用Matlab学习线性代数 - 线性方程组与矩阵代数概要

用Matlab学习线性代数 线性方程组与矩阵代数

实验目的：熟悉线性方程组的解法和矩阵的基本运算及性质验证。 Matlab命令：

本练习中用到的Matlab命令有：inv，floor，rand，tic，toc，rref，abs，max，round，sum，eye，triu，ones，zeros。

本练习引入的运算有：+，-，*，’，，\\。其中+和-表示通常标量及矩阵的加法和减法运算；*表示标量或矩阵的乘法；对所有元素为实数的矩阵，’运算对应于转置运算。若A为一个n?n非奇异矩阵(det!=0)且B为一个n?r矩阵，则运算A\\B等价于A?1B。 实验内容：

1． 用Matlab随机生成4?4的矩阵A和B。求下列指定的C,D,G,H，并确定那些矩阵是相等的。你可以利用Matlab计算两个矩阵的差来测试两个矩阵是否相等。

（1）C=A*B,D=B*A,G=(A’*B’)’,H=(B’*A’)’ C=H;D=G； （2）C=A’*B’,D=(A*B)’,G=B’*A’,H=(B*A)’ C=H;D=G； （3）C=inv(A*B),D=inv(A)*inv(B),G=inv(B*A),H=inv(B)*inv(A)

（4）C=inv((A*B)’),D=inv(A’*B’),G=inv(A’)*inv(B’),H=(inv(A)*inv(B))’

（3）（4）中无相等的

2． 令 n=200，并使用命令

A=floor(10*rand(n));

b=sum(A’)’

z=ones(n,1); 注释：（n行一列全为1的矩阵）

生成一个n?n矩阵和两个Rn中的向量，它们的元素均为整数。（因为矩阵和向量都很大，我们添加分号来控制输出。

（1） 方程组 Ax?b的真解应为z。为什么？ 【A中的每一行的元素之和

正好等于对应b的每一列，故z为其一解，又det不等于0，RA=RAb=n，故z为其解】试说明，可在Matlab中利用”\\”运算或计算A?1，然后用计算A?1b来求解。比较这两种计算方法的速度和精度。我们将使用Matlab命令tic和toc来测量每一个计算过程消耗的时间。只需要用下面的命令：

tic,x=A\\b；toc tic,y=inv(A)*b; toc

哪一种方法更快？ tic,x=A\\b；更快！

为了比较这两种方法的精度，可以测量求得的解x和y与真解z接近的程度。利用下面的命令：

max(abs(x-z)) max(abs(y-z))

哪种方法的到的解更精确？

>> max(abs(x-z))= 4.0168e-013 更精确！

>> max(abs(y-z)) = 6.1107e-013 （2） 用n=500和n=1000替换（1）中的n。 如（1）结果一样！

3． 令A=floor(10*rand(6))。根据构造，矩阵A将有整数元。将矩阵A的第六列更改，使得矩阵A为奇异的。令

B=A’，A(:,6)=-sum(B(1:5,:))’

（1） 设x=ones(6,1),并利用Matlab计算Ax。为什么我们知道A必为奇

异的？【因化简列，————>列成比例】试说明。通过化为行最简形来判断A是奇异的。

（2） 令B=x*[1:6]，乘积AB应为零矩阵。为什么？【因A的每一行的前

五个元素之和等于第六个元素的相反数，且在A上的每一行的元素同乘以相同的数，则仍等于0】试说明。用Matlab的*运算计算AB进行验证。

（3） 令C=floor(10*rand(6))和D=B+C，尽管C?D,但乘积AC和AD是

相等的。为什么？试说明。计算A*C和A*D，并验证它们确实相等。

【此处B为令B=x*[1:6]；A为A(:,6)=-sum(B(1:5,:))’】 由于A*B=0；故AC=AD；A(B+C)=AB+AC;

4． 采用如下方式构造一个矩阵。令

B=eye(10)-triu(ones(10),1)， 参见最后附表二：

为什么我们知道B必为非奇异的？

【上三角矩阵的行列式的值等于对角线上的元素相乘】 令C=inv(B)且x=C(:,10)，

现在用B(10,1)=-1/256将B进行微小改变。利用Matlab计算乘积Bx。

由这个计算结果，你可以得出关于新矩阵B的什么结论？【化简此时B，得行最简式，RB=9<10，可以得出B的第10列（从1—9行）与x互为相反数，且都是2的指数幂数，且第十行为0，】 它是否为奇异的？【是】 试说明。用Matlab计算它的行最简形。 5． 生成一个矩阵A： A=floor(20*rand(6)) 并生成一个向量b： B=floor(20*rand(6,1))-10

