第十二届中环杯中学生思维能力训练活动七年级决赛详解

第十二届“中环杯”中小学生思维能力训练活动

七年级决赛

一、填空题：（5分?10）

1．已知(m?x)(?x)?(x?m)(?n)?5x?x2?6对任何有理数x都成立，则

m(n?1)?n(m?1)的值为（-7）。

考点分析：多项式恒等式。

化简(m?x)(?x)?(x?m)(?n)，得到x2?(m?n)x?mn?0，故：m?n??5，

mn??6。所以m(n?1)?n(m?1)?2mn?(m?n)??7

2．令自然数x,y,m,n满足

xym5 ???，则x?y?m?n的最小值为（1157）。

ymn8考点分析：比和比例。

8864512x，n?x，求x?y?m?n的最小值，根据题意，可设y?x，m?y?5525125则只要令x?125，即可满足题意，此时，n?512，m?320，y?200，所以：

x?y?m?n?1157。

20122011?201220133．N?10?的整数部分为（20119）。 201120122011?2012考点分析：估算。

20122011?2012201320122012N?10??10?(?2011) 201120112011?201220122011?2012201220122012?设x?201120122011?20121：

120112011?()?120122012显然有0.9995?11?12012?x?1，所以，N的整数部分为20119。

4．如图，?1??2??3????14??15?（900?）。

考点分析：多边形内角和。

?1??2??3????14??15其实就是多边形ABCFIKN的内角和，为900?。

5．有正数a，使得关于x的代数式x?1?x?6?2x?a的最小值为8，那么a的最小值是（6.5）。

考点分析：绝对值最值问题。

根据绝对值的几何意义，a不会在-1和6之间（这样最小值为7），所以a?6，则当x?6时取得最小值，故a?6.5。

6．已知x10?6x5?4x2?4xy?y2?9?0，则x5?x4y?x3y2?x2y3?xy4?y5?（189）。 考点分析：配方，代数式求值。

x10?6x5?4x2?4xy?y2?9?(x5?3)2?(2x?y)2?0 所以，x5?3，2x?y

故，x?xy?xy?xy?xy?y?189。

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7．青少年科技报社采购办公用品A和B。用3000元可购买20个A和27个B。尚余十多元；也可以购买25个A和14个B，尚余十多元。已知A、B的单价都是整数，则A的单价为（98），B的单价为（38）。 考点分析：不定方程。

设A的单价为x，B的单价为y，两次分别剩余m、n元10?m,n?20，得到方程组：

?20x?27y?3000?m3000?5m?4ny?，解得 ?79?25x?14y?3000?n所以，

29403030?y?，得到y?38，带入得到x?98 7979

?x?3?x??2?x??38．方程(6?x)(6?y)?6的有理数解为（?或?或?或

?y??2?y?3?y?2?x?2）。 ?y??3?考点分析：绝对值方程。

（1）(6?x)(6?y)?6，化简：6(x?y)?xy?6?6

?x1?3?x2??2?x?y?1所以：?，故?，?

y??2xy??6y?3?1??2（2）(6?x)(6?y)??6，化简：6(x?y)?xy??6?6

?x3??3?x4?2?x?y??1所以：?，故?，?

y?2xy??6y??3?3??4

9. 已知x?by?y?ax?bx?ay?1，则a2?b2?ab?a?b的值为（1）。 考点分析：含参数的二元一次方程组。

b?1?x???x?by?11?ab，由题意：?，得到?代入bx?ay?1，所以，a2?b2?ab?a?b?1。

a?1y?ax?1??y?1?ab?

10. 已知两个自然数a、b的乘积减去这两个自然数的和，所得的结果恰等于他

b为们的最大公约数与最小公倍数之和，那么所有满足条件的a、（?3,6?，?4,6?，

。 ?4,4?）

考点分析：约数与倍数，因式分解。 假设?a,b??m，a?Am，b?Bm：

ABm2?Am?Bm?ABm?m，即m??A?1??B?1?，显然有1?m?4：

AB（1）m?2：?A?1??B?1??2，A?2，B?3，此时?a,b???4,6? （2）m?3：?2A?1??2B?1??3，A?1，B?2，此时?a,b???3,6?

（3）m?4：只能是A?B?1，此时，?a,b???4,4?

二、动手动脑题：（10分?5）

1．求证：?x2?4??x?3??x?7??100的值为非负数。 考点分析：因式分解。

?x2?4??x?3??x?7??100??x?2??x?2??x?3??x?7??100??x2?5x?14??x2?5x?6??100 ??x2?5x??8?x2?5x??162??x2?5x?4?2值为非负数，即得证。

1724362．解分式方程：x??2?3?4。

xxx考点分析：分式方程，因式分解。

化成整式方程为：x4?4x3?17x2?24x?36?0

?x4?4x3?12x2???5x2?24x?36??0

x2?x?6??x?2???5x?6??x?6??0

?x?6??x3?2x2?5x?6??0 ?x?6??x3?2x2?x?6x?6??0

xx?1??x?6????2?6?x?1???0

??x?6??x?1??x2?x?6??0

?x?6??x?1??x?2??x?3??0

则x?6或x?2或x??1或x??3。

3．如图，等腰直角?ABC的直角边长为2，M为AB中点，P为BC上任一点，将PA?PM的最大值和最小值分别记为s、t，求s?t的值。

AAMMBP'PCM'BCP

A'

考点分析：图形运动：对称。

作点M关于边BC的对称点M'，连接AM'交BC于P：t?AM'?22?12?5 当点P运动到点C时，s?CA?CM?2?5 所以s?t?2。

abc???0，求证：4．已知222bc?aca?bab?cabc???0。 222222?bc?a??ca?b??ab?c?考点分析：分式恒等变形。

abcab2?bc2?ac2?b2c????? 22222bc?aca?bab?cca?bab?c????所以

a?bc?a2?222ab2?bc2?ac2?b2c?? 222ca?bab?cbc?a??????同理有：

b?ca?b?ca2b?ac2?bc2?a2c?? 222?ca?b??ab?c??bc?a?a2c?ab2?b2c?a2b?? 222ca?bab?cbc?a???????ab?c2?所以

2a22?bc?a??ca?b??ab?c?22?b?c22ab2?bc2?ac2?b2ca2b?ac2?bc2?a2ca2c?ab2?b2c?a2b????222222?ca?b??ab?c??bc?a??ca?b??ab?c??bc?a??ca?b2??ab?c2??bc?a2??0

5.请分别将卡纸上的2个三角形减成3块，然后各自拼接成一个矩形。要求运用两种不同的拼接方法。请将拼接好的两个矩形粘在答题区内，并分别简要说明剪拼步骤。

AABC

BC

考点分析：图形的剪拼。

取AB边的中点D和AC边的中点E：

（1） 过点A作AF?DE于F：剪拼成长方形

（2） 过点D作DF?BC于F，过点E作EG?BC于G：剪拼成长方形

AADFEDEBCBFGC

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