2013年长春市高中毕业班第一次调研测试理科数学

2013年长春市高中毕业班第一次调研测试

数学试题卷(理科)

考生须知：

1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟. 2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号. 3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效. 4. 考试结束，只需上交答题卡.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）

2

1. 已知集合A {x|x x 2 0}，B {x|y ln(1 |x|)}，则A (ðRB)

A. (1,2) C. ( 1,1)

B. [1,2) D. (1,2]

2. 已知复数z 1 ai(a R)（i是虚数单位），

z34

i，则a z55A. 2 B. 2

1

C. 2 D.

2

3. 如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出

这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 A. c x? B. x c ? C. c b ? D. b c?

4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的

体积为

A. C.

B.

D.

1

12

5. 设a

1

0

xdx，b 1 xdx，c x3dx，

0

13

1

俯视图

0

则a、b、c的大小关系为 A. a b c B. b a c C. a c b D. b c a 6. 在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3 4，a4a5a6 12，an 1anan 1 324，则n A. 11 B. 12 C. 14 D. 16

7. 直线l1与l2相交于点A，动点B、C分别在直线l1与l2上且异于点A，若AB与AC

的夹角为60，BC ，则 ABC的外接圆的面积为

A. 2

B. 4

C. 8

D. 12

8. 给定命题p：函数y sin(2x

命题q：当x k 说法正确的是

A. p q是假命题 C. p q是真命题

4

)和函数y cos(2x

3

)的图像关于原点对称；4

2

(k Z)时，

函数y2x cos2x)取得极小值. 下列

B. p q是假命题 D. p q是真命题

9. 若两个正实数x,y满足

范围是

A. ( , 2] [4, ) C. ( 2,4)

212 1，并且x 2y m 2m恒成立，则实数m的取值xy

B. ( , 4] [2, ) D. ( 4,2)

22

10. 已知直线x y k 0(k 0)与圆x y 4交于不同的两点A、B，O是坐标

原点，且有|OA OB||AB|，那么k的取值范围是

A.

) B.

) C.

D.

11. 如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD且AB 2AD，

设 DAB ， (0,)，以A、B为焦点，且过点D

2

的双曲线的离心率为e1；以C、D为焦点，且过点A的

AB

椭圆的离心率为e2，则 A. 当 增大时，e1增大，e1 e2为定值 B. 当 增大时，e1减小，e1 e2为定值 C. 当 增大时，e1增大，e1 e2增大 D. 当 增大时，e1减小，e1 e2减小

12. 对于非空实数集A，记A* {y| x A,y≥x}. 设非空实数集合M、P满足：

M P，且若x 1，则x P. 现给出以下命题：

①对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有P* M*； ②对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M* P ； ③对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M P* ； ④对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数a，使得对任意的b M*，恒有a b P*，其中正确的命题是

A. ①③

B. ③④

C. ①④

D. ②③

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上).

1

2≤x≤1

y 1

13. 若实数x,y满足 y≥ x 1，则的取值范围是____________.

x y≤x 1

22

14. ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a c 2b，且

sinB 6cosA sinC，则b的值为____________.

15. 若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则

S1

____________. S2

时，f(x) x2 2x，

4],116. 定义在R上的函数f(x)满足f(x) f(x 5) 16，当x (

则函数f(x)在[0,2013]上的零点个数是____________.

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分）

函数f(x) Asin( x )(A 0, 0, ⑴ 求函数y f(x)的解析式；

⑵ 当x [ , ]时，求f(x)的取值范围.

6

)(x R)的部分图像如图所示. 22

18. （本小题满分12分）

数列{an}的前n项和是Sn，且Sn

⑴ 求数列{an}的通项公式；

1

an 1. 2

2an31

⑵ 记bn log3，数列{的前n项和为Tn，证明：Tn .

164bn bn 2

19. （本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面AAC11C 底面ABC，

AA1 AC AC 2， AB BC，AB BC，1

O为AC中点． ⑴ 证明：AO 平面ABC； 1⑵ 求直线AC1与平面A1AB所成角的正弦值； ⑶ 在BC1上是否存在一点E，使得OE//平面

A1AB?若存在，确定点E的位置；若不存在，说A

明理由.

20. （本小题满分12分）

1C1

xy 1(a b

0)，a2b2P是坐标平面内一

其左、右焦点分别为F1、F2，点 3

点，且|OP| ，PF1 PF2 ，其中O为坐标

4已知椭圆C:

原点.

