论文函数的极值问题在实际中的应用

函数的极值问题在实际中的应用

一、函数求极值方法的介绍

利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。

1、一元函数极值的判定及求法

定理1（必要条件）设函数f(x)在x0点处可导，且在x0处取得极值，那么f?(x)?0。 使导数为零的点，即为函数f(x)的驻点，可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。

定理2（极值的第一充分条件）设f在x0连续，在某领域U(x0;?)内可导。 （1）若当x?(x0??,x0)时f?(x)?0，当x?(x0,x0??)时f?(x)?0，则f在点x0取得最小值。

（2）若当x?(x0??,x0)时f?(x)?0，当x?(x0,x0??)时f?(x)?0，则f在点x0取得最大值。

定理3（极值的第二充分条件）设f在x0连续，在某领域U(x0;?)内可导，在x?x0处二阶可导，在x?x0处二阶可导，且f?(x)?0，f??(x0)?0。

（1） 若f??(x0)?0，则f在x0取得极大值。 （2）若f??(x0)?0，则f在x0取得极小值。

由连续函数在[a,b]上的性质，若函数f在[a,b]上一定有最大、最小值。这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。

下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：

（1） 求函数f(x)的导数f?(x)；

（2） 令f?(x)?0，求出f(x)在(a,b)内的驻点和导数f?(x)不存在的点

x?x0,x1,x2,...,xn；

（3） 计算函数值f(x2),...,f(xn),f(a),f(b)；

（4） 比较上述函数值的大小，最大者就是f(x)在区间[a,b]上的最大值，最小者就是f(x)在闭区间[a,b]上的最小值。

2、多元函数极值的判定

在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值最小值问题。与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值极小值有密切联系，因此我们以二元函数为例，先来讨论多元函数的极值问题。

定义 设函数z?f(x,y)的定义域为D。P0(x0,y0)为D的内点。若存在P0的某个邻域U0(P0)?D，使得对于该邻域异于P0的任何内点(x,y)，都有

f(x,y)?f(x0,y0)

则称函数f(x,y)在点(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数f(x,y)的极大值点；若对于该领域内异于P0的任何点(x,y)，都有

f(x,y)?f(x0,y0)

则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极小值f(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数f(x,y)的极小值点，极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为极值点。

关于二元函数的极值概念，可推广到n元函数，设n元函数u?f(P)的定义域为D。

P0为D的内点，若存在P0的某个领域U(P0)?D，使得该邻域内异于P0的任何点P，都

有

f(P)?f(P0)（或f(P)?f(P0)）

则称函数f(P)在点P0有极大值（或极小值）f(P0)。

二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决，下面两个定理就是关于这问题的结论。

定理1（必要条件）设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则有

fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0

怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。

定理2（充分条件）设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0，令

fxx(x0,y0)?A,fxy(x0,y0)?B,fyy(x0,y0)?C

则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：

（1）AC?B?0时具有极值，且当A?0时有极大值，当A?0时有极小值；

（2）AC?B?0时没有极值。

对于多元函数中有条件约束的这类问题，可采用拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法 要找函数z?f(x,y)在附加条件?(x,y)?0下的可能极值点，可以先做拉格朗日函数

L(x,y)?f(x,y)???(x,y)

22其中?为参数，求其对x与y的一阶偏导数并使之为零，然后与方程（2）联立起来：

?fx(x,y)???x(x,y)?0??fy(x,y)???y(x,y)?0 ??(x,y)?0?由这方程组解出x,y及?，这样得到的(x,y)就是函数f(x,y)在附加条件?(x,y)?0下的可能极值点。

这方法还可以推广到自变量多于两个条件多于一个的情形。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来确定。

有了上面的基础，下面将重点介绍函数的极值问题在实际中的应用。

二、函数极值问题的应用

在实际问题中为了发挥最大的经济效益，往往要求在一定条件下，提高生产效率，降低成本，节省原材料，解决这一类问题，就需要用到函数的最大值最小值知识，这一节讲重点看一些这方面的例子。

1、 合理密植

设每亩中50株葡萄藤，每株葡萄藤将产出75kg葡萄，若每亩再多种一株葡萄藤（最多20株），每株产量平均下降1kg。试问每亩种多少株葡萄藤才能使产量达到最高？

解：设每株多种x株，则产量为

f(x)?(50?x)(75?x),0?x?20

问题归结为求目标函数f(x)在[0,20]上的最大值

f?(x)?25?2x

令f?(x)?0，解得x?12.5

f??(x)??2?0

由二阶微商检验法，当x?12.5时，f(x)有极大值，而x?12.5是[0,20]内唯一极大值点，根据实际，取整体株x?13时，f(x)取得最大值，即每亩种50?13?63株时，产量可达最高f(13)?3906(kg)。

