2014年高考试题 - 文科数学（广东卷）word版，含答案(7207264) -

一、选择题

1.已知集合M??2,3,4?,N??0,2,3,5?,则MA.?0,2? 答案:B

N?().D.?3,5?B.?2,3?C.?3,4?

2.已知复数z满足(3?4i)z?25,则z?().A.?3?4iB.?3?4i 答案:D 提示:z?C.3?4iD.3?4i

2525(3?4i)25(3?4i)=??3?4i,故选D. 3?4i(3?4i)(3?4i)25

3.已知向量a?(1,2),b(3,1),则b?a?().A.(?2,1)B.(2,?1)C.(2,0) 答案:B

D.(4,3)?x?2y?8?4.若变量x,y满足约束条件?0?x?4,则z?2x?y的最大值等于(). ?0?y?3?A.7B.8C.10D.11 答案:C

提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10.

选C.

5.下列函数为奇函数的是（ ）. A.2x?

答案:A

1 B.x3sinx C.2cosx?1 D.x2?2x x2提示:设f(x)?2x?111?x,则f(x)的定义域为R,且f(?x)?2???2x??f(x),x?xx222

?f(x)为奇函数,故选A. 1 / 11

6.为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为().A.50B.40答案:C提示:分段的间隔为

C.25D.201000?25.407.在?ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a?b”是“sinA?sinB”的().A.充分必要条件C.必要非充分条件答案:A提示:由正弦定理知

B.充分非必要条件D.非充分非必要条件ab?,a,b,sinA,sinB都为正数,?a?b?sinA?sinB.sinAsinBx2y2x2y28.若实数k满足0?k?5,则曲线??1与曲线??1的().165?k16?k5A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等答案:D提示:0?k?5,?5?k?0,16?k?0,从而两曲线均为双曲线,又16?(5?k)?21?k?(16?k)?5,故两双曲线的焦距相等,选D.D.焦距相等9.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1?l2,l2//l3,l3?l4,则下列结论一定正确的是().A.l1?l4C.l1与l4既不垂直也不平行答案:D10.对任意复数?1,?2,定义?1??2=?1?2,其中?2是?2的共轭复数,对任意复数z1,z2,z3有如下四个命题:①(z1?z2)?z3?(z1?z3)?(z2?z3);

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B.l1//l4D.l1与l4的位置关系不确定

②z1?(z2?z3)?(z1?z2)?(z1?z3)；

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③(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3);

④z1?z2?z2?z1；

则真命题的个数是（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:B提示:①(z1?z2)*z3=(z1?z2)z3=(z1z3)?(z2z3)=(z1*z3)+(z2*z3),故①是真命题;②z1*(z2?z3)?z1(z2?z3)?z1(z2?z3)?(z1z2)?(z1z3)?(z1*z2)+(z1*z3),②对;③左边=(z1*z2)z3=z1z2z3,右边?z1*(z2z3)?z1(z2z3)?z1(z2z3),左边?右边,③错; ④左边=z1*z2?z1z2,右边=z2*z1?z2z1,左边?右边,故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B. 二、填空

题

(一)必做题（11-13）

11.曲线y??5ex?3在点(0,?2)处的切线方程为_______.答案:5x?y?2?0提示:y'??5ex,?y'x?0??5,?所求切线方程为y?2??5x,即5x?y?2?0.

12.从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为________.2答案:51C442提示:P?2??C510513.等比数列?an?的各项均为正数，且a1a5?4，则

log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=________.

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答案:5

提示:设S?log2a1?log2a2?log2a3?log2a4?log2a5,则S?log2a5?log2a4?log2a3?log2a2?log2a1,?2S?5log2(a1a5)?5log24?10,?S?5.

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2?cos2??sin?与?cos?=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为_____________.答案:(1,2)2提示:由2?cos2??sin?得（2?cos?）=?sin?,故C1的直角坐标方程为:y?2x2,

C2的直角坐标方程为:x?1,?C1,C2交点的直角坐标为(1,2).15.(几何证明选讲选做题)如图1,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB?2AE,AC与DE交于点F,?CDF的周长?___________.?AEF的周长答案:3则提示:显然?CDF?AEF,??CDF的周长CDEB?AE???3.?AEF的周长AEAE

解答题

16.(本小题满分12分) 已知函数f(x)?Asin(x?（1） （2）

求A的值；

若f(?)?f(??)?3,??(0,?3),x?R，且f(5?32 )?122?)，求f(??) 26? 4 / 11

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解:(1)f(5?5??3?3232)?Asin(?)?Asin?,?A??2?3.12123422(2)由(1)得:f(x)?3sin(x?),3?f(?)?f(??)?3sin(??)?3sin(???)33?3(sin?cos?6sin?cos?sin???????cos?sin)?3(sin(??)cos?cos(??)sin) 3333?3sin??3????33?6,又??(0,),?cos??323????6?f(??)?3sin(???)?3sin(??)?3cos??3??6.66323

17. 某车间20名工人年龄数据如下表:

(1)求这20名工人年龄的众数与极差;

(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.