（1） 因为A是随机生成的，我们可以认为它是非奇异的。那么方程组

Ax?b应有唯一解。用运算“\\”求解。用Matlab计算[A b]的行

最简形U。比较U的最后一列和解x，结果是什么？【相等】在精确算术运算时，它们应当是相等的。为什么？【行最简式中可写出对应元素的实际含义，对应处的未知元就等于最后的数】试说明。为比较他们两个，计算差U(:,7)-x或用format long考虑它们。

（2） 现在改变A，试它成为奇异的。令 A(:,3)=A(:,1:2)*[4 3]’【第一

列乘以4加上第二列乘以3替换到第三列上】，利用Matlab计算rref([A b])。方程组Ax?b有多少组解？【无解】试说明。【RA

（3） 令 y=floor(20*rand(6,1))-10 且 c=A*y，为什么我们知道方程组

Ax=c必为 相容？的？【x此时必有一解y，故为相容的】试说明。计算[A c]的行最简形U。方程组Ax?b有多少组解？【无穷多解】试说明。【RA=RA c<6】

（4） 由行最简形确定的自由变量应为x3。通过考察矩阵U对应的方程

组，可以求得x3?0时所对应的解。将这个解作为列向量w输入Matlab中。为检验Aw?c，计算剩余向量c?Aw。

（5） 令U(:,7)?zeros(6,1)。矩阵U应对应于?A|0?的行最简形。用U求

自变量x3?1时齐次线性方程组的解（手工计算），并将你的结果输入为向量Z。用A*Z检验你的结论。

（6） 令v?w?3*z。向量v应为方程组Ax?c的解。为什么？试说明。

用Matlab计算剩余向量来验证v为方程组的解。在这个解中，自由变量x3的取值是什么？ 【x3=3】 如何使用向量w和z来求所有可能的方程组的解？【v=w+n*z,其中n为任意实数】试说明。

6． 考虑下图：

（1） 确定图的邻接矩阵A，将其输入Matlab；

（2） 计算A2并确定长度为2的路的条数【72】，其起止点分别为：【A^2+A

中的数值之和，数字表示有几种路径，具体看程序】

（3） 计算A4、A6、A8并回答(2)中各种情况长度为4、【368】6、【2362】

8、【15800】的路的条数。试推测什么时候从顶点Vi到Vj没有长度为偶数 【即为0】 的路。 【i=1，j=6; i=2,j=5; i=3,j=6或8； i=4,j=7; i=5,j=8;i=6,j=1或3; i=7,j=4; i=8,j=3或6;】

（4） 计算A3、A5、A7并回答（2）中各情况长度为3、【154】5、【922】

7【6098】的路的条数。你由（3）得到的推测对长度为奇数的路是否成立？【不成立】，试说明【见程序】。推测根据i+j+k的奇偶性，

是否存在长度为k的路。【若i+j+k为偶数，不存在；相反，则存在】 【路径见程序】

（5） 如果我们在图中增加边{V3,V6}，{V5,V8}，新图的邻接矩阵B可首先

令B=A，然后令B(3,6)=1, B(6,3)=1, B(5,8)=1, B(8,5)=1，对k=2,3,4,5计算Bk。（4）中的推测在新的图形中是否还是成立的？【不成立】见程序】

（6） 在图中增加{V6,V8}，并构造得到的图的邻接矩阵C，计算C的幂次，

并验证你在(4)中的推测对这个新图是否仍然成立。【不成立】【见程序】

V1 V2V8 V7V5 V6V4 V3

7．令A=magic(8)，然后计算其行最简形。使得首1对应于前三个变量x1,x2,x3，且其余的五个变量均为自由的。

（1）令c=[1:8]’，通过计算矩阵[A c]的行最简形确定方程组Ax=c是否相容。方程组是相容的吗？ 【不相容】 试说明。 【RA

并考虑方程组Ax=b。该方程组应为相容的。通过U=rref([A b])验证。对五个自由变量的任一组取值，我们都应可以得到一组解。事实上，令

x2=floor(10*rand(5,1))，若x2表示方程组解的最后5个坐标，则我们由x2求得x1=(x1,x2,x3)’。要这样做，只需要令U=rref([A b])。U的非零行对应于分块形式的线性方程组

