小波试题

1. 从傅立叶变换到小波变换的三个阶段： *）信号加窗；**）基加窗；***）小波基； 2. Shannon小波的计算：

*）Shannon采样定理；**）采样定理与尺度函数；***）写出Shannon小波的时域和频域表达式；****）写出两个不同的Shannon小波，并说明它们都是正交小波； 3. 描述MRA；

4. 分析和说明MRA构造正交小波的关键步骤； 5. 说明Haar小波是正交小波(直接或MRA)； 6. Meyer小波的构造方法；

7. 构造Daubechies系列小波中的一个或两个； 8. 说明正交小波包的思想（空间再分割）； 9. 正交小波包的定义； 10.小波包的频域表达形式； 11.小波包的两种正交性； 12.小波空间的小波包再分割；

13.小波算法：分解和合成；矩阵形式； 14.Gabor变换的时-频分析特性； 15.连续小波的时-频分析特性； 16.二进小波的时-频分析特性； 17.正交小波的时-频分析特性； 18.Gabor变换的时-频分析特性； 19.连续小波的时-频分析特性； 20.二进小波的时-频分析特性； 21.正交小波的时-频分析特性； 22.小波包的时-频分析特性；

23.Malvar小波的时-频分析特性； 24.二维小波分析和图像处理； 25.小波采样定理； 26.小波与快速算法； 27.分数傅立叶变换：

*）经典分数傅立叶变换（旋转）； **）加权分数傅立叶变换（置换）； 28.小波变换的数值含义分析； 29.小波变换的工程含义分析；

30.小波变换与局部分析和奇性分析。

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1. 从傅立叶变换到小波变换的三个阶段： *）信号加窗；**）基加窗；***）小波基

从Fourier变换改进的角度去引入小波，并从基的处理去看待小波的发展，可以分为四个阶段（Fourier本身被看作一个阶段）。

⑴ Fourier变换

Fourier变换是一个强有力的数学工具，它具有重要的物理意义，即信号f?x?的Fourier变换

F?????f?x?e?i?xdx

????表示信号的频谱。正是Fourier变换的这种重要的物理意义，决定了Fourier变换在信号分析和信号处理中的独特地位，特别是作为平稳信号分析的最重要的工具。但是，在实际应用中，所遇到的信号大多数并不是平稳的。所以，随着应用范围的逐步扩大和理论分析的不断深入，Fourier变换的局限性就渐渐展示出来了：

首先，从理论上说，为了由Fourier变换研究一个时域信号f?x?的频谱特性，必须获得信号在时域中的全部信息，以致于包括将来的信息；

其次，Fourier变换对信号的局部畸变没有标定和度量能力。但是，在许多实际应用中，畸变正是我们所关心的信号在局部范围内的特征；

再次，Fourier变换不能反映信号在局部时间范围内和局部频带上的谱信息分析，或称为局部化时-频分析，而这正是许多实际应用最感兴趣的问题之一；

最后，因为一个信号的频率与它的周期长度成反比，因而要给进行分析的一个灵活多变的时间和频率的“窗口”，使其在“中心频率(或称为平均频率、主频)”高的地方，时间窗自动变窄，而在“中心频率”低的地方，时间窗应自动变宽。

⑵ 信号加窗

为了提取信号的局部信息，这包括时间和频率两方面的局部信息，Gabor在1946年的论文中，引入了一个时间局部化的“窗口函数”g?t?b?，其中参数b用于平行移动窗口，以便于覆盖整个时域。Gabor变换继承了Fourier变换所具有的“信号频谱”这样的物理解释，同时，它克服了Fourier变换只能反映信号的整体特征而对信号的局部特征没有任何分析能力的缺陷，大大地改进了Fourier变换的分析能力，为信号处理提供了一种新的分析和处理工具，即信号的时-频分析。

从技术、工程上来看待信号加窗。即如果对信号在某一段时间内的谱感兴趣，就采用信号加窗技术，用谱分析技术去分析信号。从本质上来讲是一种工程技巧。这种方法可能在这个问题中有效，在另外的问题中是否有效还是未知数。 ⑶ 基加窗

基加窗变换的表达形式与信号加窗一样，但是蕴含的意义却发生重大的改变。在基加窗变换中对信号没有任何限制，只对分析用的基进行处理（加窗）。反映了对基本处理工具的加工，基加窗可以看成对信号作线性变换，基在有限的范围内有效。它将信号加窗这种技术方法变为了一般的数学方法，应用范围更广，更一般化。 ⑷ 小波基