(1) 求椭圆C的方程；

22

13

否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若

不存在，请说明理由．

⑵ 如图，过点S(0, )，且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是

21. （本小题满分12分）

已知函数f(x) ex(ax2 2x 2)，a R且a 0. ⑴ 若曲线y f(x)在点P(2,f(2))处的切线垂直于y轴，求实数a的值； ⑵ 当a 0时，求函数f(|sinx|)的最小值；

⑶ 在⑴的条件下，若y kx与y f(x)的图像存在三个交点，求k的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.

如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M

中点，的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD连结AG分别交⊙O、BD于点E、F，连结CE．

⑴ 求证：AG EF CE GD；

GFEF

. ⑵ 求证：

AGCE2

2

23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方

程选讲.

已知曲线C的极坐标方程为 4cos ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平

x 5 （t为参数）. 面直角坐标系，设直线l

的参数方程为

y 1t 2

⑴ 求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；

⑵ 设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求

该矩形的面积.

24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.

设函数f(x) ⑴ 当a 5时，求函数的定义域；

⑵ 若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围.

2013年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. B 2. B 3. A 4. A 5. A 7. B 8. B 9. D 10. C 11. B 简答与提示：

6. C 12. C

2

|x|)中1 |x| 0，则1 |x|即1. B 由x x 2 0可得 1 x 2，又y ln(1

1 x 1，则ðRB {x|x≤-1或x≥1}，因此A (ðRB) [1,2)，故选B.

2. B 由题意可知：

1 ai(1 ai)21 2ai a21 a22a34

i i，因此222

1 ai(1 ai)(1 ai)1 a1 a1 a55

2a41 a23222

a 2 5a 5 3a 3a 4，化简得，则，由可知22

1 a51 a5

a 0，仅有a 2满足，故选B.

3. A 由于要取a，b，c中最大项，输出的x应当是a，b，c中的最大者，所以应

填比较x与c大小的语句c x，故选A.

4. A 该几何体由底半径为1的半圆锥与底面为边长等于2正方形的四棱锥组成，且高

1 11

8

，故选A. V 12

2 2

3 236

5. A 由题意可计算得a

1

xdx

1

3

x3

x2 130

1 13

230

3； 2

3

1 x212

b 1 xdx 1

2

2 1； 1 0 3 3 0

x43

c xdx

04

1

1

，综上a b c，故选A. 4

33

312

9

6. C 由a1a2a3 4 a1q与a4a5a6 12 a1q可得q 3，

3

an 1 an an 1 a1 q3n 3 324，因此q3n 6 81 34 q36，所以n 14，故选C.

7. B 由题意 ABC中 BAC 60

，BC

2BC 2R，由此R 2，S R 4 ，故选B. sinA

3 ) cos(2x ) cos[ (2x )] 44224

sin(2x )与y sin 2x 关于原点对称，故p为真命题；q

命题中

44

y sin2x cos2x 2sin 2x 取极小值时，2x 2k ，则

424

3

x k (k Z)，故q为假命题，则 p q为假命题，故选B.

8

21 4yx4yx

，即9. D x 2y (x 2y) 2 2 8，当且仅当xyxyxy

8. B p命题中y cos(2x

4y2 x2时等号成立. 由x 2y m2 2m恒成立，则m2 2m 8，

m2 2m 8 0，解得 4 m 2，故选D.

10. C

当|OA OB| AB|时，O，A，B三点为等

腰三角形的三个顶点，其中OA OB， AOB 120，从而圆心O到直线x y k 0(k 0)的距离为1，此

时k

k

|OA OB| AB|，又直

22

线与圆x y

4存在两交点，故k k的

取值范围为，故选C.

11. B 由题可知：双曲线离心率e1

|AB||CD|

与椭圆离心率e2

|DB| |DA||BD| |BC|

设|AD| |BC| t则|AB| 2t，|CD| 2t

2tcos ，|BD|

e2

0, 时，当 增大，cos 减小，导致e1减小

.

2

e1 e2 1. 故选B.

11**

12. C 对于②，假设M P {x|0 x }，则M {x|x≥，则M P ，

22

111*

因此②错误；对于③，假设M P {x|0 x≤，则 M，又 P，则

222

M P* ，因此③也错误，而①和④都是正确的，故选C.

e1

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. [1,5] 简答与提示： 13. 由题可知

14. 3

15.

