复件 奥林匹克题解一(3)
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第一章数论
第三节、数字问题
A3-001 在数3000003中,应把它的百位数字和万位数字0换成什么数字,才能使所
得的数能被13整除?
【题说】 1950年~1951年波兰数学奥林匹克三试题2. 【解】 设所求数字为x和y,则有
因为10、10、10除以13时,分别得余数1、3、9,所以
n≡3+3x+9y+3=3(2+x+3y)(mod 13)
当且仅当x+3y+2被13整除,即
x+3y+2=13m(m为自然数) (1) 时,n被13整除.由于
x+3y+2?9+3·9+2=38
所以m只能取1或2.
当m=1时,由方程(1)及0?x,y?9,解得
x=8,y=1;x=5,y=2;x=2,y=3
当m=2时,解得x=9,y=5;x=6,y=6;x=3,y=7;x=0,y=8.
故本题共有7个解:3080103,3050203,3020303,3090503,3060603,3030703,3000803. A3-002 求出所有这样的三位数,使其被11整除后的商数等于该三位数各位数字的平方和.
【题说】 第二届(1960年)国际数学奥林匹克题1.本题由保加利亚提供. 【解】 设这个三位数除以11以后的商为10a+b,其中 a是商的十位数,b是商的个位数.若a+b?10,则原数为
100(a+1)+10(a+b-10)+b
1
6
4
2
若a+b<10,则原数为
100a+10(a+b)+b
以下对这两种情形分别讨论. 先考虑第一种情形.由题设有
(a+1)+(a+b-10)+b=10a+b (1) 若a+b>10,则有
(a+1)+(a+b-10)+b?(a+1)+1+ (11-a)
22
2
2
2
2
2
2
故若(1)式成立,只能有a+b=10.
将b=10-a代入(1)解得唯一的一组正整数解
a=7,b=3
再考虑第二种情形.此时由题设有
a+(a+b)+b=10a+b (2) 若a+b>5,则有
a+(a+b)+b=2(a+b)·a+2b>10a+b
故若(2)成立,只能有a+b?5.注意在(2)式中左边和10a都是偶数;因此b也是偶数.若a+b<5,则b只能为2,将b=2代入(2)得不到整数解,因此只能有a+b=5.
将b=5-a代入(2)得唯一的一组正整数解
a=5,b=0
综上所述,合乎要求的三位数只有550,803.
A3-003 下面是一个八位数除以一个三位数的算式,试求商,并说明理由.
2
2
2
2
2
2
2
2
【题说】 1958年上海市赛高三题1. 【解】 原式可写成:
其中所有未知数都表示数字,且下标为1的未知数都不等于零.x1x2x3等表示x1·10+x2·10+x3等.
2
(1)因为得到商的第一个数字7后,同时移下两个数字a5、a6,所以y2=0,同理y4
=0.
(2)四位数a1a2a3a4与三位数b1b2b3之差为两位数c1c2,所以a1=1,a2=0,b1=9,同理,c1=1,c2=0,d1=9,于是a4=b3,b2=9,a3=0.
(3)由7×x1x2x3=99b3,所以x1=1,x2=4.990-7×140=10,所以x3=2,b3=4,从而a4=b3=4.
(4)由c1=1,c2=0可知y3=7.
(5)y5×142是四位数,所以x5?8.又因y5×142的末位数字是8,所以y5=9. 于是商为70709,除数142,从而被除数为10040678.
3
A3-004 证明:在任意39个连续的自然数中,总能找到一个数,它的数字之和被11整除.
【题说】 1961年全俄数学奥林匹克八年级题 3.
【证】 在任意39个连续自然数中,一定有三个数末位数字为0,而前两个数中一定有一个十位数字不为9,设它为N,N的数字之和为n,则N,N+1,N+2,?,N+9,N+19这11个数的数字之和依次为n,n+1,n+2,?,n+9,n+10,其中必有一个是11的倍数.
【注】 39不能改为38.例如999981至1000018这38个连续自然数中,每个数的数字和都不被11整除.本题曾被改编为匈牙利1986年竞赛题、北京市1988年竞赛题. A3-005 求有下列性质的最小自然数n:其十进制表示法以6结尾;当去掉最后一位6并把它写在剩下数字之前,则成为n的四倍数.
【题说】 第四届(1962年)国际数学奥林匹克题1.本题由波兰提供.
【解】 设n=10m+6,则6×10+m=4(10m+6),其中p为m的位数.于是m=2(10-4)/13,要使m为整数,p至少为5,此时,n=153846.
p
p
A3-006 公共汽车票的号码由六个数字组成.若一张票的号码前三个数字之和等于后三个数字之和,则称它是幸运的.证明:所有幸运车票号码的和能被13整除.
【题说】 1965年全俄数学奥林匹克八年级题 4.
【证】 设幸运车票的号码是A,则A′=999999-A也是幸运的,且A≠A′.因为A+A′=999999=999×1001含因数13.而所有幸运号码都能如此两两配对.所以所有幸运号码之和能被13 整除.
A3-007 自然数k有如下性质:若n能被k整除,那末把n的数字次序颠倒后得到的数仍能被k整除.证明:k是99的因子.
【题说】 第一届(1967年)全苏数学奥林匹克十年级题5.
【证】 k与10互质.事实上,存在首位为1且能被k整除的数,把它的数字倒过来也能被k整除,而此数的末位数字为1.
取以500开头的且被k整除的数:500abc?z,(a,b,c,?,z是这个数的数字),则以下的数均被k整除:
(1)z?cba005. (2)和
4
(3)把(2)中的和倒过来
z?cba00010abc?z
(4)差
由此看出,99能被k整除.
A3-008 计算由1到10的每一个数的数字之和,得到10个新数,再求每一个新数的数字之和;这样一直进行下去,直到都是一位数为止.那么,最后得到的数中是1多,还是2多?
【题说】 1964年全俄数学奥林匹克八年级题3.考虑整数被9除的余数.
【解】 一个正整数与其数字之和关于9是同余的,故最后所得的一位数为1者,是原
9
数被9除余1的数,即1,10,19,?,999999991及10.
同理,最后所得一位数为2者,原数被9除余2,即2,11,20,?,999999992. 二者相比,余1者多一个数,因此,最后得到的一位数中以1为多.
A3-009 求出具有下列性质的所有三位数A:将数A的数字重新排列,得出的所有数的算术平均值等于A.
【题说】 第八届(1974年)全苏数学奥林匹克九年级题 5.
9
9
由此可得222(a+b+c)=6(100a+10b+c),即7a=3b+4c,将这方程改写成
7(a-b)=4(c-b)
5
其最后三位数字为025.
A3-024 一个六位数的首位数字是5,是否总能够在它的后面再添加6个数字,使
得所得的十二位数恰是一个完全平方数?
【题说】1995年城市数学联赛高年级普通水平题3.
【解】不.若不然,10个以5为首位数字的六位数可以衍生出105个
5
十二位的完全平方数.即有10个自然数n满足.
5×10?n<6×10
亦即
7×10<n<8×10
由于7×10与8×10之间不存在10个整数,故上式不可能成立.
5
5
5
5
5
11
2
11
5
11
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