云南省曲靖一中2009届高考数学理冲刺卷四

云南省曲靖一中2009届高三高考冲刺卷（四）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．

1．设全集U?R,A?{x|x?4},B?{x|logx7?log37}，则A?(CUB)是

A．{x|?2?x?1} C．{x|?2?x?1}

B．{x|x??2或x?3} D．{x|?2?x?3且x?1}

22．己知复数z满足(3?3i)z?3i，则z等于

A．

33?i 22 B．

33?i 44 C．

33?i 22 D．

33?i 443．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9,S6?36，则a7?a8?a9?

A．63

B．45

C．36

D．27

4．设m、n是不同的直线，?、?、?是不同的平面，有以下四个命题：

① 若?//?,?//?，则?//? ③ 若m??,m//?，则??? 其中真命题的序号是 A．①④ 5．已知sin(

B．②③

C．②④

D．①③

② 若???,m//?，则m?? ④ 若m//n,n??，则m//?

3?x)?，则sin2x的值为 45716A． B．

2525? C．

14 25 D．

7 25??? ??111n?12lim???a(1?x)(n?N?)6．n是的展开式中含x的项的系数，则?x??aan?1a2A．1

B．2

C．3

D．4

x2y227．设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y?4x的

ab

准线重合，则此双曲线的方程为

x2y2A．??1

12248．(1?x2y2B．??1

4896x22y2C．??1

33x2y2D．??1

36x)4(1?x)4的展开式中x的系数是

B．?3

C．3

D．4

A．?4

9．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中有且只有1 名女生，则选派方案共有

A．108种

B．186种

C．216种

D．270种

?(3?a)x?1(x?1)10．已知f(x)??是(??,??)上的增函数，那么a的取值范围是

logx(x?1)?aA．(1,??)

B．(??,3)

C．[2,3)

D．（1，3）

11．设奇函数f(x)在(0,??)上为增函数，且f(1)?0，则不等式 为

A．(?1,0)?(1,??) C．(??,?1)?(1,??)

f(x)?f(?x)?0解集

xB．(??,?1)?(0,1) D．(?1,0)?(0,1)

12．f(x)是定义在(0,??)上的非负可导函数，且满足xf?(x)?f(x)?0，对任意正数a、

b若a?b，则必有

A．af(b)?bf(a) C．af(a)?f(b)

B．bf(a)?af(b) D．bf(b)?f(a)

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题。每小题5分．共20分．把答案填在题中横线上．

13．在某项测量中，测量结果?服从正态分布N(1,a)(a?0)，若?在在（0，1）内取值的

概率为0．4，则?在（0，2）内取值的概率为 ．

2????????????2????2????????14．平面上的向量PA,PB满足PA?PB?4，且PA?P?B0，若向量

????1????2????PC?PA?PB,

33???? 则|PC|的最大值为 。

15．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，BC1与平面BB1D1D所成的角为 ． 16．给出下列3个命题：

① 命题“存在x?R,x?1?3x”的否定是“任意x?R,x?1?3x”；

② “m??2”是“直线(m?2)x?my?1?0与直线(m?2)x?(m?2)y?3?0相互垂直”的必要不充分条件；

③ 关于x的不等式|x?1|?|x?3|?m的解集为R，则m?4． 其中为真命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共6小题。共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?(3sin?x?cos?x)cos?x?（1）求f(x)的单调递增区间；

（2）在?ABC中，角A，C的对边长分别是a，b，B，c满足(2a?c)cosB?bcosC，求函数f(A)的取值范围．

221(??0)的最小正周期为4?． 2

18．（本小题满分12分）

有编号为l，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为?，已知??2时，共有6种坐法．

（1）求n的值；

（2）求随机变量?的概率分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

已知数列{an},Sn是其前n项和，且an?7Sn?1?2(n?2),a1?2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn?1m,Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn?对所有

log2an?log2an?120n?N?都成立的最小正整数m。

20．（本小题满分12分）

已知四棱锥P?ABCD的底面ABCD是正方形，且PD?底面ABCD，其中PD?AD?a．

（1）求二面角A?PB?D的大小；

（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC?平面ADE．若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分10分）

x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)，过焦点垂直于长轴的弦长为l，且焦点与短轴两

ab端点构成等边三角形．

（1）求椭圆的方程；

????（2）过点Q(?1,0)的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x??4于点E，点Q分AB????所成比为?，点E分AB所成比为?，求证???为定值，并计算出该定值．

22．（本小题满分12分）

已知函数f(x)??x?ax?1?lnx．

（1）若f(x)在(0,)上是减函数，求a的取值范围；

（2）函数f(x)是否既有极大值又有极小值?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

212

参考答案

一、 1．C 11．D

2．D 12．A

3．B

4．D

5．D

6．B

7．D

8．A

9．A

10．C

1～11．略 12．解：g(x)?

f(x)x?f(x)?g?(c),g?(x)??0， xx2f(a)f(b)??bf(a)，ab?g(x)在(0,??)是减函数，由0?a?b，得g(a)?g(b)??af(b)，故选A．

二、 13．0．8 三、

17．解：（1）f(x)?3sin?xcos?x?cos?x?

214．

4 315．

? 616．①③

1??sin(2?x?) 26?T?2?11??4?,???,?f(x)?sin(x?) 2?4264?2??f(x)的单调递增区间为[4k??,4k??](k?Z)

33（2）?(2a?c)cosB?bcosC

?2sinAcosB?sinCcosB?sinBcosC

1?2sinAcosB?sin(B?C)?sinA,?cosB?,?B?