在前面，对一组基用窗函数作用得到局部化的基，这是不得已而为之。以前，使用Fourier基，应用范围有限，Fourier基的缺点很明显，如Fourier基是严格周期函数，在许多实际问题的处理中，如对某段范围内的信号进行处理，使其缺点表现得更为明显。基加窗的目的使信号限制在分析范围内。在基加窗基础上，对基的处理进一步一般化，将基和窗函数两部分

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看作一个整体，不对基作任何限制，只说明其具有哪些性质。这种方法体现了一般分析问题、解决问题的思想。把复杂的信号投影到结构简单、清晰、且具有一定联系的一组基上。是一种科学思想的体现。

2. Shannon小波的计算：

*）Shannon采样定理；**）采样定理与尺度函数；***）写出Shannon小波的时域和频域表达式；****）写出两个不同的Shannon小波，并说明它们都是正交小波

⑴ Shannon采样定理

设信号f?x??L2?R?，如果存在B>0，使

F????0 ??B a.e.??R

这里F???是f(x)的Fourier变换，则称f(x)是B频率截断的，这时，只要采样间隔???B，信号f(x)按间隔?进行采样就不会损失信息，而且，利用采样序列?f?n?? ; n?Z?可按如下公式构造原信号

sin??1??x?n?? f?x???f?n???1n?Z???x?n??上式称为Shannon插值公式。

⑵ 采样定理与尺度函数

记??x??sin?x???x??，对?频率截断的信号f(x), 总有

f?x???f?n???x?n?

n?Z函数族

???x?n? ; n?Z? 是空间L?R?的标准正交系。同时，

2V0??f?x? ; F????0, ????

是空间L2?R?的闭线性子空间，前述函数族构成子空间V0空间的标准正交基，而空间V0的任意信号都有唯一的表达式。

对于任何整数j，当信号f(x)是2?频率截断时，即

jF????0 ??2j?

那么

sin?2jx?n f?x???f2nj?2x?nn?Z??j?????函数族

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j??sin?2jx?njj2???x?2?2x?n?2? ; n?Z?j,n? j?2x?n????????构成空间

Vj?f?x? ; F????0 , ??2j?

的标准正交基。

Vj ; j?Z?。显然， 这样，随着j取遍所有的整数，就可以得到L2?R?的一系列子空间???随着j的不断增大，子空间Vj对空间L2?R?的逼近越来越“好”，而Vj空间具有前面给出的标准正交基，因此，容易想到的是，让j???构造空间L2?R?的标准正交基，从而得到正

交小波。遗憾的是，这样得不到象正交小波所给出的L2?R?的标准正交基。

⑶ Shannon小波的时域和频域表达式

频域形式为

??????????????????2??0 ??? ? ????2??1 ?0 2??? ?sin?2x???sin?x??

x?在时间域可表示为

??x??2??2x????x??⑷ 写出两个不同的Shannon小波，并说明它们都是正交小波

前面已经给出一种Shannon小波，另外一种Shannon小波为： 频域形式为

?????e时域形式为

?i?2????????e2???? ?2?i?????1??1??sin?2?x???sin??x??????????22??1???1????????? ??x??2???2?x?2??????x?2??1?????????x???2??

3. 描述MRA

设Vj ; j?Z是L2?R?上的一列闭子空间，??x?是L2?R?中的一个函数，如果它们满足如下的五个条件，即

① 单调性:

??Vj?Vj?1, ?j?Z (2.2.1)

② 唯一性:

?Vj?Zj??0? (2.2.2)

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③ 稠密性:

????Vj??L2?R? (2.2.3) ?j?Z?④ 伸缩性:

f?x??Vj?f?2x??Vj?1 ?j?Z (2.2.4)

⑤ 可构造性:

???x?n? ; n?Z? (2.2.5)

构成子空间V0的标准正交基。

那么，称Vj ; j?Z ; ??x?是L2?R?上的一个正交多分辨分析，简记为MRA.

