的圆的方程为:

528528(x?)2?(y?3)2?()2圆心(,?3)到直线L:x??1 的距离为333333. 23).3

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G 点不重合，且A， B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角. 因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角. 所以,以AB为直径的圆与直线L相切于点G(?1,?过点A且与AB垂直的直线为:y?233123?(x?).令x??1得y?3339.

310(x?3),令x??1得y??333.

过点B且与AB垂直的直线为:y?23??又由?y??3(x?1)解得y?23,所以,当点C的坐标为(?1,23)时,?x??1 A，B，C三点共 线，不构成三角形.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：

y??10323或y?(y?23).39

8、解：（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1 （2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f(?x)?1 f(x)由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴ f(x)?1?0又x=0时，f(0)=1>0 f(?x)∴ 对任意x∈R，f(x)>0

(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴

f(x2)?f(x2)?f(?x1)?f(x2?x1)?1 f(x1) ∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函数

（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上递增 ∴ 由f(3x-x2)>f(0)得：x-x2>0 ∴ 0

9、解：（1）由题意知f(1)?1?2b?c?0，∴c??1?2b

记g(x)?f(x)?x?b?x2?(2b?1)x?b?c?x2?(2b?1)x?b?1 则 g(?3)?5?7b?0

5 g(?2)?1?5b?0 ?1 5?b?7 g(0)??1?b?0 g(1)?b?1?0 即b?(,)

（2）令u=f(x)。∵0?155715?b??1 ∴logbu在（0，＋∞）是减函数 572而?1?c?2b??b,函数f(x)?x?2bx?c的对称轴为x??b

∴f(x)在区间（?1?c,1?c)上为增函数， 从而F(x)?logbf(x)在(?1?c,1?c)上为减函数。

且f(x)在区间（?1?c,1?c)上恒有f(x)>0 ,只需f(?1?c)?0， 且c??2b?1(?b?

10、解：（1）?1?xn?2|xn|?|215517)所以??c??2 772xn1|?1又x?. 1221?xn?|2xn|?1 21?xn1f(x1)?f()??1

2而f(xn?1)?f(2xnxn?xn)?f()?f(xn)?f(xn)?2f(xn). 21?xnxn1?xn?f(xn?1)?2?{f(xn)}是以?1为首项,以2为公比的等比数列,故f(xn)??2n?1

f(xn) （2）由题设，有f(0)?f(0)?f(0?0)?f(0),故f(0)?0 1?0x?x)?f(0)?0, 又x?(?1,1),有f(x)?f(?x)?f(1?x2得f(?x)??f(x),故知f(x)在(?1,1)上为奇函数. 由

111?(k?1)(k?2)11??k?1k?2 ?211k?3k?1(k?1)(k?2)?11?1?(k?1)(k?2)(k?1)(k?2)得f(11111)?f()?f(?)?f()?f() 2k?1k?2k?1k?2k?3k?1n于是

?f(k?11111)?f()?f()??1?f().

2n?2n?2k2?3k?1111)??f(2)?f()?0. 11n?2n?3n?1故1?f()?f(15

∴f(x)在区间（?1?c,1?c)上为增函数， 从而F(x)?logbf(x)在(?1?c,1?c)上为减函数。

且f(x)在区间（?1?c,1?c)上恒有f(x)>0 ,只需f(?1?c)?0， 且c??2b?1(?b?

10、解：（1）?1?xn?2|xn|?|215517)所以??c??2 772xn1|?1又x?. 1221?xn?|2xn|?1 21?xn1f(x1)?f()??1

2而f(xn?1)?f(2xnxn?xn)?f()?f(xn)?f(xn)?2f(xn). 21?xnxn1?xn?f(xn?1)?2?{f(xn)}是以?1为首项,以2为公比的等比数列,故f(xn)??2n?1

f(xn) （2）由题设，有f(0)?f(0)?f(0?0)?f(0),故f(0)?0 1?0x?x)?f(0)?0, 又x?(?1,1),有f(x)?f(?x)?f(1?x2得f(?x)??f(x),故知f(x)在(?1,1)上为奇函数. 由

111?(k?1)(k?2)11??k?1k?2 ?211k?3k?1(k?1)(k?2)?11?1?(k?1)(k?2)(k?1)(k?2)得f(11111)?f()?f(?)?f()?f() 2k?1k?2k?1k?2k?3k?1n于是

?f(k?11111)?f()?f()??1?f().

2n?2n?2k2?3k?1111)??f(2)?f()?0. 11n?2n?3n?1故1?f()?f(15

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