第29讲-平面向量的数量积及其应用(讲义版)

第29讲-平面向量的数量积及其应用

一、 考情分析

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；

5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.

二、 知识梳理

1.两个向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a

和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉.

(2)范围：向量夹角〈a ，b 〉的范围是[0，π]，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉.

(3)向量垂直：如果〈a ，b 〉＝π2，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .

2.向量在轴上的正射影

已知向量a 和轴l (如图)，作OA →＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1，A 1

，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量.

OA →＝a 在轴l 上正射影的坐标记作a l

，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l ＝|a |cos__θ.

3.向量的数量积

(1)平面向量的数量积的定义：

|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.

(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角.

①数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.

②模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.

③夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22

. ④两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0.

⑤|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)?|x 1x 2＋y 1y 2|≤

x 21＋y 21·x 22＋y 22.

4.平面向量数量积的运算律

(1)a ·b ＝b ·a (交换律).

(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律).

(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).

[微点提醒]

1.两个向量a ，b 的夹角为锐角?a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角?a ·b <0且a ，b 不共线.

2.平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.

(2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.

(3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2. 三、 经典例题

考点一 平面向量数量积的运算

【例1-1】

（2020·汉中市龙岗学校高三其他（理））在锐角ABC 中，602B AB AC =?-=，，则AB AC ?的取值范围为（ ）

A ．()0,12

B ．1,124??-????

C ．(]0,4

D ．(]0,2 【答案】A

【解析】解：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系， ∵602B AB AC BC =?-==，

，

∴C ， 设0A x （，）

∵ABC 是锐角三角形，

∴120A C +=?，∴3090A ??＜＜，

即A 在如图的线段DE 上（不与D E ，重合）， ∴14x ＜＜， 则221124

AB AC x x x （）?=-=

--， ∴AB AC ?的范围为012（，）． 故选：A ．

【例1-2】

（2020·吉林省高三其他（文））设非零向量a ，b 满足3a b =，1cos ,3a b =，()16a a b ?-=，则b =（ ）

A 2

B 3

C ．2

D ．5 【答案】A

【解析】||3||a b =，1cos ,3a b ??=

. 2222()9||||8||16a a b a a b b b b ∴?-=-?=-==，

||2b ∴=.

【例1-3】

（2020·福建省高三其他（文））点P 在以F 为焦点的抛物线24x y =上，5PF =，以P 为圆心，PF 为半径的圆交x 轴于,A B 两点，则AP AB ?=（ ） A ．9

B ．12

C ．18

D ．32 【答案】C

【解析】设()00,P x y ，

因为抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，5PF =， 所以015y +=，即04y =，因此2

00416x y ==，解得：04x =±，不妨取04x =，

则()4,4P ，

因此以P 为圆心，PF 为半径的圆的方程为：()()22

4425x y -+-=，

令0y =，解得：7x =或1x =，即圆()()224425x y -+-=与x 轴的两交点为()7,0，()1,0， 不妨取()7,0A ，()10

B ,， 则()3,4AP =-，()6,0AB =-，

因此18AP AB ?=.

【例1-4】

（2020·福建省高三其他（文））已知向量a ，b 满足1a =，3b =，2+7a b =，则b 与a b -的夹角为（ ）

A ．30

B ．60?

C ．120?

D ．150? 【答案】D

【解析】将2+7a b =

两边平方得224+4+7a a b b ?=，所以0a b ?=， 又()2222+4b a b a b a -=-?=，所以2a b -=，

设b 与a b -的夹角为θ，则()2

3cos 32b a b

b a b θ?-===-??-， 又0θπ≤≤，所以150θ=,故选：D.

【例1-5】

（2020·湖北省高三其他（理））如图所示，A 、B 是圆O 上的两点，若2AB AO ?=，则弦AB 长为______.

【答案】2

【解析】过O 作⊥OD AB 于D ，则1cos 2AO OAD AD AB ∠==，

2AB AO ?=，cos 2AB AO OAD ?∠=，所以212,22

AB AB ==, 故答案为：2

规律方法 1.数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解，较为简捷、明了.

2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.

考点二 平面向量数量积的应用

角度1 平面向量的垂直

【例2－1】（1）设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m ).若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.

（2）已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP

→＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( ) A.2215 B.103 C.6 D.127

【解析】 (1)a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，∴a 2＝1，a ·b ＝－1，

由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0，即m a 2－a ·b ＝0.

∴m －(－1)＝0，∴m ＝－1.

(2)因为AP

→＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →， 所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，

整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，

解得λ＝2215.

规律方法 1.当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.

2.数量积的运算a ·b ＝0?a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b . 角度2 平面向量的模

【例2－2】 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________.

