分解质因数

一、 分解质因数

1、下面的数,哪些能写成几个质数相乘的形式？ 7, 9, 11, 12

2、在2、 7、 12、35、 4 、21、 13、 17这些数中, 质数有: 2 、7、13、17 合数有: 12、35 、4 、21

3、 28和60可以写成哪几个质数相乘的形式?

284×72×2×728 ＝ 2 X 2 X 7606×102×3×2×5 60＝2X3X2X5

每个合数都可以写成几个( )数相乘的形式,其中每个质数都是 这个合数的( )数,叫做这个合数的质因数。

4、13X4=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？

5、什么是分解质因数呢?

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （1）用短除法把下面各数分解质因数. 55 60

5551122603031555 = 5×11560=2×2×3×5

（2）能用短除法把下面各数分解质因数.

80 12 16 72

练习：

一、选一选。

(1)把10分解质因数是( )

A.10=2×5 B.10=1×2×5 C.10=1×10 (2)把27分解质因数是( )

A.3×9=27 B.3×3×3=27 C.27=3×3×3 （2）看谁是小判官

①把35分解质因数是 35=1×5×7（ ） ②把49分解质因数是7×7=49 ( ) ③把30分解质因数是30=2×3×5 ( ) ④51不能分解质因数. ( )

二、 用短除法找最大公因数

1．用排列因数的方法求18和24的最大公因数。

2．用排列因数的方法求两个数的最大公约数方便吗？有没有比它简便的方法求最大公约数呢？

今天我们就来研究求两个数的最大公因数简便方法。 ．把18和24分解质因数。如下：

2 1 8 2 2 4 3 9 2 1 2 3 2 6 3 18＝2 × 3×3

24＝2×2×2×3

⑴18有哪几个质因数？24呢？ ⑵18和24相同的质因数有哪些？

⑶它们相同的质因数叫做什么，给它们起一个名字：公有的质因数 ⑷18和24公有的质因数有哪几个？其它的2、2和3是公有的质因数吗？ 那这些质因数叫做什么质因数，给它们起一个名字：独有的质因数

⑸你能根据18和24公有的质因数2和3计算出18和24所有的公因数吗？ ⑹怎么计算的？哪个最大？最大的是怎么计算出来的？

⑺如果在2×3的后面再乘以一个质因数3，还是公约数吗？是最大公约数吗？多乘几个质因数呢？

⑻如果在2×3的后面少乘以一个质因数3，还是公约数吗？是最大的公约数吗？

⑼从这里可以看出：两个数的最大公因数是什么质因数的乘积？

板书：所有的公有质因数的乘积＝最大公约数

⑽“所有的公有质因数”是什么意思？你是怎么理解的？

⑾从这里可以看出：用分解质因数的方法求两个数的最大公约数先干什么？然后干什么？最后干什么？

18和24的最大公约数是：2×3＝6。

3．先把36和54分解质因数，再求出它们的最大公约数。

4．每道题都这样写麻烦吗？能不能简化一下呢？怎样简化？怎样把两个短除法算式合并成

一个除法算式呢？

2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 1 2 用公有质因数3除， 3 4 3和4互质不除了。 18和24最大公约数是：2×3＝6。

5．用合并短除法算式的方法求36和54的最大公约数。

6、分解质因数（6分）

108 210 78

三、用短除法求最小公倍数

现在我们求这两个数的最小公倍数，能不能也来尝试一下这种方法？ 请同学把6和4分解质因数。 2 6 2 4 3 2

6＝2 × 3

4＝2 × 2

提问：6包含有哪些质因数？4呢？ 6和4的质因数有什么特点？

【公有的质因数 独有的质因数】

那么我们刚才找出来的最小公倍数12，包含有哪些质因数？【12＝2×2×3】 12的质因数和6、4的质因数之间有什么联系？ 得出：12的质因数里面包含有6和4公有的质因数，还有各自独有的质因数。 提问： 6和4的最小公倍数它是由哪些质因数相乘得到的？ 【最小公倍数＝全部公有的质因数的积×各自独有的质因数】

练习。 填空。

（1）已知A＝2×5×5，B ＝2×5×7。A和B全部公有的质因数有（ ），各自独有的质因数有（ ），A和B的最小公倍数是（ ）。 （2）30＝（ ）× （ ）× （ ） 18＝（ ）× （ ）× （ ） 30和18的最小公倍数是（ ）×（ ）×（ ）×（ ）＝（ ） 用短除法求最小公倍数