由多分辨分析的定义，容易得到一个重要结果，即函数族

j??j2???x?2?2x?n ; n?Z?j,n? (2.2.6) ????????是Vj空间的标准正交基。

4. 分析和说明MRA构造正交小波的关键步骤

关键步骤一、MRA空间的分解

MRA有一系列子空间，只对其中几个感兴趣：V1、V0、W0。将V1分解为V0、W0，而并非一般的分解为正交子空间的直和，如最简单的将原来的空间分为两块，它满足正交和直和为原来的空间。但是MRA对空间的分解不像上面那么简单，而是有特殊要求。即，对?j?Z，定义的子空间Wj满足

Wj?Vj , Vj+1?Wj?Vj

容易验证，子空间序列Wj ; j?Z具有下述性质：

① ?j?l , Wj?Wl; ② L?R???Wl;

2l?Z??③ ?j?Z, g?x??Wj??g?2x??Wj?1

只要构造出W0的标准正交基，由③得到每一个子空间Wj的标准正交基，从而由②得到空间

L2?R?的标准正交基。

关键步骤二、构造函数??x?，使得函数族???x?k? ; k?Z?是W0的标准正交基

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⑴ 尺度方程

??x??V0?V1，且V1有标准正交基

序列hn ; n?Z?l2?Z?，使得

?2??2x?n? ; n?Z?，所以，必存在唯一的系数

????x??2?hn??2x?n?

n?Zωω?in????1?in2????1?????2?hne?????hne2???? ???2?2??2n?Zn?Z??2?H(ω)?⑵构造方程

1???????inωhe，??????????? ?n2n?Z?2??2???x??W0?V1，应该存在序列?gn ; n?Z?，使得

??x??2?gn??2x?n?

n?Zωω?in????1?in2????12??????2?gne?????ge??? ?n??22???2n?Zn?Z??2?G(ω)?1???????inωge， ?????G????? ?n2n?Z?2??2?小波函数的构造就转化为寻找相应的序列gn ; n?Z。

??关键步骤三、三个恒等式

⑴ 引理

设函数s?x??L?R?，那么?s?x?n? ; n?Z?构成L?R?的标准正交系，即

22s???n? , s???l????n?l?

的充分必要条件是：

?S???2n???1 a.e.??R

2n?Z2⑵???x?n? ; n?Z?是V0的标准正交基

1??????2n??n?Z22???????????n?????n????2??2?n?Z2??????????????2l???2l??????2l????????????2l??? ???2??2??2??2?n?2ln?2l?1???????2?

2????????2l???????????2??2?n?2l- 6 -

22????????2l????2?n?2l?12

????????????????1 ?2??2?⑶ ???x?k? ; k?Z?是W0的标准正交基 同理可得：G????G??????1

2222⑷ ???

????G??????????G??????0

????n? , ????k??1?in?????e?ik?d???????e2?R2??14?l?1????????????i?n?k??d????4l??????????e2?l?Z?2??2??2?14????????i?n?k??

??ed???????2?0?2??2?12????????????????i?n?k???????????d??????????e??2?0??2??2?22?????关键步骤四、正交小波的充要条件：矩阵????是酉矩阵

???????????????????????????????

??函数族???x?k? ; k?Z?构成W0的标准正交基即??x?成为正交小波的充要条件是，矩阵

????是酉矩阵，即 ?*????????? , a.e.??R

5. 说明Haar小波是正交小波(直接或MRA) ⑴ 直接说明Haar小波是正交小波

? 1 0?x?0.5?h?x????1 0.5?x?1

?0 x??0,1??? 2j 2-jk?x?2-jk?2??j?1???hj,k?x????2j 2-jk?2??j?1??x?2-j?k?1?

? 0 x?2-jk , 2-j?k?1?????对任意(j1,k1),(j2,k2)，有

?hj1,k1,hj2,k2???(j1?j2)?(k1?k2)

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以??j1?j2?0;k1?0,k2?1?j1?j2,j1?0,j2?1;k1?k2?0为例进行验证，如下图所示

?2,0?t?1/4?h0,0(t)?h(t),h0,1(t)?h(t?1),h1,0(t)?2h(2t)???2,1/4?t?1/2

?0,其它??h0,0(t),h0,1(t)???h(t)h(t?1)dt?0?????h0,0(t),h1,0(t)???h(t)h1,0(t)dt?0????