2、环境污染

某经济开发区的项目建设，对释放到空气中的污染要进行控制，设对污染的测定要求与污染源的距离至少要1km，在污染源相对集中的情况下，空气受污染的成都与释放的污染量成正比，与到污染源的距离成反比（设比例系数为1），先有两个相距10km的工厂区A与B，分别释放的污染为60?g/mL与240?g/mL，若想在A，B间建造一个居民小区，试问居民小区建在何处所受污染最小？

解：设x为居民小区受到污染最小时到工厂区A的距离，居民小区受工厂区A的污染为

60x，居民小区受工厂区B的污染为

24010?x，居民小区受到的总污染为P，这就是要寻找

的目标函数

P(x)?60x?60x224010?x?,x?[1,9]

P?(x)??240(10?x)2，

令P?(x)?0

60x2即??240(10?x)2?0

解得x1?较，得

103,x2??10(?[1,9],舍去)[1,9]再与区间[1,9]的端点x?1,x?9的值作比

p(103)?60103?24010?103?54(?g/mL)（最小）

p(1)?p(9)?6019??2009240?87(?g/mL) ?247(?g/mL)

6010?9居民小区建在离工厂区A103km处所受污染最小。

3、用料最省

市场上装饮料的易拉罐是用铝合金制造的，罐身（侧面和底部）用整块材料拉制而成顶盖的厚度是罐身厚度的3倍。以容积为V的易拉罐为例，问如何设计一拉罐的底面直径和高才能使用料最省？

解：记易拉罐的容积V?350ml（常数）设罐身的厚度为?，顶盖为3?，底面直径为

d，高h?Vd2?)4V?(?d2，于是，罐身用料（体积）为

f1(d)??[?(d2)??dh]??(2?d42?4Vd)

顶盖用料（体积）为

f2(d)?3??(d2)?234??d

2易拉罐的用料

f(d)?f1(d)?f2(d)??(?d2?4Vd),0?d???

2因此，问题化为求目标函数f(d)??(?d?对f(d)求微商，得

f?(d)??(2?d?4Vd34Vd)在(0,??)内的最小值。

2) 2V令f(d)?0得d??是f(d)在(0,??)内的惟一驻点。

这是实际问题。最小值肯定存在，因此d?4V4Vd32V??32?350??6.06cm是F(d)的最

小值点。而高h?4、最快速度

?d2??d3?2d?12.12cm。

设一辆水陆两用汽艇在水上的速度为v1(km/h)， 在陆地上的速度为v2(km/h)。现因需要，要求汽艇最 快

地

从

水

中

的

A的到达陆地上的

B点（图），

试问两用汽艇应按怎样的路线走？

解：由常识知道，汽艇在水中或陆地上都应该走直线，所以，汽艇实际走的路程为两直线组成的折线AP?PB，如图3所示，汽艇的行驶时间为

T(X)?h1?xv122?h2?(l?x)v222,0?x?l。

问题归结为求T(X)在[0,1]上的最小值，即x满足什么条件，T(X)取得最小值。 对T(X)求微商，得

xv1h1?x22T(X)??v2l?xh2?(l?x)22 由于

T?(X)?1v1?2h123?1v2?2h223?0,0?x?l

(h1?x)22[h2?(l?x)]22可知T?(x)在(0,l)内的零点x0必为T(X)的极小值点，从而是T(X)在[0,l]上的最小值点。

x0满足T?(x)?0，即

x0v1h1?x022?v2l?x0h2?(l?x0)22

记2x0h1?x02?sin?1,l?x0v2h2?(l?x0)22?sin?2，则

sin?1v1?sin?2v2

如果将汽艇换成一束光线，水与陆地换成两种不同的介质，这就是光学中著名的折射定律，其中?1,?2，分别是光线的入射角与折射角。定律告诉我们：光线总是沿着最省时间的路线传播的。

5、库存—成本模型

库存成本模型是存贮论的一个确定性模型，而存贮论则是运筹学的一个分支。工厂要保证生产，需要定期的订购各种原材料存在仓库里，大公司也需要成批的购进各种商品，放在库房里以备销售，不论是原材料还是商品，都遇到一个库存多少的问题，库存太多，库存费用就高；库存太少，要保证供应，势必增多进货次数，这样一来，定货费高了，因此，必须研究如何合理地安排进货的批量、次数，才能使总费用（库存费+定货费）最省的问题。