16. 604

y 1y ( 1)

，即为求区域内的点与(0, 1)点连线斜xx 0

率k的取值范围，由图可知k 1,5 .

b2 c2 a2

c，14. 由正弦定理与余弦定理可知，sinB 6cosA sinC可化为b 6

2bc

22

化简可得b2 3(b2 c2 a2)，又a c 2b且b 0，可计算得b 3.

15. 设正四面体棱长为a

，则正四面体表面积为S1 4

为正四面体高的

2

a 2，其内切球半径4

11，即r ，因此内切球表面积为4

4S1 a22

S2 4 r

，则.

S2a26

6

16. 由f(x) f(x 5) 16，可知f(x 5) f(x) 16，则f(x 5) f(x 5) 0，

所以f(x)是以10为周期的周期函数. 在一个周期( 1,9]上，函数f(x) x2 2x在x ( 1,4]区间内有3个零点，在x (4,9]区间内无零点，故f(x)在一个周期上仅有3个零点，由于区间(3,2013]中包含201个周期，又x [0,3]时也存在一个零点

x 2，故f(x)在[0,2013]上的零点个数为3 201 1 604.

三、解答题（本大题必做题5小题，三选一中任选1小题，共70分） 17. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图像与性质的运用，以及三角函数的值域的有关知识.

【试题解析】解：(1)由图像得A 1，将(

T2 ，所以T 2 ，则 1；4362

f(x) sin(x )；(6分)

3

(2) 由于x [ ,

,1)代入得1 sin( )，而 ，所以 ，因此函数66223

6

]，

2 1

≤x ≤，所以 1≤sin(x )≤，所以f(x)的

33632

1

]. ( 12分) 2

18. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式，其中还包括对数的运算与裂项求和的应用技巧.

取值范围是[ 1,【试题解析】解：(1)由题

1

Sn 1 an 1 1 ①

21

Sn an 1 ②

2

111

①-②可得an 1 an 1 an 0，则an 1 an. (3分)

2231221

当n 1时 S1 a1 1，则a1 ，则{an}是以为首项，为公比的等比数列，

233321n 12n 1

因此an a1 q () n. (6分)

3332an

log33 2n 2n， (2)bn log3(8分) 41111111

所以 ( )， (10分)

bn bn 22n 2(n 2)4n(n 2)8nn 211111111111113Tn ( ) (1 )

81324n 1n 1nn 282n 1n 216

(12分)

19. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题以斜三棱柱为考查载体，考查平面几何的基础知识.同时题目指出侧面的一条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间直线垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) AA AC 2，且O为AC中点， 1 AC1

AO AC，又 侧面AAC 面A1AC， 111C 底面ABC，交线为AC，AO1 AO 平面ABC. (4分) 1

(2) 如图，以O为原点，分别以OB、OC、OA1所在直线为x、y、z轴，建立空

AC (0,1,，令平面A1AB的法向量为1

n (x,y,z)，则n AA1 n AB 0，而

AA1 (0,1，AB (1,1,0)，可求得一个法向

量n (3, ，所以

A(0, 1,0). 间直角坐标系，则由题可知B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1，

1

1

7|n| |AC|1

故直线AC1与平面A1AB所成角的正弦值为(3) 存在点E为线段BC1的中点.

证明：连结B1C交BC1于点M，连结AB1、OM，则M为BC1的中点，从而OM

. 7

(8分)

是 CAB1的一条中位线，OM//AB1，而AB1 平面A1AB，OM 平面A1AB，所以OM//平面A1AB，故BC1的中点M即为所求的E点. (12分) 20. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.

722

x0 y0 ①(1分)

4 33又PF1 PF2 ，( c x0, y0) (c x0, y0) ，

44

3222

即x0 c y0 ②

(2分)

4

①代入②得：c 1.

又e ，

x2

可得a b 1，故所求椭圆方程为 y2 1 (4分)

2

1416x222

(2)设直线l:y kx ，代入 y2 1，有(2k 1)x kx 0.

3392

4k 16

,xx . (6分) 设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1 x2 12

3(2k2 1)9(2k2 1)

uuuruuur

yM(0,m)若轴上存在定点满足题设，则MA (x1,y1 m)，MB (x2,y2 m)， uuuruuur

MAgMB x1x2 (y1 m)(y2 m) x1x2 y1y2 m(y1 y2) m2

11112

x1x2 (kx)(kx) m( x m121 )

333312m1

(k2 1)x1x2 k( m)(x1 x2) m2

339

18(m2 1)k2 (9m2 6m 15) (9分) 2

9(2k 1)

uuuruuur

由题意知，对任意实数k都有MAgMB 0恒成立，

【试题解析】解：

(1)设P(x0,y0)，由|OP| 即18(m2 1)k2 (9m2 6m 15) 0对k R成立.