即，函数族

j????j2?hj,k?x??2h2x?k ; ?j,k??Z?Z? ??????构成函数空间L2?R?的标准正交基，所以，Haar函数h(x)是正交小波，称为Haar小波。

⑵从MRA角度说明（见姜维的笔记）

定义函数??t?:

??t???0?t?1?0

其它?1 Vj?fj(t);?k,??k,?fj(t)??k,2?jk?t?2?j(k?1)

具体j=0, V0??f0(t);?k,??k,?f0(t)??????k,k?t?(k?1),??k????

k2??验证五条公理： ①Vj?Vj?1, ?j?Z ②

?Vj?Zj??0?

③这里的闭子空间Vm具有如下的具体表表达形式

?Vm??h?t?; h?t??hk, 2?mk?t?2?m?k?1?, ?k?Z,?hkk?Z?2?????

??m即Vm由能量有限的台阶函数组成，这些台阶函数的跳跃点至多出现在2其中k是任意整数。

④f?x??Vj?f?2x??Vj?1 ?j?Z

⑤函数族???t?k?;k?Z?是标准正交系，从而它必是V0的标准正交基

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k这样的点上，

所以，Vj; j?Z; ??t?是L2?R?上的MRA，这就是Haar的多分辨分析。 双尺度方程是??t??????1?1?2???2t????2t?1??

2?2?因此，h0?h1?111,g1?，所以，g0??，这样得到如下构造方程 2221?1???t??2????2t????2t?1??

22????t?是一个正交小波，容易看出，她与前面的Haar小波函数相差一个符号。构造过程中相

应的低通滤波器是

?????高通滤波器是

11?e?i? 2???????e?i??????而且

1?1?e?i? 2??1?1?e?i????????i?2??1?e是酉矩阵

?1?e?i??? ?i???1?e??*?????????

6. Meyer小波的构造方法

?选取函数?????C0?R?（即只在有限区间范围内取值不为零而且任意次可微函数全体

构成的族）具有如下形式：

2?? 1 0 ????3?2?4????????在?0，1?中 ???

33?4?? 0 ??

?2?????2?2?????1

这时，构造尺度函数为??x????x?是????的Fourier逆变换

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13?ix?????x????ed? 4???2?3则

4??????2n????????2n???1

22n?Zn?Z于是，???x?n?;n?Z?是L2?R?中的标准正交函数族。构造L2?R?中的闭子空间序列

???x?n?;n?Z? V0?Closespan和

Vj?u2jx;u?x??V0

可以证明，Vj;j?Z;??x?是L2?R?上的一个多分辨分析，它就是Meyer的多分辨分析。这时，双尺度方程的频域形式可写成

??????????2???????????, ???

从而，得到低通滤波器的公式

?????相应的高通滤波器为

??2?????2??, ???

?????????e?i????????e?i???2??2??, ???

最后得到Meyer小波的频域形式

??????????????????????e2?????2????

?2??2??2?i??因为?????C0?R?，所以，?????C0??R?。另外还可以证明，对于任意自然数n,

?n?????0??0 ?n??x?xdx?0???R这说明Meyer小波非常光滑而且具有良好的波动特性。这一性质保证了Meyer小波在函数

空间分析和其他一些对光滑性有特殊要求的理论分析中的重要作用。

7. 构造Daubechies系列小波中的一个或两个

例1 选定N?2, Ry?0，这时，P2y?由

?????Cj?01j1?jyj?1?2y，Q2?z??a0?a1z，

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?2m???n?, ?2m?1???l??12?12?12?12?

??????????i?n?l?????d??1?????e?R0?2??2?m?2????????????0???1???m??e?i?n?l??d?? ?2??2??2?222k????????4??k?1?4k?4?0????????????0???1????m??2k??e?i?n?l??d???2??2?k????2??2?0???????????????i?n?l???????????d??011?????????e0?02222??????????12. 小波空间的小波包再分割

重复使用正交直和分解关系Uj?1?Uj?Uj分解，即对?j?2，Wj有如下正交直和分解

3Wj?U2?j?1?Uj?1 567U4? ? =j?1?Uj?1?Uj?1?Uj?1 m2m2m?1就可得到小波空间的正交小波包直和

U2kj?k?U2k?1j?k? ? ?Ujj2k?1?1j?k ? ? =j?1

U02?U02其中j?1, 1?k?j和 0?m?2k?1?1? ? ?U02?1，而且

U2k?mj?k?Closespan2?j?k2?2k?m2j?kt?l ;l?Z

???以右边的函数族为标准正交基。(24)给出的分解称为完全分解。其实，在具体应用时，在(24)的分解过程中，某些子空间到某一步之后就不再需要分解了，只有一部分需要再分解，这样一来，子空间Wj的可能分割就大大增加了，为时-频分析提供了极大的选择余地。