?x1??EU??x??c

?2?为解此方程组，令V=U(1:3,4:8),c=U(1:3,9)

并利用Matlab，根据x2，c和V计算x1。令x=[x1;x2]，验证x是方程组的解。

8．令 B=[-1,-1;1,1]和A=[zeros(2),eye(2);eye(2),B] 验证B2=0。

（1）用Matlab计算A2，A4，A6，A8。猜想用子矩阵E，O和B如何表示分块形式的A2k。用数学归纳法证明你的猜想对任何正整数k都是成立的。 （2）用Matlab计算A3，A5，A7和A9。猜想用子矩阵E，O和B如何表示分块形式的A2k-1。用数学归纳法证明你的猜想对任何正整数k都是成立的。 9．（1） Matlab命令

A=floor(10*rand(6)),B=A’*A

将得到元素为整数的对称矩阵。为什么？试说明。【第i行第j列的数等于第i列的数分别乘以第j列的数之和；第j行第i列的数等于第j列的数分别乘以第i列的数之和，故为对称矩阵】

用这种方法计算B来验证结论，然后将B划分成四个3x3的子矩阵。在Matlab中求子矩阵，令

B11=B(1:3,1:3),B12=B(1:3,4:6)

并用B的第四行到第6行类似定义B21和B22。

（2）令 C=inv(B11)。应有CT=C和B21T=B12。为什么？【对称阵的逆矩阵

与该逆矩阵的转置是相等的，B12的第i行的数等于B21的第i列的数】 试说明。用Matlab运算符’计算转置，并验证结论。然后，令

G=B21*C 和 H=B22-B21*C*B21’

利用Matlab函数eye和zeros构造

?EL???G0??B110? ,D????E?H??0计算W=L*D*L’，并通过计算W-B与B进行比较。证明：若用算术运算精确计算LDLT，它应准确等于B。 附表： 第一题： （1）

>> A=rand(4); >> B=rand(4); >> C=A*B; >> D=B*A; >> G=(A'*B')'; >> H=(B'*A')'; >> C-D

ans =

2.2376e-001 4.7289e-001 1.3979e+000 1.3204e+000 -6.3633e-001 -3.0354e-001 2.2485e-002 -1.5056e-001 -1.7227e-001 -1.1938e-001 2.9484e-001 2.3624e-001 -8.7955e-001 -6.5016e-001 8.0370e-002 -2.1506e-001 >> C-G ans =

2.2376e-001 4.7289e-001 1.3979e+000 1.3204e+000 -6.3633e-001 -3.0354e-001 2.2485e-002 -1.5056e-001 -1.7227e-001 -1.1938e-001 2.9484e-001 2.3624e-001 -8.7955e-001 -6.5016e-001 8.0370e-002 -2.1506e-001 >> C-H ans =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

>> D-G ans =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> D-H ans =

-2.2376e-001 -4.7289e-001 -1.3979e+000 -1.3204e+000 6.3633e-001 3.0354e-001 -2.2485e-002 1.5056e-001 1.7227e-001 1.1938e-001 -2.9484e-001 -2.3624e-001 8.7955e-001 6.5016e-001 -8.0370e-002 2.1506e-001 >> G-H ans =

-2.2376e-001 -4.7289e-001 -1.3979e+000 -1.3204e+000 6.3633e-001 3.0354e-001 -2.2485e-002 1.5056e-001

1.7227e-001 1.1938e-001 -2.9484e-001 -2.3624e-001 8.7955e-001 6.5016e-001 -8.0370e-002 2.1506e-001 >> （2） >> C=A'*B'; >> D=(A*B)'; >> G=B'*A'; >> H=(B*A)'; >> C-D ans =