(2)(2019·杭州调研)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰

DC 上的动点，则|P A →＋3PB

→|的最小值为________. 【解析】(1)由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，

所以α·β＝12，

所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×12＝10，

所以|2α＋β|＝10.

(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A (2，0)，

设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b ).

所以P A →＋3PB

→＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )， 所以|P A →＋3PB

→|＝25＋（3b －4y ）2(0≤y ≤b )， 所以当y ＝34b 时，|P A →＋3PB

→|取得最小值5. 规律方法 1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.

2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解. 角度3 平面向量的夹角

【例2－3】 (1)知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为

________.

(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.

【解析】 (1)将|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，∴a ·b ＝0.

将|a ＋b |＝233|a |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝43a 2， ∴b 2＝13a 2.

设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，

∴cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 2

233|a |·233

|a |＝23a 243a 2＝12. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3

. (2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，

∴(2a －3b )·c <0，

即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.

又若(2a －3b )∥c ，

则2k －3＝－12，即k ＝－92.

当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ， 此时2a －3b 与c 反向，不合题意.

综上，k 的取值范围为? ????－∞，－92∪? ??

??－92，3. 规律方法 1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[0，π]；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22

求解. 2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

考点三 平面向量与三角函数

【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.

(1)求sin A 的值；

(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影.

【解析】 (1)由m ·n ＝－35，

得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，

所以cos A ＝－35.因为0

所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－? ????－352

＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，

则sin B ＝b sin A a ＝5×

4542＝22， 因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.

由余弦定理得(42)2＝52＋c 2

－2×5c ×? ????－35， 解得c ＝1，c ＝－7舍去，

故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22

. 规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.

[方法技巧]

1.计算向量数量积的三种方法

定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.

2.求向量模的常用方法

利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.

3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.

4.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律，(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c ).

四、 课时作业

1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（文））已知向量()3,2m =，()4,n x =，若m n ⊥，则x =（ ） A ．6- B ．8

3- C ．83 D ．6

2．（2020·山东省高三二模）已知正方形ABCD 的边长为3,2,DE EC AE BD =?=（ ） A ．3 B ．3- C ．6 D ．6-

3．（2020·宁夏回族自治区高三二模（文））已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为

6π,则()(2)a b a b +?-=( )

A ．12

B ．32-

C ．12-

D ．32

4．（2020·黑龙江省铁人中学高三二模（文））已知单位向量a 、b 满足a b ⊥，则()a a b ?-=（ ） A ．0 B ．12 C ．1 D ．2

5．（2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考（文））已知向量()1,2AB =，(),4BC x =-，若A ，B ，C 三点共线，则AC BC ?=（ ）

A ．10

B ．80

C ．－10

D ．－80

6．（2020·山西省山西大附中高三月考）已知a b →→==，且2a b →→??- ???

与a →垂直，则a →与b →的夹角是（ ） A ．3π B ．6π C ．34π D ．4

π 7．（2020·山西省太原五中高三月考（理））在ABC 中，3AB =，2AC =，12BD BC =

，则AD BD ?=( ) A ．52- B ．52 C ．54- D ．54

8．（2020·辽宁省大连二十四中高三其他（理））已知平面向量(3,0)a =，2(1,23)a b +=，则a 与b 的夹角等于（ ）

A ．6π

B ．3π

C ．23π

D ．56π

9．（2020·辽宁省沈阳二中高三其他（文））已知向量13(,)2a =-,31(,)22b =-，则下列关系正确的是（ ） A ．()a b b +⊥

B ．()a b a +⊥

C ．()()a b a b +⊥-

D ．()//()a b a b +-

10．（2020·重庆八中高三其他（理））已知向量()1,2a =，2b =

，且a b ⊥，则2a b +=（ ） A ．13 B ．17 C ．13 D ．17 11．（2020·沈阳二中北校高三其他（文））已知向量1331,,,222????==- ? ? ? ?????

a b 则下列关系正确的是（ ） A ．()a b b +⊥

B ．()a b a +⊥

C ．()()a b a b +⊥-

D ．()//()+-a b a b

12．（2020·巩义市教育科研培训中心高三其他（文））如图，O 为ABC ?的外心，4,2,AB AC BAC ==∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ?的值为（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

13．（2020·重庆一中高三月考（理））抛物线2y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，点P 在抛物线上，向量FP 与OF 的夹角为60?，过P 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，线段HF 和抛物线交于点Q ，则

||||HF FQ =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．23

14．（2020·湖北省高三月考（理））已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）

A ．1313-

B ．1313

C ．1365-

D ．1365

15．（2020·河南省高三其他（理））已知向量()3,1a =

，()1,3b m =-，若向量a ，b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为（ ）

A ．(

)1-+∞ B ．()1++∞

C ．(()1133,+++∞

D ．(()1133,+++∞ 16．（2020·新疆维吾尔自治区高三三模（文））在Rt ABC 中，1AB AC ==，点D 满足2BD DC =，则AB AD ?=（ ）