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图7.小波包变换对应的空间分割及重组关系图

13. 小波算法：分解和合成；矩阵形式

将L2?R?上的多分辨分析记为Vj;j?Z,??t?，尺度方程和构造方程为

???????t??2?hk??2t?k??k?Z ????t??2?gk??2t?k?k?Z?对于任意信号f?t??L?R?，引入记号

2??cj,k??Rf?t??j,k?t?dt ?d?f?t??j,k?t?dt??j,k?R称为f?t?的尺度系数和小波系数，同时，将f?t?在闭子空间Vj和Wj上的正交投影分别记为fj?t?和gj?t?，这样

?fj?t???cj,k?j,k?t??k?Z ?????gt?d?t?j,kj,k?jk?Z?根据空间正交直和分解关系

Vj?1?Vj?Wj

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可得

fj?1?x??fj?x??gj?x?

信号的尺度变换系数和小波变换系数之间的关系现在可以写成

?cl?Zj?1,l?j?1,l?t???cj,k?j,k?t???dj,k?j,k?t?

k?Zk?Z (6.1.8)

第一，若系数?cj?1,k;k?Z?已知，给出计算系数?cj,k;k?Z?和?dj,k;k?Z?的算法，即Mallat分解算法；

为了由cj?1,m;m?Z计算系数cj,n;n?Z和dj,n;n?Z，分别用?j,n?t?和?j,n?t?乘(6.1.8)式两端之后求积分，并利用尺度方程和构造方程的系数公式

????????hl??R??t??1,l?t?dt ?g???t??1,l?t?dt??l?R可以得到Mallat分解公式

?cj,n??hm?2ncj?1,m?m?Z ??dj,n??gm?2ncj?1,mm?Z? (8.1.26)

如果只得到一个有限长度的数字序列比如记为?f?n?;n?0,1,2,...,2N?1?，延拓得到原信号在某一尺度比如2??j?1?下的尺度变换系数：

0?k?2N?1?f?k? (8.2.1) cj?1,k?? k?p?N?1??m,0?m?2N?1,p?Z?f?m? 重复利用分解公式(8.1.24)可以逐步得出尺度分解和小波分解系数列。当正交共轭滤波器的

长度是有限时，有限长度数字信号的尺度变换和小波变换系数列都是有限长度的，而且，每次变换之后，尺度变换系数的个数和小波变换系数的个数都是变换前数据个数的一半。设高低通滤波器的系数分别是?gn;n?2?M,3?M,...,1?和?hn;n?0,1,2,...,M?1?。这样，小波分解公式变成

?cj,0?? h0 h1 h2 h3 ?? hM?2 hM?1 0 ??? 0??cj?1,0??????????cj,1?? 0 0 h0 h1 h2 h3 ??? hM?2 hM?1 0 ? 0?cj?1,1???????

? ? ?????????c?c????j,N?1?? h2 h3 ? hM?2 hM?1 0 ??? 0 h0 h1 ??j?1,2N?1? (8.2.2)

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cg g 0 ? 0 g2?M g3?M ? ???? g?2 g?1??dj,0????????01?j?1,0??dj,1??g?2 g?1 g0 g1 0 ? 0 g2?M g3?M ? g?4 g?3??cj?1,1????????

????????????d????c?j,N?1???0 ?? ??? 0 g2?M g3?M ? g?2 g?1 g0 g1??j?1,2N?1? (8.2.3)

这样，分解公式可以简洁地写成：

?C?j????D?j?????C?j?1? (8.2.8) ??

第二，如果已知系数对cj,k;k?Z和dj,k;k?Z，给出计算系数cj?1,k;k?Z的算法，即Mallat合成算法

用?j?1,m?t?乘(6.1.8)式两端之后求积分，并利用系数公式得Mallat合成公式

??????cj?1,m??hm?2ncj,n?gm?2ndj,n

n?Z??反过来，如果较大尺度下的尺度变换和小波变换系数已经得到，那么，小一级尺度下的尺度变换系数可以如下得到：

?cj?1,0??h0 0 ?? 0 hM?2 hM?4 ??? h2??cj,0????????cj?1,1??h1 0 ?? 0 hM?1 hM?3 ??? h3??cj,1???????h h 0 ?? 0 h h ? h???20?M?2M?44????????h3 h1 0 ?? 0 hM?1 hM?3 ? h5???+ ????????????????????? 0 ???? 0 h ?? h hM?220????????cj?1,2N?1??? 0 ???? 0 hM?1 ?? h3 h1?cj,N?1??????dj,0??g0 g?2 ? ? g?M?2 0 ??? 0 ???????g1 g?1 ? ? g?M?1 0 ??? 0 ??dj,1??? 0 g g ? ? g?? 0 ? 0?0?2?M?2?????? 0 g1 g?1 ? ? g?M?1 0 ? 0??? (8.2.9)