这里讨论的模型是：需求恒定，不允许缺货，要成批进货，且只考虑库存费与定货两种费用。

由于在每一进货周期内，都是初始时进货，即货物的初始库存量等于每批的进货量x，以后均匀消耗，在周期末存量为0，故平均库存量为

x2。

为了弄清库存-成本模型的运作过程，下面举一例。

例 A公司每月需要某种商品2500件，每件金额150元，每年每件商品的库存成本为金额的16%，每次定货费100元，试求最优批量及最底成本（即库存量与订货费之后最小）。

解：设批量为x(x?0)，则平均库存量为

x2订货次数为x（库存量）O，t（时间）

2500x。

库存费=（库存量（件））（?库存成本/件）=x2?150?16?x,订货费=（定货次数）?(定货费/次）=2500x?100?250000x库存成本C(x)?库存量+订货量从而C(x)?x?C?(x)?1?250000x2

250000x另C?(x)?0,得x?500(件），x??50（0舍去）这是时间问题，最小值一定存在，因此，最底成本C(500)?500?这就是说，最优批量为每次500件，每月订货次数为

6、最大利润问题

2500500250000500?1000(元），

?5次，最低库存成为1000元。

设某产品的成本函数和价格函数分别为

C(x)?3800?5x?x2100,P(x)?50?x2100

决定产品的生产量，以使利润达到最大。

解：销售额函数为

R(x)?xP(x)?50x?令R?(x)?C?(x),50?x50?5?x500x2100,

求得x?2500，又因为

R??(x)??150??1500?C??(x)

所以生产量为2500单位时，利润达到最大。

7、化学问题

在萃取过程中，若用V毫升的萃取剂分两次萃取，证明，当每次的萃取剂用量为升时，其萃取效果最好。

解：设有V1毫升含有W克溶质的水溶液，若在第一次萃取时加入V2毫升萃取剂，则由第二章可知在水溶液中所剩余的溶质为

W1?W?KV1KV1?V2V2毫

第二次萃取时，再把剩下的V?V2毫升萃取剂加到含有W1克溶质的V1毫升水溶液中，可得第二次萃取后在水溶液中所剩余的溶质为

W2?W1?KV1KV?(V?V2)KV1KV1?V2?KV1KV1?(V?V2)2?W?

?W?(KV1)(KV1?V2)(KV1?V?V2)要求萃取效果最好，也就是要选择适当的V2使两次萃取后在水溶液中所剩余的溶质最少。 求函数对的导数得

dW2dV2dW2dV2?W?(KV1)?2?V?2V2(KV1?V2)(KV?V?V2)22

解方程

?0即V?2V2?0。得V2?V2。由此可见，函数W(V2)有一个驻点V2?V2。

在这个实际问题中，驻点就是函数W(V2)的最小值点，因此当两次的萃取剂用量都是

V2毫

升时萃取剂效果最好。

上面的离子都是函数极值问题在实际中的应用，函数求极值方法的研究已是较成熟的一门学问，极值问题在经济生活及工程技术等方面应用广泛，这里只选取了几个典型的方法加以说明。

极值方法是解决现实中使产品最多、用料最省、成本最低等问题的最基本的方法，随着科学技术的发展社会的进步，这样的现实问题不仅越来越多而且越来越复杂，解决这些问题的极值方法迅速发展，形成了以最优化问题为研究内容的一个重要数学分支—最优化理论。由于电子计算机的日益广泛应用，最优化理论和算法有机结合起来，得到了迅速发展，在实践中正在发挥着越来越大的作用。

参考文献： [1] 谢季坚、李启文 大学数学—微积分及其在生命科学、经济管理中的应用 第二版 高等教育出版社

[2] 上海交通大学 高等数学 科学出版社 2004年3月

[3] 林真棋 微积分在多元函数最值问题中的应用 闽江学报 2004年3月 [4] 华东师范大学数学系 数学分析（上）第三版 高等教育出版社 [5] 何炳生 （南京大学数学系）杨振华（南京邮电大学物理系） [6] 王文丰 一个多元函数的最值 高等数学研究所（2000年3月

FUNCTION MINIMUM PROBLEM IN ACTUAL

CENTER APPLICATION

LIU Ya-hao

Abstract: In the daily life, the production practice, the regular meeting meetsa such kind of question, how many causes the product under the certaincondition, the cost to be lowest and so on In mathematics, is under the certain condition, asks a objective function the maximum value orthe minimum problem 17 the century fluxionary calculus birth, provided through the establishment mathematical model, the application fluxionary calculus principle has solved these questions many methods. This article summaried the function from theory angle to ask theextreme value method, then used these methods to discuss actual problem and so on in rational close planting issue, environmental pollution question,stock-cost model application. Further solves insome economical and the real life optimized question for the people provides the basic mentality and the method.

Key word: function; maximum value; minimum value; minimum problem optimization.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3fev.html