231?2??A???f(A)?sin(A?),0?A?,????

26362621?f(A)?(,1)

2218．解：（1）当??2时，有Cn种坐法，

2?Cn?6，即

n(n?1)?6， 2n2?n?12?0,n?4或n??3舍去． ?n?4

（2）??的可能取值是0，2，3，4

2C4?16111,P(??2)??? 又?P(??0)?4?4A424A42443C4?28193P(??3)???,P(??4)??, 4A4243248

??的概率分布列为

2 3 4 ? 0

1111 P 244381113则E??0??2??3??4??3．

2443819．解：（1）?n?2时，an?7Sn?1?2,?an?1?7Sn?2，?an?1?an?7an

?an?1?8an(n?2)

又a1?2

?a2?7a1?2?16?8a1，

?an?1?8an(n?N?)

?{an}是一个以2为首项，8为公比的等比数列 ?an?2?8n?1?23n?2

（2）bn?11111??(?)

log2an?log2an?1(3n?2)(3n?1)33n?23n?1

111111111?Tn?(1???????)?(1?)?

34473n?23n?133n?13m120??,?m?,?最小正整数m?7． 203320．解法一：

（1）设AC交BD于点O,?AC?BD,AC?PD,

?AC?平面PBD．

作OF?PB于点F，连接AF，则由三垂线定理知：AF?PB,??OFA是二面

角A?PB?D的平面角．

由已知得AB?PB,PA?2a,AB?a,PB?3a,?AF?PA?AB6?a， PB3?sin?OFA?AO3?,??OFA?60?， AF2∴二面角A?PB?D的大小的60°．

（2）当E是PB中点时，有PC?平面ADE．

证明：取PC的中点H，连接EH、DH，则EH//BC，

?EH//AD，故平面ADE即平面ADHE．

?AD?CD,?AD?PC又?PC?DH,?PC?平面ADHE，

?PC?平面ADE．

解法二：由已知条件，以D为原点，以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建

立空间直角坐标系，则

D(0,0,0),P(0,0,a),B(a,a,0),A(a,0,0),C(0,a,0)

????????（1）DP?(0,0,a),PB?(a,a,?a)，

??????AB?(0,a,0)，设平面PBD的一个法向量为n1?(x1,y1,z1)，

则??az1?0,取n1?(1,?1,0)

ax?ay?az?0?111?ax2?ay2?az2?0,设平面PBA的一个法向量为n2?(x2,y2,z2)，则?取

ay?0?2n2?(1,0,1)．

?cos?n1,n2??n1?n21?,?二面角A?PB?D的大小为60°．

|n1||n2|2????????????????（2）令PE??PB(0???1)，则PE?(?a,?a,??a),AP?(?a,0,a)，

?????????????????AE?PE?AP?(?a?a,?a,a??a),PC?(0,a,?a)，

????????由已知，PC?AD，要使PC?平面ADE，只需AE?PC，即AEP?C?0

则有?a?a(a??a)?0，得??21,?当E是PB中点时，有PC?平面2ADE．

?2b2?1?a?2x2???21．解：（1）由条件得?a，所以椭圆方程是?y2?1．

4?b?1?2b?a?

（2）易知直线l斜率存在，令l:y?k(x?1),A(x1,y1),B(x2,y2),E(?4,y0)

?y?k(x?1)?22222?(1?4k)x?8kx?4k?4?0,由?x2??48k?16?0 2??y??4

8k24k2?4x1?x2??,x1x2? 221?4k1?4k????????由AQ??OB?(?1?x1,?y1)??(x2?1,y2)， ??(x1?1)??(x2?1)x?1即?得???1

y???yx?1?122????????AE??EB?(?4?x1,y0?y1)??(x2?4,y2?y0)，

即???(x1?4)??(x1?4)

?y0?y1??(y2?y0)

得??x1?4 x2?4(x1?1)(x2?4)?(x1?4)(x2?1)2xx?5(x2?x2)?8 ??12(x2?1)(x2?4)(x2?1)(x2?4)??????8k24k2?4将x1?x2??代入 ,x1x2?221?4k1?4k

8k2?840k28k2?8?40k2?8?32k2??8221?k1?4k2有????1?4k??0

(x2?1)(x2?4)(x2?1)(x2?4)22．解：（1）f?(x)??2x?a?1 x

111?f(x)在(0,)上为减函数，?x?(0,)时，?2x?a??0恒成立，

22x111即a?2x?恒成立，设g(x)?2x?，则g?(x)?2?2

2xx11?x?(0,)时，g?(x)?0,?g(x)在（0，）上递减速，

221?g(x)?g()?3

2?a?3．

（2）若f(x)即有极大值又有极小值，则首先必需f(x)?0有两个不同正要x1，x2，

即2x?ax?1?0有两个不同正根

2

???0?a2?8?0????a?22 令?a?0?a?0??2∴当a?22时，f(x)?0有两个不同正根 不妨设x1?x2，由f(x)??

12(2x2?ax?1)??(x?x1)(x?x2)知， xx.0?x?x1时，f?(x)?0;x1?x?x2时，f?(x)?0;x?x2时，f?(x)?0

∴当a?22时，f(x)既有极大值f(x2)又有极小值f(x1)．

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