????????????g?2 ? ? g?M?2 0 ??? 0 g1???????g ? ? g????M?1 0 ??? 0 g1??dj,N?1???1

14. Gabor变换的时-频分析特性；

对于函数f?t??L?R?，其Gabor变换定义为

2Gf?b,????f?t?ga?t?b??e?i?xdx (3.1.2)

????其中

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?t2? (3.1.3) ga?t??exp?????2?a?4a?1是Gaussian函数，a?0是固定常数，这个函数被称为“窗口函数”。计算知

?所以

????ga?t?b?db?1 (3.1.4) Gf?b,??db?F??? ??R (3.1.5)

?????(3.1.5)说明，信号f?t?的Gabor变换Gf?b,??对任何a?0在时间t?b的附近使信号f?t?的Fourier变换局部化了，对???R，这种局部化完成的如此之好以致于达到了对F???的精确分解，从而完整地给出了f?t?的频谱的局部信息，这充分体现了Gabor变换在时间域的局部化思想。

Gabor变换是如何实现在频率域的局部化的。为此，引入记号g?a;b,?;t?

g?a;b,?;t??ga?t?b??exp?i?t? (3.1.6)

那么Gabor变换可表示为

Gf?b,????f?t?g?a;b,?;t?dt (3.1.7)

????这个等式可理解为，Gf?b,??是对函数f?t?开了一个形如(6)的窗口，这也是称ga?t?为窗函数的理由。将g?a;b,?;t?的Fourier变换记为G?a;b,?;??，则

2G?a;b,?;???exp?a??????ib????? (3.1.8)

??再由L?R?中Fourier变换的Parseval恒等式，即对?f,g?L?R?总有公式

22f,g?可将(3.1.2)和(3.1.7)变形为

1F,G (3.1.9) 2?Gf?b,???1F,G?a;b,?;???2?1??2????F?exp?a????ib?????d?? (3.1.10)

2????exp??ib??GF??,?b?2?a于是得

???

????f?t?ga?t?b?edt?i?t?ib?1??e?F????g41a?????eib?d? ?a2???- 20 -

(3.1.11)

这说明，对于给定的观测时刻t?b和固定的频率分量???，除常数项????ib??e之外，信a??12号f?t?在t?b具有时间窗函数ga?t?的Gabor变换与信号F???在???具有频率窗函数

g1???的Gabor变换是一致的，即两者给出的信息是一样的。只不过前者是时域形式，而

4a后者是频域形式。这体现了Gabor变换在时域和频域观测的等效性。

另一方面，如果引入记号

H?a;b,?;???G?a;b,?;???则由(3.1.10)知

??ib?????eg1????? (3.1.12)

4aaf,g?a;b,?;???1F,H?a;b,?;?? (3.1.13) 2?即，在时域中用“量具”g?a;b,?;??对信号f?t?的测量与在频域中用“量具”H?a;b,?;??对信号F的测量是一致的。这就是Gabor变换能对信号进行时-频分析的理论依据。

15. 连续小波的时-频分析特性

设小波函数??t?及其Fourier变换????都满足窗口函数的要求，它们的中心和窗宽分别记为E???和????与E???和????，容易验证，对任意的参数?a,b?，连续小波

??a,b??t??及其Fourier变换??a,b????

