2012高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习)1052三角函数的应用

2012高考数学第一轮总复习100讲

g3.1052三角函数的应用

一、知识回顾

三角函数是一种应用十分广泛的函数，常将一些代数问题、几何问题或某些实际应用问题通过三角代换，利用转化和化归的思想方法转化为三角问题来求解。 二、基本训练

1、直线l1:xcos ysin a，l2:xsin ycos b，当 变化时，l1与l2交点的轨迹是 ( )

A、直线x acos bsin B、直线y asin bcos C、圆x2 y2 a2 b2 D、无法确定

2、设实数x,y,m,n满足m2 n2 a，x2 y2 b(a,b是正常数，且a b)，那么mx ny的最大值是 ( )

A、

a b2

B、ab C、

a b2

22

D、

a b2

22

3、已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，那么不等式f(x)cosx 0的解集是 ( )

A、(0,1) (2,3) B、(1,

2

2

) (

2

,3)

C、(0,1) (,3) D、(0,1) (1,3) 4、函数y 2sin3x(

6 x

5 6)

与函数y 2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的

面积是 .

5、设x f( ) (sin 2)2 1，则y g(x) x2 6x 6的最大值是，最小值是. 三、例题分析

例1、求函数y x 4 5 x2的最大值和最小值.

例2、在平面直角坐标系中有点P(1,cosx)，Q(cosx,1),

x [

4

,

4

].

（1）求向量OP和OQ的夹角 的余弦值用x表示的函数f(x)； （2）求 的最值.

例3、如图，某海滨浴场的岸边可近似地看作直线a，救生员现

在岸边的A处，发现海中的B处有人求救，救生员没有直接从A处

游向B处，而是沿岸边A跑到离B最近的D处，然后游向B处，若A 救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海水中的行进速度为2米/秒.

（1）分析救生员的选择是否正确？

（2）在AD上找一处C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间。

a

D

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例4、已知函数f(x) sin2x 2sinxcosx 3cos2x。 （1）证明：当x (

17 8, 15 8

经过f(x)图象上的任意两点的直线的斜率恒为负数； )时，

（2）设有不相等的实数x1，x2 (0, )，且f(x1) f(x2) 1，求x1+x2的值。

例5、（05山东卷）

已知向量m求cos(

2 8)的值.

(cos ,sin )和n (2 sin ,cos ), ( ,2 ),

825

，

四、作业 g3.1052三角函数的应用

1、已知矩形的两相邻边长为ta和1 cos ，且对于任意实数x，

2

f(x) sin x

2

4

3x cos 0恒成立，则此矩形的面积 （ ）

32

A、有最大值1，无最小值 B、有最大值 C、有最小值

32

，最小值

12

，无最大值 D、有最大值1，最小值

32

2、2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为 ，大正方形面积是1，小正方形的面积是则sin2 cos2 的值是 （ ）

A、1 B、

2425

725

725

125

，

C、 D、

3、如图为一半径是3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y Asin( x ) 2，则有 ( )

A、 C、

5 125 12

,A 3 ,A 5

B、 D、

2 152 15

,A 3 ,A 5

4、若函数f(2x)的定义域是[－1, 0]，则f(cosx)的定义域是＿＿＿＿＿＿＿＿。 5、当1 x2 y2 2时，x2 xy y2的最大值是＿＿＿＿，最小值是＿＿＿＿。

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6、（05湖南卷）设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)

在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0，在[0,7、设z

2 3

2x

2

n

]上的面积为

3

2n3

（n∈N* ），（i）y＝sin3x]上的面积为

]上的面积为；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[

2yx 7

，

4

。

（1）若x2 y2 2，求z的最小值；

（2）若x2 y2 2，求z的取值范围。

8、已知两个向量a、b不共线，且a (cos ,sin )，b (cos ,sin )

，若 (

4

,

4

)，

4

，

3且a b

5

，求sin 的值。

9、如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为80米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地。现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR。求长方形停车场面积的最大值与最小值。

10、如图，边长为a的正三角形ABC的中心为O，过O任意作直线交AB、AC于M、N，求

1OM

2

1ON

2

的最大值和最小值。

答案：

基本训练、1、C 2、B 3、C 4、

4 3

5、46；－3

2cosx1 cos

2

例题分析、例1

、ymax 4,ymin 4 例2（1）f(x)

x

（2

）

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max arccos

223

， min 0 例3（1）救生员的选择是正确的 （2）CD＝752米，

3 4

最短时间为50 1002秒 例4(2)例5、解法一：

m n (cos sin

2,cos sin )

m n

(co s sin 2) (co s sin )

22

4 22(co s sin )

4 4cos (

4

) 21 cos (

4

)

又cos(

4 2

825

，得cos(

2

4

)

725

) 2cos( 8)

1625 2

2

8

) 1

所以cos2(

8 9

cos ) 0828

2 , cos

2

8

5 845

)

n

2m n

解法二：

2 2 2 m n (m n) m 2m n n m

2

2

2222222

sin ) ((2 sin ) cos ) 2[co s(2 sin ) sin cos ] (cos

4 22(cos sin ) 4[1 cos(

2 ,

4

)] 8cos(

2

2

8

)

8255 845

，得cos(

2 8

2

8

) 2

45

8) 0

9 8

cos(

cos

2

8

)

3

作业、1、B 2、D 3、B 4、[

2k ,

3

2k ],k Z

5、3,

12

6、

43

；

23

.

7、（1）7 （2）5＜z＜9 8、

210

9、最大面积2000m2，最小面积1800m2

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10、

18a

2

、

15a

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3gr4.html