1、列两个短除法算式算最小公倍数麻烦吗？

2 6 4

2 3

6和4的最小公倍数是2×2×3＝12。

提问：2是什么？2、3是什么？最小公倍数是怎样得到的？

上面我们用了好几种方法求6和4的最小公倍数，你认哪种方法最简便？

2、试一试。

用短除法求下面每组数的最小公倍数。 12和30 36和54

巩固练习

1、求下面每组数的最小公倍数。

24和36 16和18

2、判断下面各题是否正确，错在什么地方。 （1）16＝2×2×2×2

20＝2×2×5

16和20的最小公倍数是2×2×2×2×2×5＝160

（2） 3 30 45 5 10 15 2 3 30和45的最小公倍数是3×5＝15【变成求最大公约数】 （3）

2 24 32 2 12 16 6 8 24和32的最小公倍数是2×2×6×8＝192【没有除到互质数】

课堂练习：

1．找出下列数中的合数，并把它们分解质因数。

20 29 45 53 91 102 117

2．求下面各组数的最大公因数。

50和75 78和26 6和11 36和54

3．求下面各组数的最小公倍数。

15和20 35和42 8、24和36 45、60和75

4、解决问题

（1）商店里运来75个玉米，如果每15个装一筐，能正好装完吗？还可以怎么装？装几筐？

（2）小红家卧室的开关最初在关闭状态，现在如果不断开关，开关13次后，灯处于哪种状态？为什么？如果开关200呢？

（3）6个红球与24个黄球，大小一样，分别装在同一种盒子里,每种球正好装完，每盒最多能装几个?这时共需几个盒子？

（4）1路和5路公共汽车早上7时同时从起点站发车。1路车每隔6分发一班，5路车每隔9分发一班。列表找出这两路车同时发车的时间，你发现了什么？

（5）果园里要种56棵梨树，如果每行的棵数一样，可以种几行？你有几种方案？哪种方案比较合适？说出理由。

（7）“小星星”体操队共有96人，要排成一个表演方阵，你认为应该怎样编队才整齐？

（8）李老师买了一箱矿泉水，4瓶4瓶数或5瓶5瓶数，都刚好数完。这箱矿泉水至少有几瓶？

（9）李老师每隔3天去1次图书馆，王芳每隔4天去1次图书馆，6月30日她们都去图书馆，7月份同时去图书馆的日子有哪几天？

（10）501班上体育课，有34人参加跳绳活动，要分成5人一组，至少还要再来几个人？可以分成几组？

（11）五·一班部分同学参加植树活动，已经来了37人，5个人分成一组，至少还要来几个人，才能正好分完？

（12） 小洪买了以下几本书，故事书10元一本，科技书8元一本，作文书7元一本。给售货员50元，找回22元，对不对？为什么？

（13） 有36块糖，分给小朋友，2块2块的分能正好分完吗？3块3块的分呢？5块5块的分呢?

一、填空

1．最小的自然数是( )；最小的奇数是( )；最小的偶数是( )；最小的质数是( )；最小的合数是( )。

2．即有因数2，又有因数3的最小数是( )；既有约数2，又有因数5的最小数是( )；既有因数3，又有因数5的最小的数是( )。

3．既不是质数，又不是偶数的最小自然数是( )；既是质数；又是偶数的数是( )；既是奇数又是质数的最小数是( )；既是偶数，又是合数的最小数是( )；既不是质数，又不是合数的最小数是( )；既是奇数，又是合数的最小的数是( )。

4．能同时被2、3、5整除的两位数是( )。 5．把390分解质因数是（390= ）。

6．除以2、5、3余数都是1的数，其中，最小的一个是( )。 7．2、5、10的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。

8．甲数除以乙数的商是15，甲乙两数的最大公因数是( )；最小公倍数是( )。

9．从0、2、3、5、7五个数中，选四个数组成一个同时能被2、3、5整除的最小的四位数( )。

二、选择填空

1．两个不同质数的最大公因数是 ( )。 ① 1 ② 小数 ③ 大数

2．1.5能 ( )。 ① 整除3 ② 被3整除 ③ 被3除尽

3．大于2的两个质数的乘积一定是 ( )。

①质数 ②偶数 ③合数

4．任意两个自然数的积是 ( )。

①质数 ②合数 ③质数或合数

5．甲数的质因数里有2个2，乙数的质因数里有3个2，它们的最大公因数里应该有( )。

①2个2 ②3个2 ③5个2

6．在100以内，能同时被3和5整除的最大奇数 ( )。

① 95 ② 90 ③ 75

7．a和b是互质数，a和b的最大公因数是( )；最小公倍数是( )。 ①a ②b ③1 ④ab

三、分解质因数

①180 ②507 ③108 ④56

四、求出下列各数的最大公因数和最小公倍数（每小题2分，共12分）

五、24、20和36的最小公倍数是它们最大公因数的多少倍？

六、应用题

某学校同学们做操，把学生分为10人一组，14人一组，18人一组，都恰好分完，这个学校至少有多少个学生？

第一部分：公因数与最大公因数

知识点归纳：

1：公因数和最大公因数的意义

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，称为这几个数的最大公因数。

注意：几个数的公因数必须包含它们公有的素因数（至少一个），而几个数的最大公因数必须包含它们全部公有的素因数。 2：互素的意义

若两个数的公因数只有1 ，则称这两个数互素，它和素数、素因数是绝对不同的概念，素数是指一个数除了1和本身以外没有别的因数的数。当素数是一个合数的因数时，则称这个素数为这个合数的素因数。 3：求公因数和最大公因数的方法

若两个数互素，则它们的公因数为1.

若两个数之间存在倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的那个数。

若两个数既不互素，也不存在倍数关系，则一般可用短除法或者分解素因数法找到它们全部公有的素因数，这些素因数的积就是这两个数的最大公因数。

典例练习

1、用边长为6厘米、4厘米的正方形纸片分别铺长为18厘米、宽为12厘米的矩形。哪种纸片能将矩形铺 满？

2、两个数的和是60 ，且它们的最大公因数为12 ，求这两个数。

3、若甲数= a×b×c ，乙数= a×c ×d (a、b 、c 、d 是不同的素数)，则甲、乙两数的最大公因数是什么？

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