1?t?b????

a?a???a,b?????1a?ib??t?b??i?t?edt?e??a?? ?????a??aa??都满足窗口函数的要求，它们的中心和窗宽分别为

E??????E???a,b??E???a,b???b?aE?????a和?????? (3.3.1) ???????a???a,b???????a,b???a??因此，连续小波??a,b??t?的时窗是

?b?aE????a????,b?aE????a????? (3.3.2)

频窗是

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?E???????E?????????,??? (3.3.3)

aaa??a??因此，连续小波??a,b??t?的时-频窗是时-频平面上一个可变的矩形

??E???????E?????????,?b?aE????a????,b?aE????a??????? (3.3.4) aaaa?????时-频窗的面积是

2a?????2?????4???????? (3.3.5) a只与小波母函数??t?有关而与参数?a,b?毫无关系，但是，时-频窗口的形状随着参数a而变化，这是与窗口Fourier变换和Gabor变换完全不同的时-频分析特性，正是这一特点决定了小波变换在信号时-频分析中的特殊作用。具体地说，

对于较小的a?0，这时，时间域的窗宽a????随着a一起变小，时窗

?b?a????,b?a?????变窄(为了方便起见假定小波母函数的中心E????0)，主频(中心

频率)

E???变高，检测到的主要是信号的高频成分，由于高频成分在时间域的特点是变化a

迅速，因此，为了准确检测到在时域中某点处的高频成分，只能利用该点附近很小范围内的观察数据，这必然要求在该点的时间窗比较小，小波变换正好具备这样的自适应性； 反过来，对于较大的a?0，这时，时间域的窗宽a????随着a一起变大，时窗

?b?a????,b?a?????变宽，主频(中心频率)E?a??变低，检测到的主要是信号的低频成

分，由于低频成分在时间域的特点是变化缓慢，因此，为了完整地检测在时域中某点处的低频成分，必须利用该点附近较大范围内的观察数据，这必然要求在该点的时间窗比较大，小波变换也恰好具备这种自适应性。这是小波变换作为时-频分析方法的独到之处，也是小波变换的又一迷人之处。

另外，因为函数或者信号f?t?的小波变换

Wf?a,b???f?t???a,b??t?dt (3.3.6)

R实际上提取的是f?t?在时间点t?b附近和频率点??E???附近本质上集中在时-频窗 a??E???????E?????????,?b?a????,b?a??????? aaaa?????中的那部分时-频信息(为了方便起见，假定小波母函数的中心E????0)。所以，从频率域的角度来看，小波变换已经没有象Fourier变换那样的“频率点”的概念，取而代之的则是

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本质意义上的“频带”的概念；从时间域来看，小波变换所反映的也不再是某个准确的“时间点”处的变化，而是体现了原信号在某个“时间段”内的变化情况。具体地说，信号f?t?的小波变换Wf?a,b?自适应地提取原信号在“时间段”b?a????,b?a????内和“频带”

???E???????E?????????,?所以，从信号f?t?到小波变换Wf?a,b?实??内的时-频信息。

aaa???a?际上是把信号在时间域局部化到范围b?a????,b?a????内，而且在频率域局部化到范

???E???????E?????????,?围??内。这体现的正是小波变换所特有的能够实现时间局部aaaa????化同时频率局部化的时-频局部化能力。这在信号故障时间或者故障位置的诊断、图象边缘提取、图象数据压缩、信号滤波等方面都有重要应用。

16.二进小波的时-频分析特性

由于连续小波??a,b??t?的频窗是

?E???????E?????????,??? aaaa????而主频或者中心频率是

E???，显然，随着主频变高即参数a?0的数值变小，自适应地使

a频窗变宽即

????变大，所以，从频率绝对分辨率来说，主频越高则频率分辨率越低，同时，a参数a?0的离散化方式必须满足这样的要求。二进小波变换的离散方式是，将参数a?0离散化为序列aj?2;j?Z，这时，二进小波函数??2?j,b??t?对应的频带是

?j???2?E?????????,2?E?????????? (3.4.3)

jj因此，在一般情况下，频域划分实现如下

j?????2?E?????????,2?E?????????? (3.4.4)

jj??显然，对一般的二进小波??t?，这种划分虽然比连续小波的划分从数目上减少了许多，但仍然还有大量的重复，只有在二进小波??t?的Fourier变换????作为频窗函数满足

E????3???? (3.4.5)

时，频域的二进频带划分

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?0,??????2j?1????,2j?2????? (3.4.6)

j?????才是没有重叠的。这是一种真正的二进划分。相应的分析就是有名的二进小波分析。 因为二进小波变换按频带而不是按频率点的方式处理频域信息，那么，它是怎样描述原信号二进小波变换是用这个频带的中f?t?在频带2j?1????,2j?2????中的信息的呢？实际上，

