湖南省衡阳市第八中学2019届高三上学期第二次月考试题数学（文）

衡阳市八中2019届高三第二次月考试题

文科数学

第I卷（选择题，共60分）

一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.

1.已知集合A={1,2,3,4}，B={xx=n,n?A}，则A2B= ( )

A.{1,2} B.{1,4} C.{2,3} D.{9,16} 2*.已知复数a+2i=b+i (a,b是实数)，其中i是虚数单位，则复数a+bi的共轭复数是( ) iA.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i

p1)=，则直线l的方程为( ) 22

3*.已知直线l的倾斜角为q且过点(3,1)，其中sin(q-A.3x-y-2=0 B.

3x+y-4=0 C.x-3y=0 D.3x+3y-6=0

4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,

次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第2天走了( )

A．24里 B. 48里 C．96里 D.192里

÷5.已知a=??÷,b=log23,c=log47，则a,b,c的大小关系为( ) ?÷A. a骣1桫213A.

p5pp2p B. C. D. 3663ìx-y?0???7.已知x,y满足约束条件íx+y?2，若z=ax+y的最大值为4，则a=( )

?????y30A.3 B.2 C.-2 D.-3

1

8.设D,E,F分别为DABC三边BC,CA,AB的中点，则EB+FC=( )

BC B.AD C.BC D.AD A.22

9.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1BC11D1中，A1作与 1B1的中点是P，过点AD1C1PDAB1CB11截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为( )

A.22 B.23 C.26 D.4

A110*.在等差数列中{an}，a1=21，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围是( ) A. [-3,-217217) B.(-,-3) C. (-3,-) D.[-,-3)

8282

11.已知函数f(x)=2sin(wx+j)(w>0,0

A. w=2 B. 函数y=f(x-p)是偶函数 C. 函数f(x)的图象关于点(3pp，且f()=0，22轾3pp,0)对称 D. 函数f(x)在犏-p,-上单调递增

犏42臌ex+k(lnx-x)，若x=1是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围为12.已知函数f(x)=x( )

A. (-?,e] B.(-?,e) C.(-e,+?) D.[-e,+?)

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13*.若sin2q=1p,，则cos2(q+)= . 242214.若过点P(2,3)作圆M:x-2x+y=0的切线l，则直线l的方程为 . 2

15*.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的外接球的表面积是_______cm2．

16*.己知实数a,b,c,d满足b=2lna,d=2c+1，则(a-c)+(b-d)的最小值 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.(本小题12分) ?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3bcosC-csinB=(1)求B；

(2)若a=3,b=7,D为AC边上一点，且sin?BDC

18*.(本小题12分) 已知数列{an}前n项和为Sn，且Sn=2an-n(n?N)．

*223a.

3，求BD. 3(1)证明：{an+1}是等比数列；

禳镲1镲b=log(a+1)(2) 若数列n，求数列睚的前n项和Tn． 2n镲bb镲铪2n-12n+1

3

?BAA119.(本小题12分) 如图在三棱柱ABC-A1BC11中，AB=AA1=CA=CB=2，

(1)证明：AB^AC1； (2*)若cos?CAA1

CC1p. 31，求四棱锥A1-BB1C1C的体积. 4BB1AA120*.(本小题12分) 已知过点P(0,-2)的圆M的圆心在x轴的非负半轴上，且圆M截直线 ．．．．

x+y-2=0所得弦长为22. (1)求圆M的标准方程；

(2)若过点Q(0,1)的直线l交圆M于A,B两点，求当DPAB的面积最大时直线l的方程.

4

21*.(本小题12分) 已知函数f(x)=1alnxx+(1-a)-,，其中a?R．

2x(1)试讨论函数F(x)=xf(x)的单调性；

(2)若a?Z，且函数f(x)有两个零点，求实数a的最小值．

5

\\VA1-BB1C1C=VABC-A1B1C1-VA1-ABC=2VA1-ABC=2SDABCAO=2 1320*.(本小题12分) 已知过点P(0,-2)的圆M的圆心在x轴的非负半轴上，且圆M截直线 ．．．．

x+y-2=0所得弦长为22. (1)求圆M的方程；

(2)若过点Q(0,1)的直线l交圆M于A,B两点，求当DPAB的面积最大时直线l的方程. 解：(1)设圆M的方程为：(x-a)+y=r(a?0) 则圆心M到直线x+y-2=0的距离等于222a-22

22ì?a+4=r?ìa=0????由题意得：ía-22由题意得í2 2??r=4()+2=r????2??所以所求圆M的方程为：x+y=4

(2) 由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+1 则圆心M到直线l的距离等于221k2+1，所以AB=24-1 k2+11) 2k+1(或由AB=1+k2(x1+x2)2-4x1x2求出AB=24-又点P(0,-2)到直线l的距离等于d=3k+12，

所以SDPAB=11112ABd=3(4-2)2=34-(2-2) 2k+1k+1k+12因为k30，所以当k=0时，(SDPAB)max=33 所以所求直线l方程为：y-1=0

21*.(本小题12分) 已知函数f(x)=1alnxx+(1-a)-,，其中a?R．

2x11

(1)试讨论函数F(x)=xf(x)的单调性；

(2)若a?Z，且函数f(x)有两个零点，求实数a的最小值． 解：(1) F(x)=xf(x)=12x+(1-a)x-alnx(x>0)，则 2F￠(x)=x+(1-a)-a(x+1)(x-a)= xx(x)>0，所以函数F(x)在(0,+?)上单调递增； 当a￡0时，F￠(x)<0，若(a,+?)，则F￠(x)>0 当a>0时，若(0,a)，则F￠所以函数F(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+?)上单调递增；

综上可知，当a￡0时，，函数F(x)在(0,+?)上单调递增；当a>0时，函数F(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+?)上单调递增；

(2) 函数f(x)有两个零点等价于F(x)=12x+(1-a)x-alnx(x>0)有两个零点. 2由(1)可知，当a￡0时，，函数F(x)在(0,+?)上单调递增，F(x)最多一个零点，不符合题意。所以a>0，又当a>0时，函数F(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+?)上单调递增；所从

F(x)min=a-12a-alna. 21a-lna<0. 2要使F(x)有两个零点.，则有F(x)min<0?1设h(x)=1-111x-lnx(x>0)，则h￠(x)=--<0， 22x1>0,h(2)=-ln2<0 2所以函数h(x)在(0,+?)上单调递减.又h(1)=所以存在x0?(1,2)，当x>x0时，h(x)<0.

12

即存在x0?(1,2)，当a>x0时，h(a)<0, 即F(x)min<0 又因为a?Z，所以实数a的最小值等于2． 此时，当x?0时，F(x)?的最小值等于2.

22.(本小题10分) (选修4-5：不等式选讲) 已知不等式|x|+|x-3|

(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0，求证：x+y?16xy． (1) 解：原不等式可化为：

1?，当x=e2时，F(e2)=e4-e2-4>0，\\F(x)有两个零点.故实数a2ììì?0

(2)证明：由(1)知9x+y-1=0,即9x+y=1,，且x>0,y>0

9，即-1

所以

x+y11y9x=(+)(9x+y)=10++?10xyxyxy11,y=时取“=” 1242y9x=16 xy当且仅当x=所以x+y?16xy

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