数值分析实验指导书(2015)

数值分析 课程实验指导书

实验一 函数插值方法

一、问题提出

对于给定的一元函数y?f(x)的n+1个节点值yj?f(xj),j?0,1,?n,。试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。 数据如下： （1） 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05 xj 0.4 yj 0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382

的值。（提示：结果为f(0.596)?0.625732, f(0.99)?1.05423 ）

（2） 2 3 4 5 6 7 xj 1 求五次Lagrange多项式L5(x)，和分段三次插值多项式，计算f(0.596),f(0.99)

yj 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 f(1.8)?0.164762, f(6.15)?0.001266 ）

二、要求

1、 利用Lagrange插值公式

试构造Lagrange多项式L6(x)，计算的f(1.8),f(6.15)值。（提示：结果为

?nx?xi?Ln(x)?????yk编写出插值多项式程序；

k?0?i?0,i?kxk?xi?n 2、 给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；

3、 根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何； 4、 对此插值问题用Newton插值多项式其结果如何。Newton插值多项式如下：

N(x)?f(x)??f[x,?,x]??n0k?10knk?1j?0,j?k(x?xj)

其中：

f[x0,?,xk]??i?0k(xi?xj)?j?0,j?ikf(xi)

三、目的和意义

1、 学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题； 2、 明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点； 3、 熟悉插值方法的程序编制；

4、 如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。

四、实验学时：2学时

五、实验步骤：

1．进入C或matlab开发环境； 2．根据实验内容和要求编写程序； 3．调试程序； 4．运行程序；

5．撰写报告,讨论分析实验结果.

实验二 函数逼近与曲线拟合

一、问题提出

从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。

在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t的拟合曲线。

t(分)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 y(?10?4) 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64 二、要求

1、用最小二乘法进行曲线拟合；

2、近似解析表达式为?(t)?a1t?a2t2?a3t3；

3、打印出拟合函数?(t)，并打印出?(tj)与y(tj)的误差，j?1,2,?,12； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、* 绘制出曲线拟合图。

三、目的和意义

1、掌握曲线拟合的最小二乘法；

2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。

四、实验学时：2学时

五、实验步骤：

1．进入C或matlab开发环境； 2．根据实验内容和要求编写程序； 3．调试程序； 4．运行程序；

5．撰写报告,讨论分析实验结果．

实验三 数值积分与数值微分

一、基本题

选用复合梯形公式，复合Simpson公式，Romberg算法，计算

1 （1）I=?sinxdx(f(0)?1,I?0.9460831) x01ex （2） I=?dx 24?x01 （3） I=?ln(1?x)dx 21?x0 二、应用题

1.文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万里）在五个不同的时间对小行星作了五次观察，测得轨道上五个点的坐标数据如下表所示：

x坐标 y坐标 P1 5.764 0.648 P2 6.286 1.202 P3 6.759 1.823 P4 7.168 2.526 P5 7.408 7.408 由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，椭圆的一般方程可表示为：

现需要建立椭圆的方程以供研究。

（1）分别将五个点的数据代入椭圆一般方程中，写出五个待定系数满足的等式，整理后写出

线性方程组AX = b。

（2）用MATLAB求低价方程组的指令A \\ b求出待定系数 （3）卫星轨道是一个椭圆，其周长的计算公式是:

。

?c? s?4a1???sin2?d?

?a?式中，a是椭圆的半长轴，

是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，

2。其中h为近地点距离，H为远地点距离，R = 6371(km)为地球半径。

有一颗人造卫星近地点距离h = 439 (km)，远地点距离H = 2384(km)。试分别按下列方案计算卫星轨道的周长，误差限取为

。

三、要求

1、 编制数值积分算法的程序；

2、 对基本题，分别取不同步长h?(b?a)/n，试比较计算结果（如n = 10, 20等）， 并比较其结果；

4、 对应用题，用给定精度ε，试用(1)用逐次分半梯形法。(2)用逐次分半辛普生法，并确定最佳步长。

四、目的和意义

1、 深刻认识数值积分法的意义； 2、 明确数值积分精度与步长的关系；

3、 根据定积分的计算方法，结合专业考虑给出一个二重积分的计算问题。

五、实验学时：2学时

六、实验步骤：

1．进入C或matlab开发环境； 2．根据实验内容和要求编写程序； 3．调试程序； 4．运行程序；

5．撰写报告,讨论分析实验结果．

实验四 线方程组的直接解法

一、问题提出

给出下列几个不同类型的线性方程组，请用适当算法计算其解。 1、 设线性方程组

?42?3?86?5??42?2??0?21??426??1?3?15?1263?161523700?1?1?30??x1??5??x??12?100???2???031??x3??3??????194??x4??2?323??x5??3???????

