人教备战中考数学知识点过关培优 易错 难题训练∶二次函数

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA ＝1，tan ∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．

【解析】

【分析】

（1）根据正切函数，可得OB ，根据旋转的性质，可得△DOC ≌△AOB ，根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，得到△EFC ∽△EMP ，根据相似三角形的性质，可得PM 与ME 的关系，解方程，可得t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

【详解】

（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OB OA

==3，∴OB ＝3OA ＝3． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝3，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为 09303a b c a b c c ++=??-+=??=?

，解得：123a b c =-??=-??=?，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3；

（2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴对称轴为l 2b a =-

=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：

①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P

（﹣1，4）；

②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，∵∠CFE=∠PME=90°，

∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴13

EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝3ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +3）． ∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +3，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +3＝3（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝3（与t ＜0矛盾，舍去）．

当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P （﹣2，3）．

综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．

【点睛】

本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．

2．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．

（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；

（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？

【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．

【解析】

【分析】

（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解；

（2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；

（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润．

【详解】

解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：

2001530010k b k b =+??=+?

， 解得：20500k b =-??=?

， 即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；

（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，

则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），

∵﹣20＜0，故w 有最大值，

当x ＝﹣2b a ＝312

＝15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190，

50×190＜12000，

故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；

设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，

由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，

w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），

当x ＝13时，w ＝1680，

此时，既能销售完又能获得最大利润．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.

3．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标．

【答案】（1）y=-21x 2+32

x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，

12. 【解析】

【分析】

（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；

（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），

①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1；

当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2；

【详解】

解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，

将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，

∴0a b c 016a 4b c 2c =-+??=++??=?

， ∴1a 23b 2?=-????=??

， ∴y=-21x 2+32x+2；

（2）∵点C 与点D 关于x 轴对称，

∴D （0，-2）．

设直线BD 的解析式为y=kx-2．

∵将（4，0）代入得：4k-2=0，

∴k=

12

． ∴直线BD 的解析式为y=

12x-2． 当P 点与A 点重合时，△BQM 是直角三角形，此时Q （-1，0）；

当BQ ⊥BD 时，△BQM 是直角三角形，

则直线BQ 的直线解析式为y=-2x+8，

∴-2x+8=-

21x 2+32

x+2，可求x=3或x=4（舍） ∴x=3；

∴Q （3，2）或Q （-1，0）；

（3）两个和谐点；

AO=1，OC=2，

设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），

①当A 1、C 1在抛物线上时， ∴()2213y x x 22213y 1(x 2)x 2222?=-++????-=-++++??

， ∴x 1y 3=??=?

， ∴A 1的横坐标是1；

当O 1、C 1在抛物线上时，

()22

13y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222?-=-++????-=-++++??

， ∴1x 221y 8

?=????=??， ∴A 1的横坐标是

12；

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．

4．如图，已知二次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x ＝3．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；

（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．

【答案】（1）21342

y x x =

-；（2）当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．

【解析】

【分析】

（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；

（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为12y x =直线AB 的解析式为y=2x-12，直线MN 的解析式为y=2x-2t ，再通过解方程组1222y x y x t

?=???=-?得N （42t,t 33），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112S 4t t t 223?=

??-??然后根据二次函数的性质解决问题；

（3）设Q 213m,m m 42?

?- ???，根据相似三角形的判定方法，当PQ PO OC AC

=时，△PQO ∽△COA ，则213m m 2|m |42-=；当PQ PO AC OC

=时，△PQO ∽△CAO ，则2131m m m 422

-=，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标． 【详解】

解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3，

∴B 点坐标为（6，0），

设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣6），

把A （8，4）代入得a?8?2＝4，解得a ＝

14， ∴抛物线解析式为y ＝

14x （x ﹣6），即y ＝14x 2﹣32x ； （2）设M （t ，0），

易得直线OA 的解析式为y ＝

12

x ， 设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ， 把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=??+=?，解得k 2b 12=??=-?

， ∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣12， ∵MN ∥AB ，

∴设直线MN 的解析式为y ＝2x+n ，

把M （t ，0）代入得2t+n ＝0，解得n ＝﹣2t ， ∴直线MN 的解析式为y ＝2x ﹣2t ， 解方程组1222y x y x t ?=???=-?得4323x t y t ?=????=??，则42N t,t 33?? ???， ∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM

1124t t t 223

=??-?? 21t 2t 3

=-+ 21(t 3)33

=--+， 当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）； （3）设213m,m m 42?

?- ???

， ∵∠OPQ ＝∠ACO ，

∴当PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即PQ PO 84

=， ∴PQ ＝2PO ，即

213m m 2|m |42-=， 解方程

213m m 2m 42-=得m 1＝0（舍去），m 2＝14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程

213m m 2m 42-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，即PQ PO 48

=， ∴PQ ＝

12PO ，即2131m m m 422-=， 解方程2131m m m 422=-=得m 1＝0（舍去），m 2＝8，此时P 点坐标为（8，0）；

解方程2131m m m 422

=

-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．

【点睛】 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

5．二次函数y=x 2-2mx+3（m ＞）的图象与x 轴交于点A （a ，0）和点B （a+n ，0）（n ＞0且n 为整数），与y 轴交于C 点．

（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC 的面积；

（2）求证：a=m-；

（3）线段AB （包括A 、B ）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a 的值．

【答案】（1）y=x 2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=

?． 【解析】

试题分析：（1）①首先根据a=1求得A 的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m 的值即可确定二次函数的解析式；

②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；

（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m ，然后根据A 、B 两点关于x=m 对称得到a+n-m=m-a ，从而确定a 、m 、n 之间的关系；

（3）根据a=m-得到A （m-，0）代入y=（x-m ）2-m 2+3得0=（m--m ）2-m 2+3，求得m 的值即可确定a 的值．

试题解析：（1）①∵a=1，

∴A （1，0）， 代入y=x 2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，

∴y=x 2-4x+3；

②在y=x 2-4x+3中，当y=0时，有x 2-4x+3=0可得x=1或x=3，

∴A （1，0）、B （3，0），

∴AB=2再根据解析式求出C 点坐标为（0，3），

∴OC=3，

△ABC 的面积=×2×3=3；

（2）∵y=x 2-2mx+3=（x-m ）2-m 2+3，

∴对称轴为直线x=m ，

∵二次函数y=x 2-2mx+3的图象与x 轴交于点A 和点B

∴点A 和点B 关于直线x=m 对称，

∴a+n-m=m-a，

∴a=m-；

（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）

①当a为整数，因为n＞0且n为整数所以a+n是整数，

∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，

∴n=2，

∴a=m-1，

∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，

∴m2-4=0，

∴m=2，m=-2（舍去），

∴a=2-1=1，

②当a不是整数，因为n＞0且n为整数所以a+n不是整数，

∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，

∴n=3，

∴a=m-

∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，

∴m2=，

∴m=，m=-（舍去），

∴a=?，

综上所述：a=1或a=?．

考点：二次函数综合题．

6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．

①求线段PM的最大值；

②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．

【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=

94

；②P （2，﹣3）或（22﹣2）．

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法，可得答案； （2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．

【详解】

（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，

得09303a b c a b c c -+=??++=??=-?

，解得123a b c =??=-??=-?，

这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；

（2）设BC 的解析式为y=kx+b ，

将B ，C 的坐标代入函数解析式，得

303k b b +=??=-?，解得13k b =??=-?

， BC 的解析式为y=x ﹣3，

设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3），

PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣

32）2+94， 当n=32时，PM 最大=94

； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2，

解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2，

n 2﹣2n ﹣3=-3，

P （2，-3）；

当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，

解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=3+2（不符合题意，舍），n 3

=3-2，

n 2﹣2n ﹣3=2-42，

P （3-2，2-42）； 综上所述：P （2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.