2 m 1 0, 2解得m 1， (11分) 9m 6m 15 0,

在y轴上存在定点M(0,1)，使以AB为直径的圆恒过这个定点. (12分)

21. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.

【试题解析】解：由题意得：

f (x) (ex) (ax2 2x 2) ex (ax2 2x 2)

2

ex(ax2 2x 2) ex(2ax 2) aex(x )(x 2)； (2分)

a

(1) 由曲线y f(x)在点P(2,f(2))处的切线垂直于y轴，结合导数的几何意义得

22a 2

0，解得a 1； (4分) f (2) 0，即a e2 (2 )(2 2) 4ae2

aa

(2) 设|sinx| t(0≤t≤1)，则只需求当a 0时，函数y f(t)(0≤t≤1)的最小

值.

22

或x 2，而a 0，即 2. aa

22

从而函数f(x)在( , 2)和(, )上单调递增，在( 2,)上单调递减.

aa

2

当≥1时，即0 a≤2时，函数f(x)在[0,1]上为减函数，ymin f(1) (a 4)e； a

2

当0 1，即 a 2时，函数f(x)的极小值即为其在区间[0,1]上的最小值，

a

2

2

ymin f() 2ea.

a

综上可知，当0 a≤2时，函数f(|sinx|)的最小值为(a 4)e；当a 2时，函

令f (x) 0，解得x 数f(|sinx|)的最小值为 2e.

x

2

2a

(8分)

ex(x2 2x 2)

(3) 令e(x 2x 2) kx，显然x 0，则k .

x

ex(x2 2x 2)ex

构造函数g(x

) ，

g (x) 2(xx 1)(x .

令g (x) 0得x1 x2

1，x3 g(x)在( ,上单调递减，且g(

x)

0，当x无限减小时，g(x)保持恒负并无限接近于0，其图像在下方

无限靠近x轴负半轴；g(x)在(上单调递增，当x无限接近于0时，g(x)无限增大，其图像在左侧向上无限接近y轴正半轴，由于极小值g( 2e 0，

调递减，在 )

上单调递增，因此g

(x)在x 1处取得极大值g(1) 3e，在

x g 2

当x 0并无限靠近0时，g(x)无限减小，其图像无限靠近y轴负半轴，当x无限增大时，g(x)也由负值变为正值无限增大，

g(x)在区间 )内也存在一个零点. 函数g(x)的大致图像如图所示：

根据条件y kx与y f(x)的图像存在三个交点，即方程ex(x2 2x

2) kx有三

ex(x2 2x 2)个解，直线y k与函数g(x)

的图像有三个公共点.

因此

x

即

2

e从而 k 0或 2 k 3e，g( k

0或g k g(1)，k的取值范围是( 2 3e) ( 2e.

(12分)

22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲

【命题意图】本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质，以及圆中角的性质等知识.

【试题解析】证明(1)：已知AD为⊙M的直径，连接AB，则 BCE BAE，

CEF ABC 90 ，由点G为弧BD的中点可知 GAD BAE FCE，

CEEF

故 CEF∽ AGD，所以有，即AG EF CE GD. (5分) AGGD

(2)由(1)知 DFG CFE ADG，故 AGD∽ DGF，所以

GFEF2GFDGEF

. (10分) ，即2

DGAGCEAGCE

23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲

【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等.

2

os ，【试题解析】解：(1)对于C：由

4c得 4 cos ，进而x2 y2 4x；

x 5 对于l

：由 （t为参数）

，得y x

5)，即x 5 0.(5分)

y 1t

2

(2)由(1)可知C为圆，且圆心为(2,0)，半径为2，

则弦心距d

3

，

2弦长|PQ| ，因此以PQ为边的圆C

的内接矩形面积

(10分)

24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容.

【试题解析】解：(1) 当a

5时，f(x)S 2d |PQ|

x≥ 1 2≤x 1 x 2

|x 1| |x 2| 5≥0得 或 或 ，解得

2x 2≥0 2≥0 8 2x≥0

x≥1或x≤ 4．即函数f(x)的定义域为{x|x≥1或x≤ 4}. (5分)

(2) 由题可知|x 1| |x 2| a≥0恒成立，即a≤|x 1| |x 2|恒成立，而|x 1| |x 2|≥|(x 1) (x 2)| 1，所以a≤1，即a的取值范围为( ,1].

(10分)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3eh1.html