质点力学第5讲——功与动能定理、保守力与势能、功能原理与机械

质点力学第5讲 ——功与动能定理、保守力与势 能、功能原理与机械能守恒定律主要内容一、功 二、 动能定理 三、保守力 势能

四、功能原理 机械能守恒定律

一、功物理意义：表示力的空间积累 恒力的功 A F r | F || r | cos 注意F

a

r b

功是标量，没有方向，只有大小，但有正负 功是过程量、相对量 功是力对空间的积累效应

变力作的功×

B

dr L m×

元功：dA F dr力在一段路径上的功：

F

AAB L合力作的功

A

B A

dA L

B A

F dr

N B N B AAB A F dr A Fi dr Aii 1i 1

功的计算 积分方法

直角坐标系： F Fx i Fy j Fz k , dr dx i dy j dz k ,Aab Fx dx Fy dy Fz dz ;xa ya za xb yb zb

Aab F drb a

自然坐标系：

Sb F F Fnn , dr ds , Aab F ds . Sa

计算功的步骤1、分析质点受力情况，确定力随位置的变化关系

2、写出元功的表达式，选定积分变量3、确定积分限进行积分，求出总功

例.一个质点沿如图所示的路径运行，求力 F (4 2 y)i

(SI)对该质点所作的功，B 2 O C

(1)沿ODC;(2)沿OBC。

D 2

功 率单位时间内完成的功 平均功率： 瞬时功率： dA F dr P F dv dt dt

A P t

单位：瓦特(W) 1W=1J s-1,1kW=103W

二、动能定理动能：物体由于运动而具有的能量1 2 Ek mv 2单位：焦耳

问题：一质量为m的物体在合外力F的作用下，由 A点运动到B点，其速度的大小由v1 变成v2 。求合 外力对物体所作的功与物体动能之间的关系。A b a

1 1 2 2 F dr mv b mv a Ekb Eka 2 2

二、动能定理合外力对质点所作的功等于质点动能的增量。合外力作正功 A>0,Ekb > Eka,动能增加；

合外力不作功 A=0,Ekb = Eka,动能不变；合外力作负功 A<0,Ekb < Eka,动能减小。

动能定理只适用于惯性系 功是过程量，动能Ek是状态量

例2:质量为m的珠子系在线的一端，线的另一 端绑在墙上的钉子上，线长为L。先拉动珠子使 线保持水平静止，然后松手使珠子下落。用动 能定理求摆下 角时这个珠子的速率和线的张力。O

l T v v d T ds

mg

二、动能定理质点系动能定理

Ai 1 ni 1

n

i外

Ai内i 1 ni 1

n

Eki Eki0

v10 v1 m1 1 f12 ' r1 1 f21 2 ' r2m2 v20 v2

F1

2

A外 A内 Ek 2 Ek1

F2

注意 内力虽成对出现，但内力功的和不一定为零。

一对作用力和反

作用力大小相等方向相反，但 这对力作功的总和不一定为0。例如：子弹穿过木块 过程子弹对木块的作 用力为f,木块对子弹 的反作用力为f ´,木 块的位移为s,子弹的 位移为(s+l)。 f 对木块作功： fs 0 f ´ 对子弹作功: f ' ( s l) 0 合功为： fs f ' ( s l ) f ' l

f's

fl

B2× d A对 f1 d r1 f 2 d r2 z B1× f2 dr2 m2 dr1 f1 r21 f 2 (d r2 d r1 ) m 1 r1 r2 f 2 d( r2 r1 ) × × A2 A1 f 2 d r21 y x o一对力作功等于其中一个物体所受力沿两个物体 相对移动的路径所作的功。

三、保守力 势能

常见力的功a) 万有引力的功

Mm F G 3 r r b b GMm Aab F dr 3 r dr a a r rb GMm Aab 2 dr ra r GMm GMm ra rb

o

与始末位置有关， 与路径无关

常见力的功b) 重力的功

F mg jAab b

a b

F dr

Fx dx Fy dy Fz dza

m gdyya

yb

m gya m gyb

与始末位置有关，与路径无关

常见力的功c) 弹性力的功

F kxixb xa

Aab Fx dx kxdxxa xb

1 2 1 2 kxa kxb 2 2

与始末位置有关，与路径无关

常见力的功d) 摩擦力的功

dA f dr ( f ) (ds )

ao dr f

b

f ds ,Aab f ds .sa sb

与具体路径有关

若

f const.

则 Aab f

sb

sa

ds f (sb sa )

保守力保守力：一对力所做的功只与质点的始末相对位置

有关，而与相对路径的形状无关。重力、弹性力、万有引力、静电力

F dr 0

判据

非保守力：功不仅与质点的始末位置有关，而且

与质点运动的具体路经也有关的力。摩擦力、非静电力

势 能势能：与质点在保守力场中的位置相关的能量，Ep。 保守力的功:

Aab

b

a

F保守力 dr EPa EPb EP

保守力的功等于势能增量的负值。 保守力场中任意 a 点的势能：dr F b

EPa

势能零点

a

F保守力 dr

a

势 能a) 重力势能势能零点：地面或某一水平面， E p mgy;

b) 弹性势能 1 2 势能零点：弹簧无形变， E p kx ; 2 c) 万有引力势能 Mm 势能零点：无穷远处， E p G . r

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