解:(1)这20名工人年龄的众数为30,极差为40?19?21.

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(2)茎叶图如下:

1 9

2 8 8 8 9 9 9 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4 0

?3?年龄的平均数为:(19?28?3?29?3?30?5?31?4?32?3?201222?故这20名工人年龄的方差为:(?11)?3?(?2)?3?(?1)20?1?(121?12?3?4?12?100)2018.如图2,四边形ABCD为矩形,PD?平面ABCD,AB?1,BC?PC?2.作如图3折叠:折痕EF//DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P 叠在线段AD上的点记为M,并且MF?CF.(1)证明:CF?平面MDF;(2)求三棱锥M?CDE的体积.

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解:(1)证明:PD?平面ABCD,PD?PCD,?平面PCD?平面ABCD,平面PCD平面ABCD?CD,MD?平面ABCD,MD?CD,?MD?平面PCD,CF?平面PCD,?CF?MD,又CF?MF,MD,MF?平面MDF,MD?CF?平面MDF.11(2)CF?平面MDF,?CF?DF,又易知?PCD?600,??CDF?300,从而CF=CD=,221DECFDE233313EF∥DC,??,即=,?DE?,?PE?,S?CDE?CD?DE?,DPCP442832MD?ME2?DE2?PE2?DE2?(33236)?()2?,442MF?M,

11362?VM?CDE?S?CDE?MD????.338216

219.设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn,且Sn满足Sn?(n2?n?3)Sn?3(n2?n)?0,(1)求a1的值;(2)求数列?an?的通项公式; (3)证明：对一切正整数n，有

1111????.a1?a1?1?a2?a2?1?an?an?1?3

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解:(1)令n?1得:S12?(?1)S1?3?2?0,即S12?S1?6?0,?(S1?3)(S1?2)?0,S1?0,?S1?2,即a1?2.22(2)由Sn?(n2?n?3)Sn?3(n2?n)?0,得:(Sn?3)??Sn?(n?n)???0,an?0(n?N?),?Sn?0,从而Sn?3?0,?Sn?n2?n,2?当n?2时,an?Sn?Sn?1?n2?n???(n?1)?(n?1)???2n,又a1?2?2?1,?an?2n(n?N?).(3)解法一:当k?N?时,k2?kk313?k2???(k?)(k?),221644111111??????ak(ak?1)2k(2k?1)4k(k?1)4(k?1)(k?3)244???111?11??????11?1?1?4?4k?(k?1)??(k?)??(k?1)???44?4?4?11???a1(a1?1)a2(a2?1)1?an(an?1)

???1?111111??(?)?(?)???1111?4?1?12?12?3?n?(n?1)???444444?111111?(?)???.41?1(n?1)?134n?3344111111解法二:???(?),以下略.ak(ak?1)2k(2k?1)(2k?1)(2k?1)22k?12k?1(注:解法二的放缩没有解法一的精确,在使用中第一项不放缩时才能得到答案) 8 / 11

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x2y2520.已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个焦点为(5,0),离心率为.ab3(1)求椭圆C的标准方程;c55??,?a?3,b2?a2?c2?9?5?4,aa3x2y2?椭圆C的标准方程为:??1.94(2)若一切线垂直x轴,则另一切线垂直于y轴,则这样的点P共4个,它们的坐标分别为(?3,?2),(3,?2).若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为y?y0?k(x?x0),x2y2即y?k(x?x0)?y0,将之代入椭圆方程??1中并整理得:942(9k2?4)x2?18k(y0?kx0)x?9?(y?kx)?4?00???0,依题意,??0,y02?4?(x0?9)k?2x0y0k?y0?4?0,两切线相互垂直,?k1k2??1,即:2??1,x0?9222(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方解:(1)c?5,e?2222?即:(18k)2(y0?kx0)2?36?(y?kx)?4(9k?4)?0,即4(y?kx)?4(9k?4)?0,0000???x02?y02?13,显然(?3,?2),(3,?2)这四点也满足以上方程,?点P的轨迹方程为x2?y2?13.