00?86?857172??02?13?425?1610?11?917342??462?71392??00?18?3?24?8

x??(1,?1,0,1,2,0,3,1,?1,2)T

???????????????????????????????

2、 设对称正定阵系数阵线方程组

??42?40240?22?1?2132???4?1141?8?35?0?216?1?4?3??21?8?1224?10?43?3?44111??025?3?10114??0063?3?42x??(1,?1,0,2,1,?1,0,2)T

?????????????????????????6?35??x6?301??122????x7??x?8?0124?63?1????x9?x????10??0??x1?0???0?x???66??????2?3????x3??20??x???4?233??x????

5?4???????9????x?6???22?2x7???1519??????x????8????45???46???13??38????19???21????

?

用r=3的Adams显式和预 - 校式求解

?y??x2?y2??y??1??0 ?1?x?0

取步长h=0.1，用四阶标准R-K方法求值。 （3）

0?x?1

用改进Euler法或四阶标准R-K方法求解 取步长0.01,计算y(0.0y5),??y2?y1????y1?y2?y???y3?3??0???1y1y2?0??0y3?0??1y(0.数1值解，参考结果

y1(0.15)??0.9880787,y2(0.15)?0.1493359,y3(0.15)?0.8613125。

（4）利用四阶标准R- K方法求二阶方程初值问题的数值解 （I）

(II)

?y???3y??2y?0??y?0??0,y??0??1 0?x?1,h?0.02

?y???0.11?y2y??y?0?y?0??1,y??0??0 ? 0?x?1,h?0.1

??(III)

y??y??x?e?1?y?0??1,y??0??0 ? 0?x?2,h?0.1 (IV) ?

?y???siny?0?? ?y?0??1,y?0??0 0?x?4,h?0.2 二、应用题

1. 小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0.4（千克/米）．重力加速度取9.8米/秒2.

建立火箭升空过程的数学模型（微分方程）；

求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时间和高度．

2. 小型火箭初始质量为1200千克，其中包括900千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生40000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数记作k，火

箭升空过程的数学模型为

d2xdx?dx?m2??k???T?mg,0?t?t1,x(0)??0 dtdtdt??t?0其中x(t)为火箭在时刻t的高度，m=1200-15t为火箭在时刻t的质量，T（=30000牛顿）为推

力，g (=9.8米/秒2)为重力加速度, t1 (=900/15=60秒)为引擎关闭时刻． 今测得一组数据如下（t~时间（秒），x ~高度（米），v~速度（米/秒））： 2t x 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1070 1270 1480 1700 1910 2140 2360 2600 2830 3070 3310 v 190 200 210 216 225 228 231 234 239 240 246 现有两种估计比例系数k的方法： 1．用每一个数据(t,x,v)计算一个k的估计值（共11个），再用它们来估计k。 2．用这组数据拟合一个k ．

请你分别用这两种方法给出k的估计值，对方法进行评价，并且回答，能否认为空气阻力系数k=0.5（说明理由）．

三、要求

1、 根据初值问题数值算法，分别选择二个初值问题编程计算； 2、 试分别取不同步长，考察某节点处xj数值解的误差变化情况； 3、 试用不同算法求解某初值问题，结果有何异常； 4、 分析各个算法的优缺点。

四、目的和意义

1、 熟悉各种初值问题的算法，编出算法程序； 2、 明确各种算法的精度与所选步长有密切关系； 3、 通过计算更加了解各种算法的优越性。

五、实验学时：2学时 六、实验步骤：

1．进入C或matlab开发环境； 2．根据实验内容和要求编写程序； 3．调试程序； 4．运行程序；

5．撰写报告,讨论分析实验结果.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3fph.html