-2.2376e-001 6.3633e-001 1.7227e-001 8.7955e-001 -4.7289e-001 3.0354e-001 1.1938e-001 6.5016e-001 -1.3979e+000 -2.2485e-002 -2.9484e-001 -8.0370e-002 -1.3204e+000 1.5056e-001 -2.3624e-001 2.1506e-001 >> C-G ans =

-2.2376e-001 6.3633e-001 1.7227e-001 8.7955e-001 -4.7289e-001 3.0354e-001 1.1938e-001 6.5016e-001 -1.3979e+000 -2.2485e-002 -2.9484e-001 -8.0370e-002

-1.3204e+000 1.5056e-001 -2.3624e-001 2.1506e-001 >> C-H ans =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> D-G ans =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> D-H ans =

2.2376e-001 -6.3633e-001 -1.7227e-001 -8.7955e-001

4.7289e-001 -3.0354e-001 -1.1938e-001 -6.5016e-001 1.3979e+000 2.2485e-002 2.9484e-001 8.0370e-002 1.3204e+000 -1.5056e-001 2.3624e-001 -2.1506e-001 >> G-H ans =

2.2376e-001 -6.3633e-001 -1.7227e-001 -8.7955e-001 4.7289e-001 -3.0354e-001 -1.1938e-001 -6.5016e-001 1.3979e+000 2.2485e-002 2.9484e-001 8.0370e-002 1.3204e+000 -1.5056e-001 2.3624e-001 -2.1506e-001 >> (3)

>> C=inv(A*B); >> D=inv(A)*inv(B); >> G=inv(B*A); >> H=inv(B)*inv(A); >> C-D ans =

-3.9602e+001 -1.4016e+001 1.4537e+001 2.2261e+001 1.5266e+001 1.5778e+001 -1.9398e+001 -3.9304e+001

1.0821e+001 1.4313e+000 -2.7296e+001 -4.8956e+001 1.3845e+001 -5.5182e-001 2.6289e+001 5.1120e+001 >> C-G ans =

-3.9602e+001 -1.4016e+001 1.4537e+001 2.2261e+001 1.5266e+001 1.5778e+001 -1.9398e+001 -3.9304e+001 1.0821e+001 1.4313e+000 -2.7296e+001 -4.8956e+001 1.3845e+001 -5.5182e-001 2.6289e+001 5.1120e+001 >> C-H ans =

-5.6843e-014 -1.2879e-014 3.0198e-014 7.1054e-014 -6.5370e-013 -1.4744e-013 3.3396e-013 8.2423e-013 -1.5774e-012 -3.5527e-013 7.8870e-013 1.9895e-012 1.8758e-012 4.2988e-013 -9.4502e-013 -2.4016e-012 >> D-G ans =

4.9738e-013 1.1013e-013 -8.3489e-014 -3.1264e-013 1.7053e-013 3.7303e-014 -2.4869e-014 -1.0747e-013

5.8265e-013 1.3145e-013 -9.4147e-014 -3.8369e-013 -1.0516e-012 -2.3448e-013 1.7053e-013 6.6791e-013 >> D-H ans =

3.9602e+001 1.4016e+001 -1.4537e+001 -2.2261e+001 -1.5266e+001 -1.5778e+001 1.9398e+001 3.9304e+001 -1.0821e+001 -1.4313e+000 2.7296e+001 4.8956e+001 -1.3845e+001 5.5182e-001 -2.6289e+001 -5.1120e+001 >> G-H ans =

3.9602e+001 1.4016e+001 -1.4537e+001 -2.2261e+001 -1.5266e+001 -1.5778e+001 1.9398e+001 3.9304e+001 -1.0821e+001 -1.4313e+000 2.7296e+001 4.8956e+001 -1.3845e+001 5.5182e-001 -2.6289e+001 -5.1120e+001 >> （4）

>> c=inv((A*B)'); >> d=inv(A'*B');

>> g=inv(A')*inv(B'); >> h=(inv(A)*inv(B))'; >> c-d ans =

-3.9602e+001 1.5266e+001 1.0821e+001 1.3845e+001 -1.4016e+001 1.5778e+001 1.4313e+000 -5.5182e-001 1.4537e+001 -1.9398e+001 -2.7296e+001 2.6289e+001 2.2261e+001 -3.9304e+001 -4.8956e+001 5.1120e+001 >> c-g ans =