A ．13

B ．23

C ．1

D ．2

17．（2020·四川省高三三模（文））已知点A （﹣2，0）、B （3，0），动点P （x ，y ）满足2PA PB x ?=，则点P 的轨迹是（ ）

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

18．（2020·六盘山高级中学高三期末（理））已知||2a =，向量a 在向量b a 与b 的夹角为（ ）

A ．3π

B ．6π

C ．23π

D ．2

π 19．（2020·四川省高三月考（理））设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，若2BC =，AB AC AB AC +=-，则AM =（ ）

A ．

12 B ．1 C ．2 D ．4 20．（2020·黑龙江省大庆四中高一月考（文））在ABC ?中,(cos18,cos72)AB =??,(2cos63,2cos 27)BC =??,则ABC ?面积为 （ ）

21．（2020·福建省高三其他（文））在ABC 中，1AB =，2AC =，若0AB AC ?=，动点D ，E 满足1AD =且DE EC =，则BE 的最大值为（ ）

A B C D 22．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知向量(2,3),(3,)AB AC t ==，且AB 与BC 夹角为锐角，则实数t 的取值范围为（ ）

A ．7,3??+∞ ???

B ．799,,322??

???+∞ ? ????? C ．79,32?? ??? D ．9,2??+∞ ???

23．（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三期末（文））设D 为ABC ?所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ）

A ．1433AD A

B A

C =-+ B ．1433A

D AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133

AD AB AC =- 24．（2020·辽宁省高一期中）已知向量(,6)a x =，(3,4)b =，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为（ ）

A ．[8,)-+∞

B ．998,,22?

???-?+∞ ? ?????

C ．998,,22????-?+∞? ??????

D ．(8,)-+∞

25．（2020·上海高三专题练习）设O 为ABC 的内心，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -?+-=，则ABC 的形状为( )

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．以上都不对

26．（2020·四川省高三三模（理））设平面上向量()()cos ,sin ,0a αααπ=≤<,1,2b ?=- ??，若

3b a b +=-，则角α的大小为（ ）

A ．56π

B ．6π

C ．6π或56π

D ．6π或76

π 27．（2020·江西省南昌十中高三其他（文））已知圆O 的半径为2，P,Q 是圆O 上任意两点，且POQ 60∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C 满足()1λλ=-+OC OP OQ （λR ∈）

，则CA CB ?的最小值为（ ） A ．-1 B ．-2 C ．-3 D ．-4

28．（2020·河南省郑州一中高三其他（理））下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A ,B ,C ,D 是其中四个圆的圆心,则AB ?CD =（ ）

A ．32

B ．28

C ．26

D ．24

29．（多选题）已知1e ，2e 是两个单位向量，R λ∈时，12||e e λ+3则下列结论正确的是（ ） A ．1e ，2e 的夹角是

3π B ．1e ，2e 的夹角是3π或23π C ．12||1e e +=3D ．12||1e e +=3 30．（多选题）（2020·海南省高三其他）已知正方形ABCD 的边长为2，向量a ，b 满足2AB a =，2AD a b =+，则（ ）

A ．22b =

B ．a b ⊥

C ．2a b ?=

D ．()4a b b +⊥ 31．（2020·梁河县第一中学高一开学考试）设12,e e 是两个相互垂直的单位向量，且12122,a e e b e e λ=--=- （Ⅰ）若a b ，求λ的值；

（Ⅱ）若a b ⊥，求λ的值．

32．（2020·双峰县第一中学高一月考）设两个向量a ，b ，满足2a =，1b =.

(1)若()()21a b a b +?-=，求a 、b 的夹角；

(2)若a 、b 夹角为60，向量27ta b +与a tb +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围. 33．（2020·全国高三月考）已知平面向量a ，b 满足：|a |＝2，|b |＝1． （1）若（a +2b ）?（a b -）＝1，求a ?b 的值；

（2）设向量a ，b 的夹角为θ．若存在t ∈R ，使得1a b t +=，求cos θ的取值范围． 34．（2020·全国高三月考（文））设向量()cos23,cos67a =??，()cos68,cos22b =??，()u a tb t =+∈R . （1）求a b ?； （2）求以,a b 为邻边的平行四边形的面积；

（3）求u 的模的最小值.

35．（2020·海南省高三二模）在平面直角坐标系中，点(2,),(1,3),(1,1)A a B C -. （1）若2BA CB ?=-，求实数a 的值； （2）若4a =，求ABC ?的面积.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3f3q.html