心频率3?2j????处的“小波谱”Wf2?j,b来描述f?t?在2j?1????,2j?2????中的局部频率信息的，即所谓的以“点”代替“带”的方式。这是二进小波时-频分析的特点。然而，对于数值计算来说，这还不够，因为“小波谱”Wf2?j,b中的参数b应该取遍全部实数域R，所以，对于任何整数j，“小波谱”Wf2?j,b必须按参数b进行重采样或者离散

????????????????问题集中表现为寻找函数空间L?R?的“子空间”?W?2,b?;f?L?R??的一组基或者一

?j化参数b。这个问题或者描述为利用离散数据Wf2,bk;k?Z重建Wf2?j,b，这时，

2?j2f组标架(frame)，而这组基或标架应该由二进小波函数??t?按某种方式表示出来，最后将

Wf?2?j,b?展开成以Wf?2?j,bk?;k?Z为系数的线性组合；或者将这个问题改述为利用

离散数据Wf2,bk;k?Z,j?Z重建Wf?a,b?，进一步由小波反演公式最后重建原始

?j??????信号f?t?，这时，问题表现为寻找函数空间L?R?的基或标架，而将原始信号f?t?表示为

2或展开为以离散数据Wf2,bk;k?Z,j?Z为组合系数的线性组合。第二种解决方案导致正交小波的概念。

???j??

17. 正交小波的时-频分析特性；

考虑到数值计算和理论分析的特殊需要，对二进小波变换处理频域的方式进行时间参数

b的离散化，获得离散数据Wf2?j,bk;k?Z,j?Z，为了保证原始信号域和变换域分析

的一致性，当然应该要求离散后获得的数据Wf2,bk;k?Z,j?Z按某种方式可以完全重建信号的小波变换Wf?a,b?或者原始信号f?t?本身。由第一章的介绍我们知道，最完美的一种解决方案就是正交小波分析。即选择小波??t?，使函数族

j??j2?????t?2?2t?k;j,k?Z?Z?j,k? ?????????j????生成函数空间L?R?的标准正交基，这时，称??t?为正交小波，而这个函数族称为L?R?的

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标准正交小波基。在这里，时间中心参数b的离散化是与尺度参数a的离散化有联系的，具体地说，对任意整数j，当尺度参数aj?2?j时，时间中心参数bk?2?jk，k?Z，与此相应，频域中的“频带”是2j?1????,2j?2????，而且对应于时间域上的就是函数空间

??L2?R?上的闭子空间

??j,k?t?;k?Z? Wj?Closespan而且，与频域中互不相交的频带分割公式(3.4.6)相对应的是时间域中函数空间L2?R?的正交闭子空间分解

L2?R???Wj (3.4.7)

j?Z只有在这时，信号的时-频分析才具有明确的时域空间再分割的意义。正交小波分析显得异

常的简单明了，信号分析过程的物理意义和数学意义同时都显得很清晰。另一方面，将函数空间L2?R?的正交闭子空间分解的思想分别用于闭子空间Wj，就产生了正交小波包的频域再分割理论。这在后面将得到充分的讨论。

在正交小波分析的特殊情况下，原始信号的小波变换结果就是在离散二进网格点

??2上的“正交小波谱”

f?j,2?jk?; j,k?Z

??W?2?j,2?jk?; j,k?Z

?利用小波谱对原始信号的重建公式就是类似于Fourier级数的正交小波级数

f?t????Wf2?j,2?jk?j,k?t? (3.4.8)

j?Zk?Z??其中?j,k?t??2?2t?k, j,k?Z，是由正交小波??t?产生的在各种不同尺度下中心在

jj2??不同网格点处的再生正交小波，它们代表了一切可能的“基本单元”或者“时-频原子”，从“时-频原子分解”的观点来看，公式(40)说明，正交小波分析对应的时-频分析实质上是实现函数空间L?R?中任何信号“时-频原子分解”的一种有效途径。

2

18. 小波变换的数值含义分析（姜微的笔记）

19 alvar小波的时-频分析特性；

前面已经从一般的形式介绍了时-频分析小波，这里只简单介绍以H.Malvar的名字命名的特定的时-频小波。在这里，我们从小波变换的角度来分析前面已经详细讨论过的Gabor变换。这时，所用的连续小波就是Gabor的时-频小波

???,b??t??g??t?b?ei?t

它的基本特征是，将一个谐波ei?t按照时间参数b分割成许多段，每次只保留一个小段，而

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