-1.6875e-014 -5.4712e-013 -1.3216e-012 1.5774e-012 -2.8866e-015 -1.3145e-013 -3.1264e-013 3.7659e-013 8.8818e-015 2.6290e-013 6.3949e-013 -7.6028e-013 2.5757e-014 7.1765e-013 1.7195e-012 -2.0606e-012 >> c-h

ans =

-3.9602e+001 1.5266e+001 1.0821e+001 1.3845e+001 -1.4016e+001 1.5778e+001 1.4313e+000 -5.5182e-001 1.4537e+001 -1.9398e+001 -2.7296e+001 2.6289e+001 2.2261e+001 -3.9304e+001 -4.8956e+001 5.1120e+001 >> d-g ans =

3.9602e+001 -1.5266e+001 -1.0821e+001 -1.3845e+001 1.4016e+001 -1.5778e+001 -1.4313e+000 5.5182e-001 -1.4537e+001 1.9398e+001 2.7296e+001 -2.6289e+001 -2.2261e+001 3.9304e+001 4.8956e+001 -5.1120e+001 >> d-h ans =

-2.4158e-013 -1.1724e-013 -2.7711e-013 5.2580e-013 -5.6843e-014 -1.8652e-014 -5.3291e-014 1.0658e-013

4.2633e-014 1.7764e-014 4.7962e-014 -8.8818e-014 1.5987e-013 6.7502e-014 1.8474e-013 -3.3396e-013 >> g-h ans =

-3.9602e+001 1.5266e+001 1.0821e+001 1.3845e+001 -1.4016e+001 1.5778e+001 1.4313e+000 -5.5182e-001 1.4537e+001 -1.9398e+001 -2.7296e+001 2.6289e+001 2.2261e+001 -3.9304e+001 -4.8956e+001 5.1120e+001 >> 第二题： （1） >> n=200;

>> A=floor(10*rand(n)); >> b=sum(A')'; >> z=ones(n,1); >> c=linsolve(A,b);

>> d=c-z；精度为 1e-14-----1e-13;

tic,x=A\\b,toc = Elapsed time is 0.016000 seconds.

tic,inv(A)*b,toc = Elapsed time is 0.031000 seconds. （2） n=500;

>> tic,x=A\\b;toc

Elapsed time is 0.187000 seconds. >> tic,y=inv(A)*b;toc

Elapsed time is 0.343000 seconds.

>> max(abs(x-z))=4.3987e-013 >> max(abs(y-z)) = 2.2524e-012 >>

>> n=1000; >> tic,x=A\\b;toc

Elapsed time is 0.920000 seconds. >> tic,y=inv(A)*b;toc

Elapsed time is 1.404000 seconds.

>> max(abs(x-z)) =1.8221e-012 >> max(abs(y-z)) =2.0862e-011 >> （3）

>> A=floor(10*rand(6)); >>B=A’;

更快！ 更精确！ 更快！ 更精确！ >> A(:,6)=-sum(B(1:5,:))' A =

0 6 7 7 0 -20 5 8 4 7 0 -24 6 7 4 3 3 -23 8 5 1 8 7 3

>> x=ones(6,1); >> b=A*x b = 0 0 0 0 0 0

>> det(A)= 0 >> rref(A)

8 3 3 9 2 8 3 -27 4 -25 8 -28

ans =

1 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 >> 3.2

>> A=floor(10*rand(6))； >> B=A';

>> A(:,6)=-sum(B(1:5,:))'； >> B=x*[1:6] B =

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 -1 1 -1 0 0 5 6 5 6 5 6 5 6

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 >> A*B ans =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.3

>> A=floor(10*rand(6)); >> B=A';

>> A(:,6)=-sum(B(1:5,:))'; >> C=floor(10*rand(6)); >> B=x*[1:6]; >> D=B+C; >> A*C-A*D ans =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> 4题：

>> B=eye(10)-triu(ones(10),1); >> C=inv(B); >> B(10,1)=-1/256;

>> B=eye(10)-triu(ones(10),1); >> B(10,1)=-1/256; 行最简形： >> rref(B) ans =

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -256 -128 -64 -32 -16

0 0 0 0 0 1 0 0 0 -8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> d=B*C; >>C =