7．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．

①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；

②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．

【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣

32

，154） 【解析】

试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；

（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；

②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．

试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a

++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；

②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形

=12OB?OC+12AD?PD+12

(PD+OC)?OD=11131+(3)(3)()222x y y x ???+++-=333222

x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228

x -++， ∴当x=32-

时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32

-，154）．

考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．

8．如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215

y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．

（1）点D 的坐标是 ______；

（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的

纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ?与DAB ?相似．

①当275

n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ?与DAB ?相似，请直接写出n 的取值范围 ______．

【答案】（1）()2,9；（2）①DP =②

92155n <<. 【解析】

【分析】

（1）直接用顶点坐标公式求即可；

（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132

，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=

275时，N （2，275），可求

，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，；当PQ 与AB 不

平行时，②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，DN=

245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，

95＜n ＜215

. 【详解】

（1）顶点为()2,9D ；

故答案为()2,9；

（2）对称轴2x =， 9(2,)5

C ∴， 由已知可求5

(,0)2

A -， 点A 关于2x =对称点为13(

,0)2

， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+， (5,3)B ∴，

①当275n =时，27(2,)5

N ，

2

DA ∴=，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQ DAB ??，

DAC DPN ??，

DP DN DA DC

∴=，

DP ∴=

当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ??，

DNQ DCA ∴??，

DP DN DB DC

∴=，

DP ∴=

综上所述DP =

②当PQ AB ∥，DB DP =时，

DB =

DP DN DA DC

∴=， 245DN ∴=

， 21(2,)5

N ∴， ∴有且只有一个DPQ ?与DAB ?相似时，

92155n <<； 故答案为

92155

n <<； 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．

9．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =.如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ?的面积为S (cm 2)，S 与t 的函数关系如图②所示：

(1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;

(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ??与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;

②试探究12S S ?是否存在最大值.若存在，求出12S S ?的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ?取最大值2254

. 【解析】

【分析】

（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，

注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125

MH CM == 得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ???+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ?关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值

【详解】

(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm

(2)①解：在C 点相遇得到方程

57.5v = 在B 点相遇得到方程15 2.5v

= ∴5=7.515=2.5v v

??????? 解得 23=5

v v ?=???? ∵在边BC 上相遇，且不包含C 点

∴2/6/3

cm s v cm s ≤＜ ②如下图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ???+=---（N ）矩形

()()5152525751022x x ?-?-=--

- =15

过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM == ∴112152S MH AP x =?=-+ ∴22S x =

()122152S S x x ?=-+?

=2430x x -+ =2

15225444x ??--+ ??? 因为152.57.54＜＜，所以当154x =时，12S S ?取最大值2254

. 【点睛】

本题重点考查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x 表示出S 1和S 2

10．如图1，抛物线经过平行四边形

的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点

的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点

.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当何值时，

的面积最大?并求最大值的立方根； （3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理

由.

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，

最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或

【解析】

试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；

（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．

试题解析：（1）由题意可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）∵A（0，3），D（2，3），

∴BC=AD=2，

∵B（﹣1，0），

∴C（1，0），

∴线段AC的中点为（，），

∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，

∴直线l过平行四边形的对称中心，

∵A、D关于对称轴对称，

∴抛物线对称轴为x=1，

∴E（3，0），

设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，

∴直线l的解析式为y=﹣x+，

联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，

∴F（﹣，），

如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，

∵P点横坐标为t，

∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），

∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，

∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM?FN+PM?EH=PM?（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，

∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，

∴最大值的立方根为=；

（3）由图可知∠PEA≠90°，

∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，

①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA=45°，

∴∠PAG=∠APG=45°，

∴PG=AG，

∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），

②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，

则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，

∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，

∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，

∴△PKE∽△AQP，

∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），

综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．

考点：二次函数综合题

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