121.已知函数f(x)?x3?x2?ax?1(a?R).3(1)求函数f(x)的单调区间;111(2)当a?0时,试讨论是否存在x0?(0,)(,1),使得f(x0)=f().222

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解:(1)f'(x)?x2?2x?a,方程x2?2x?a?0的判别式:??4?4a,?当a?1时,??0,?f'(x)?0,此时f(x)在(??,??)上为增函数.当a?1时,方程x2?2x?a?0的两根为?1?1?a,当x?(??,?1?1?a)时,f'(x)?0,?此时f(x)为增函数,当x?(?1?1?a,?1?1?a)时,f'(x)?0,此时f(x)为减函数,当x?(?1?1?a,??)时,f'(x)?0,此时f(x)为增函数,综上,a?1时,f(x)在(??,??)上为增函数,当a?1时,f(x)的单调递增区间为(??,?1?1?a),(?1?1?a,??),f(x)的单调递减区间为(?1?1?a,?1?1?a).1111?11?(2)解法一:f(x0)?f()?x03?x02?ax0?1??()3?()2?a()?1?2322?32???1?313??212?1x?()?x?()?a(x?)0003?2?2?2????? x01?1?11112(x?)(x??)?(x?)(x?)?a(x?)00000?3?224222??1x02x01111?(x0?)(???x0??a)?(x0?)(4x02?14x0?7?12a)236122122111?若存在x0?(0,)(,1),使得f(x0)?f(),22211必须4x02?14x0?7?12a?0在(0,)(,1)上有解.22a?0,???142?16(7?12a)?4(21?48a)?0,方程的两根为:依题意,0??14?221?48a?7?21?48a?,84x0?0,?x0只能是?7?21?4?7+21?48a25?1,即7?21?48a?11,?49?21?48a?121,即??a412?7+21?48a155又由=,得a??,故欲使满足题意的x0存在,则a??,424425557111?当a?(?,?)(?,?)时,存在唯一的x0?(0,)(,1)满足f(x0)?f().124412222257111?5?当a?(??,?][?,0)???时,不存在x0?(0,)(,1)使f(x0)?f().1212222?4? 10 / 11

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解法二:a?0,??1?1?a?0,(i)若a??3,?1?1?a?1,从而由(1)知f(x)在区间(0,1)上是减函数,111故此时不存在x0?(0,)(,1),使得f(x0)=f();222(ii)若?3?a?0,则函数f(x)在区间(0,?1?1?a)上递减,在区间(?1?1?a,1)上递增,

5111)若a??,则f(x)在(0,)上递减,在(,1)上递增,显然此时不存在满足题意的x0;422512)若?3?a??,则??1?1?a?1,若题意中的x0存在,则x0?(?1?1?a,1),421a2525255故只需f(1)?f()?0,即??0,则a??,故??a??时存在满足题意的x0;222412124513)若??a?0,则0??1?1?a?,若题意中的x0存在,则x0?(0,?1?1?a),421a7757故只需f(0)?f()?0,即???0,则a??,故??a??时存在满足题意的x0.222412412综上所述:25557111?当a?(?,?)(?,?)时,存在唯一的x0?(0,)(,1)满足f(x0)?f().124412222257111?5?当a?(??,?][?,0)???时,不存在x0?(0,)(,1)使f(x0)?f().1212222?4? www.gkstk.com

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解法二:a?0,??1?1?a?0,(i)若a??3,?1?1?a?1,从而由(1)知f(x)在区间(0,1)上是减函数,111故此时不存在x0?(0,)(,1),使得f(x0)=f();222(ii)若?3?a?0,则函数f(x)在区间(0,?1?1?a)上递减,在区间(?1?1?a,1)上递增,

5111)若a??,则f(x)在(0,)上递减,在(,1)上递增,显然此时不存在满足题意的x0;422512)若?3?a??,则??1?1?a?1,若题意中的x0存在,则x0?(?1?1?a,1),421a2525255故只需f(1)?f()?0,即??0,则a??,故??a??时存在满足题意的x0;222412124513)若??a?0,则0??1?1?a?,若题意中的x0存在,则x0?(0,?1?1?a),421a7757故只需f(0)?f()?0,即???0,则a??,故??a??时存在满足题意的x0.222412412综上所述:25557111?当a?(?,?)(?,?)时,存在唯一的x0?(0,)(,1)满足f(x0)?f().124412222257111?5?当a?(??,?][?,0)???时,不存在x0?(0,)(,1)使f(x0)?f().1212222?4? www.gkstk.com

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