1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 行最简形： >> rref(d) ans =

1 0 2 4 1 2 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 16 4 8 2 4 1 2 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 32 64 32 8 16 4 8 2 4 1 2 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 256 64 128 32 64 16 32 8 16 4 8 2 4 1 2 1 1 0 1 0 0

128 16 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

>> det(B) ans = 0

>> rref([B c]) ans =

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -256 0 -128 0 -64 0 -32 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 -16 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 1>> 第五题： （1）

>> A=floor(20*rand(6)); >> B=floor(20*rand(6,1))-10; >> x=A\\B x =

0.32683 -2.7613 1.6764 0.76772 -0.33957 -1.5678 >> C=[A B]; >> a=rref(C)

0 0 0 0 0 0 a =

1 0 0 0 0 0 0.32683

0 1 0 0 0 0 -2.7613

0 0 1.6763

0 0 0.76772

0 0 -0.33957

0 1 -1.5678

>> a(:,7)-x ans =

1.3288e-007 9.5485e-006 -4.8037e-006 -2.7883e-006 5.0983e-007

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1.9237e-006 >> （2）

>> A=floor(20*rand(6)); >> B=floor(20*rand(6,1))-10; >> A(:,3)=A(:,1:2)*[4 3]'; >> rref([A B]) ans =

1 0 4 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (3)

>> y=floor(20*rand(6,1))-10; >> A=floor(20*rand(6)); >> A(:,3)=A(:,1:2)*[4 3]'; >> c=A*y c = 184

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 289 139 197 147 292 >> rref([A c]) ans =

1 0 4 0 0 1 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> (4)

>> A=floor(20*rand(6)); >> A(:,3)=A(:,1:2)*[4 3]'; >> y=floor(20*rand(6,1))-10; >> c=A*y; >> U=rref([A c])

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 6 8 -1 6 0 U =

1 0 4 0 0 0 23 0 1 3 0 0 0 17 0 0 0 1 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> w=[23,17,0,9,0,7]'; >> A*w-c ans = 0 0 0 0 0 0 （5）

>> A=floor(20*rand(6)); >> A(:,3)=A(:,1:2)*[4 3]'; >> U=rref(A) U =

1 0 0 1 0 0 0 7 0

1 0 4 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 >> Z=[-4,-3,1,0,0,0]'; >> A*Z ans = 0 0 0 0 0 0 >> （6）

>> A=floor(20*rand(6));A(:,3)=A(:,1:2)*[4 3]'; >> y=floor(20*rand(6,1))-10; >> c=A*y; >> U=rref([A c]);

>> U(:,7)=zeros(6,1) U =

1 0 4 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> U=rref([A c]) U =

1 0 4 0 0 1 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> z=[-4,-3,1,0,0,0]'; >> w=[-23,-22,0,4,9,6]'; >> v=w+3*z； >> A*v-c ans =

0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -23 -22 4 9 6 0 0 0 0 0 0 0 >> 第六题 ： （1）

A=[0,1,0,1,0,0,0,1;1,0,1,0,0,0,1,0;0,1,0,1,0,0,0,0;1,0,1,0,1,0,0,0;0,0,0,1,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0,1,0;0,1,0,0,0,1,0,1;1,0,0,0,0,0,1,0] A =

0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0

（2） >> A^2 ans =

3 0 0 3 2 0 0 2 1 0 0 1 2 0 0 2 >> A1=A^2+A A1 =

3 1 1 3 2 1 1 2 1 0 0 1 2 0 0 2 2 0 0 3 1 0 0 1 1 0 0 1 2 1 1 2 2 1 1 3 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 2 1 1 2 2 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 1 3 0 0 2 2 1 1 2 1 0 0 1 1 0 1 1

2 1 1 0 1 1 3 1 1 2 0 1 0 1 1 2 sum(sum(A1(1:8,1:8))) ans = 72 (3)

>> A2=A^4+A A2 =

18 1 13 1 1 18 1 15 13 1 10 1 1 15 1 15 9 0 7 1 0 9 0 8 15 1 10 0 1 13 0 10 >> sum(sum(A2(1:8,1:8))) ans = 368

