2018年中考数学试题分类汇编 知识点14 一元二次方程的几何应用

一元二次方程的几何应用

一、选择题

1. （2018贵州安顺，T6，F3）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x -7x+10 = 0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9 【答案】A

【解析】解x -7x+10 = 0，得x=2或5.已知在等腰三角形中，有两腰相等，且两边之和大于第三边，∴腰长为5，底边长为2.∴该等腰三角形的周长为5+5+2=12. 【知识点】解一元二次方程，三角形两边的和大于第三边. 二、填空题

1. （2018湖北黄冈，12题，3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x-10x+21=0的根，则三角形的周长为__________ 【答案】16

【解析】解该方程得x1=3，x2=7，因为两边长为3和6，所以第三边x的范围为：6-3

2. （2018江西，12，3分）在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为________． 【答案】2，23，14－2

【解析】∵PD＝2AP，∴设AP＝x，则PD＝2x， ①当P在AD边上时，如解图①， ∵AD＝6，∴AP＋PD＝6， ∴x＋2x＝6即x＝2，∴AP＝2 ②当P在DC上时，如解图② 在Rt△ADP中，AP＞PD，PD≠2AP，

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第12题解图① 第12题解图② ③当P在BC边上时，如解图③，

DP最大为62，AP最小为6，PD≠2AP，

④当P在AB上时，如解图④，

在Rt△ADP中，AP＋AD＝PD，∴x＋6＝(2x)，解得x1＝23，x2＝－23(舍)， ∴AP＝23；

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第12题解图③ 第12题解图④ 第12题解图⑤ 第12题解图⑥

122⑤当P在AC对角线上时，如解图⑤，在Rt△ADC中，AC＝AB＋BC＝62，∴AO＝AC＝32，在

2Rt△PDO中，PO＝32－x，PD＝2x，DO＝AO＝32，∴PD＝PO＋DO，

(2x)＝(32)＋(32－x)，解得x1＝14－2，x2＝－14－2(舍)，∴AP＝14－2；

⑥当P在DB对角线上时，如解图⑥，在Rt△APO中，AP＝AO＋PO，∴x＝(2x－32)＋(32)，整理得：x－42x＋12＝0，∴(－42)－4×1×12＝－16＜0，∴方程无解，综上所述：AP＝2或23或14－2

【知识点】正方形，一元二方程的解法，勾股定理

3. （2018浙江省台州市，16，5分）

如图，在正方形ABCD中，AB?3，点E，F分别在CD，AD上，CE?DF，BE，CF相

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交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3，则?BCG的周长为 ．

【答案】3+15 【思路分析】通过正方形的边长可以求出正方形的面积，根据“阴影部分的面积与正方形的面积之比为2:3”可以求出空白部分的面积；利用正方形的性质可以证明ΔBCE≌CDF，一是可以得到ΔBCG是直角三角形，二是可以得到ΔBCG的面积，进而求出BGCG=3；利用勾股定理可以求出

22BG+CG=9，这样就可以求出BG+CG=15，因而ΔBCG的周长就可以表示出来了.

【解题过程】∵在正方形ABCD中，AB=3， ∴S正方形ABCD=32=9，

∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3， ∴空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为1:3， ∴S空白=3，

∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠BCE=∠CDF=90° ∵CE=DF,

∴ΔBCE≌CDF(SAS) ∴∠CBE=∠DCF,

∵∠DCF+∠BCG=90°, ∴∠CBE+∠BCG=90°,

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即∠BGC=90°，ΔBCG是直角三角形 易知S?BCG=S四边形FGED=∴BGCG=3，

根据勾股定理：BG2+CG2=BC2，即BG2+CG2=9

313，∴S?BCG=BGCG=， 222222 ∴（BG+CG）=BG+2BGCG+CG=9+2?3=15，

∴BG+CG=15，

∴ΔBCG的周长=BG+CG+BC=3+15

【知识点】正方形的性质，三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的解法； 三、解答题

1. （2018浙江杭州，21，10分） 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径

画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD。 （1）若∠A=28°，求∠ACD的度数； （2）设BC=a，AC=b

①线段AD的长度是方程x?2ax?b?0的一个根吗？说明理由；

22②若AD=EC，求

a的值。 b

【思路分析】（1）先求∠B,再根据等腰三角形知识求∠BCD，在用直角求出∠ACD；（2）根据勾股定

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理表示出AB，表再示出AD，根据一元二次方程的解表示出x?2ax?b?0的解进行对比；由AD=AE,则可得AD=

221b，从而可列方程求解出比值 2【解题过程】

(1)?A??B?900,?A?280,??B?620,BD?BC,??BDC??BCD,?B??BDC??BCD?18001800?620??BDC??590,?BDC??ACD??A,??ACD?590?280?3102(2)设AD=m,BD?BC?a,?AB?AD?BD?m?a,在RT?ABC中，AB2?BC2?AC2,?(m?a)2?a2?b2,?m2?2am?b2?0,?AD长为方程x2?2ax?b2?0的根。（3）设AD=m,?AD?AC?AE?b?m,AC?b,?CE?AC?AE?m,CE?AD,?b?m?m,bbbb2b3?m?,即AD=，将x?代入x2?2ax?b2?0得：（）+2a??b2?0,b(a?b)?0,2222243a3b?0,?a?b,??4b4【知识点】三角形内角和，等腰三角形角度计算，勾股定理，线段转换

1. （2018湖北鄂州，20，8分）已知关于x的方程x2??3k?3?x?2k2?4k?2?0． （1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根；

（2）若该方程的两实数根x1，x2为一菱形的两条对角线之长，且xx?2x?2x?36，求k值及

1212该菱形的面积．

【思路分析】（1）只需证明根的判别式△≥0，即可证得无论k为何值，原方程都有实数根；（2）利用韦达定理求出k值，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半就能求出该菱形的面积． 22

【解析】解：（1）证明：由题意可知，a＝1，b＝－（3k＋3），c＝2k?4k?2，△＝b－4ac＝

??(3k?3)?≥0，

222222?42k?4k?2?9k?18k?9?8k?16k?8?k?2k?1?(k?1)，∵(k?1)2??∴△≥0，∴无论k为何值，原方程都有实数根；

bc（2）由根与系数的关系可知x1?x2??????(3k?3)??3k?3，x1x2??2k2?4k?2，

aa2x1x2?2x1?2x2?36,x1x2?2x1?x2?36,2k?4k?2?2?3k?3??36

??，化简得

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