9 0 0 9 7 0 1 8 7 1 1 7 8 1 0 7 1 1 13 0 0 10 8 0 1 7 1 1 10 15 10 15

>> A3=A^6+A; A3 =

119 1 86 1 64 0 103 1 1 119 1 103 0 64 1 86 86 1 63 1 47 0 73 0 1 103 1 93 64 0 47 1 0 64 0 56 103 1 73 0 1 86 0 73 >> sum(sum(A3(1:8,1:8))) ans = 2362

>> A4=A^8+A A4 =

799 1 577 1 1 799 1 697 577 1 418 1 1 697 1 614 436 0 316 1 1 56 38 1 1 38 56 1 0 47 436 0 0 436 316 0 1 381 243 1 0 73 56 0 1 47 93 1 1 63 697 1 1 577 501 0 0 501 381 0

0 436 0 381 1 243 1 316 697 1 501 0 381 1 614 1 1 577 0 501 0 316 1 418 >> sum(sum(A4(1:8,1:8))) ans = 15800 (4)

>> A5=A^3+A A5 =

0 8 0 7 8 0 6 0 0 6 0 6 7 0 6 0 0 3 0 5 3 0 2 0 0 7 0 4 6 0 3 0

>> sum(sum(A5(1:8,1:8))) ans = 154

0 3 3 0 0 2 5 0 0 4 4 0 0 5 2 0 0 6 7 0 0 3 4 0 0 2 5 0 0 6 6 0

>> A6=A^5+A A6 =

0 47 0 41 0 24 0 34 47 0 34 0 0 34 0 31 41 0 31 0 0 24 0 24 24 0 17 0 0 41 0 33 34 0 23 0 >> sum(sum(A6(1:8,1:8))) ans = 922

>> A7=A^7+A A7 =

0 309 0 270 309 0 223 0 0 223 0 197 270 0 197 0 24 0 0 17 24 0 0 16 16 0 0 24 17 0 0 167 0 0 120 0 41 0 0 23 33 0 0 17 24 0 0 31 31 0 0 223 270 0 0 159 232 0

167 150 0 167 0 150 0 95 0 120 167 0 120 0 95 0 150 0 0 270 0 232 0 150 0 197 223 0 159 0 120 0 197 0 > sum(sum(A7(1:8,1:8))) ans = 6098 >> A^2 ans =

3 0 2 0 0 3 0 2 2 0 2 0 0 2 0 3 1 0 1 0 0 1 0 1 2 0 1 0 0 2 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 1 3 0 0 2 >> A^4 ans =

18 0 13 0 9 0 15 0 0 13 0 9 0 15 0 >> A^6 ans =

119 0 86 0 64 18 0 0 10 15 0 0 7 9 0 0 10 13 0 0 86 0 0 63 0 0 47 15 0 0 7 15 0 0 7 8 0 0 8 10 0 0 64 0 0 47 93 0 0 38 9 0 0 10 8 0 0 8 7 0 0 15 7 0 0 103 64 0 0 73 0 0 56 0 0 7 0 0 86 0 73 0

13 10 10 119 103 103 56

0 64 0 56 0 38 0 47 103 0 73 0 56 0 93 0 0 86 0 73 0 47 0 63 >> A^8 ans =

799 0 577 0 436 0 697 0 >> A^3 ans =

0 0 577 799 0 0 418 697 0 0 316 436 0 0 501 577 0 7 0 0 436 697 0 0 316 614 0 0 243 381 0 0 381 501 0 6 0 0 697 436 0 0 501 381 0 0 381 243 0 0 614 316 0 3 0 0 577 0 501 0 316 0 418 5

7 0 5 0 3 0 6 0 0 5 0 5 0 2 0 3 6 0 5 0 4 0 4 0 0 3 0 4 0 3 0 2 3 0 2 0 3 0 4 0 0 5 >> A^5 ans =

0 46 0 40 0 24 0 33 >> A^7

6 0 0 3 46 0 0 33 33 0 0 30 24 0 0 17 40 0 0 23 4 0 0 2 40 0 0 24 30 0 0 23 23 0 0 15 33 0 0 17 4 0 0 5 24 0 0 40 17 0 0 33 15 0 0 23 23 0 0 30 5 0 33 0 23 0 17 0 30 0 ans =

0 308 0 269 0 167 0 222 308 0 222 0 167 0 269 0 0 222 269 0 0 167 167 0 0 269 222 0 >> (5) >> B=A; >> B(3,6)=1; >> B(6,3)=1; >> B(5,8)=1; >> B(8,5)=1; >> B^2 ans =

0 196 196 0 0 149 120 0 0 232 159 0 0 120 149 0 0 94 94 0 0 149 120 0 0 159 232 0 0 120 0 0 196 196 0 149 3 0 2 0 2 0 2 0 0 3 0 2 0 2 0 2 2 0 3 0 2 0 2 0 0 2 0 3 0 2 0 2 2 0 2 0 3 0 2 0 0 2 0 >> B^3 ans =

0 7 0 7 0 6 0 7 >> B^4

2 0 0 2 2 0 7 0 0 7 7 0 0 7 6 0 0 7 7 0 0 6 2 0 0 2 2 0 7 0 0 6 7 0 0 7 7 0 0 7 6 0 0 7 3 0 0 3 2 0 6 0 0 7 7 0 0 6 7 0 0 7 7 0 0 7 2 0 3 7 0 6 0 7 0 7 0 ans =

21 0 20 0 20 0 20 0 0 21 0 20 0 20 0 20 20 0 21 0 20 0 20 0 0 20 0 20 0 >> B^5 ans =

0 61 0 61 0 60 0 61 20 0 0 20 20 0 0 20 20 0 61 0 0 61 61 0 0 61 60 0 0 61 61 0 0 60 21 0 0 21 20 0 0 20 20 0 61 0 0 60 61 0 0 61 61 0 0 61 60 0 0 61 20 0 0 20 21 0 0 21 20 0 60 0 0 61 61 0 0 60 61 0 0 61 61 0 0 61 20 0 20 0 21 61 0 60 0 61 0 61 0

>> B^6 ans =

183 0 182 0 182 0 182 0 0 182 0 182 0 182 0 >> B^7 ans =

0 547 0 547 0 183 0 0 183 182 0 0 182 182 0 0 182 182 0 547 0 0 547 547 0 0 547 546 0 182 0 0 182 183 0 0 183 182 0 0 182 182 0 547 0 0 546 547 0 0 547 547 0 182 0 0 182 182 0 0 182 183 0 0 183 182 0 546 0 0 547 547 0 0 546 547 0 182 0 182 0 182 0 183 547 0 546 0 547

546 0 547 0 547 0 547 0 0 547 0 546 0 547 0 547 547 0 546 0 547 0 547 0 >> B^8 ans =

1641 0 1640 0 1640 1640 0 1640 0 1640 1640 0 1640 0 1641 1640 0 1641 0 0

1641 0 1640

0 0

1640 0 1640

0 0

1640 0 1640

0 0

0 0 1640 0 0 1641 0 0 1640 0 0 0 0 1640 1640 1641 1640 1640 1641 1640 1640 0 1640 0 1640 0 1640 0 1641 >> (6)

>> B(6,8)=1; >> B(8,6)=1; >> C=B; >> C C =

0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 >> C^2 ans =

0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0

3 0 2 0 2 1 2 0 0 3 0 2 0 2 0 2 2 0 3 0 2 0 2 1 0 2 0 3 0 2 0 2 2 1 2 0 >> C^3 ans =

0 7 1 7 1 6 1 8

0 2 2 0 0 2 2 1 7 1 0 7 7 0 0 7 6 1 2 8 7 1 2 6 0 3 2 1 0 2 2 1 7 1 0 6 7 1 0 7 7 2 2 8 6 2 2 8 1 2 4 1 1 3 2 1 6 1 2 7 8 1 2 6 8 2 4 8 8 2 7 8 1 2 1 4 8 2 6 2 8 7 8 4 >> C^4 ans =

22 2 20 2 21 11 21 8 2 21 2 20 4 22 4 22 20 2 21 11 21 8 >> C^5 ans =

12 63 15 63 21 70 21 2 22 20 2 4 21 22 8 4 21 22 11 63 15 8 63 63 12 8 63 64 21 32 75 65 21 2 21 21 4 4 23 22 13 4 22 22 13 63 21 8 64 63 21 8 65 65 30 32 79 64 30 8 21 22 4 13 22 31 13 13 23 26 13 70 21 32 65 75 21 32 64 79 30 60 79 79 30 11 22 13 26 13 31 75 32 70 32 79 68 79

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