江苏苏北四市2011届高三第一次调研考试数学试题(word版)
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江苏苏北四市2011届高三第一次调研考试
苏北四市2011届高三第一次调研考试
数学Ⅰ试题
参考公式:
样本数据x1,x2, ,xn的方差
s2
1n1n2
(x x)x xi i
ni 1ni 1. ,其中
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.若复数z1 1 i,z2 2 4i,其中i是虚数单位,则复数z1z2的虚部是 ▲ . 2.已知集合A ( ,0],B {1,3,a},若A B ,则实数a的取值范围是 ▲ . 3.若函数
f(x)
2
m2x 1为奇函数,则实数m ▲ .
4.若抛物线的焦点坐标为(2,0),则抛物线的标准方程 是 ▲ .
5.从某项综合能力测试中抽取10人的成绩,统计如 下表,则这10人成绩的方差为 ▲ .
6.如图是一个算法的流程图,则最后输出的S ▲ .
7.已知直线l1:ax 3y 1 0,l2:2x (a 1)y 1 0,若l1∥l2,则实数a的值是 ▲ . 8.一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)玩具的四个面上分别标有1,2,3,
4这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具,则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 ▲ .
π3πy cos( ) (,π)
y f(x) 45,29.已知,则cos ▲ .
10.已知函数y f(x)及其导函数y f(x)的图象如图所示,
y f (x)
1 P(2,0)
(第10题图)
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则曲线y f(x)在点P处的切线方程是 ▲ . MA MB MC 0,若 11.在△ABC中,点M满足
AB AC mAM 0,则实数m的值为 ▲ .
12.设m,n是两条不同的直线, , , 是三个不同的平面,给出下列命题: ①若m , ,则m ; ②若m// ,m ,则 ;
③若 , ,则 ;[来源:学科网ZXXK] ④若 m, n,m//n,则 // .
上面命题中,真命题的序号是 ▲ (写出所有真命题的序号)..w.w.k.s
22
13.若关于x的不等式(2x 1)≤ax的解集中的整数恰有2个,则实数a的取值范围
是 ▲ .[来源:学科网]
14.已知数列{an},{bn}满足a1 1,a2 2,b1 2,且对任意的正整数i,j,k,l,当i j k l12010
(ai bi) ai bj ak bl2010i 1
时,都有,则的值是 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定位置内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)
如图,在△ABC中,已知AB 3,AC 6,BC 7,AD是 BAC平分线. (1)求证:DC 2BD;
(2)求AB DC的值.
16.(本小题满分14分)
B (第15题图)
C
如图,在四棱锥P ABCD中,四边形ABCD是菱形,PB PD,且E,F分别是BC, CD的中点. 求证:
(1)EF∥平面PBD;
A
B
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(2)平面PEF⊥平面PAC.
17.(本小题满分14分)
D
在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a2 2a1 3,且3a2,a4,5a3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
ab
(2)设bn log3an,求数列 nn 的前n项和Sn.
18.(本小题满分16分)
x2y2
184已知椭圆E:的左焦点为F,左准线l与x轴的交点是圆C的圆心,圆C恰好经过坐
标原点O,设G是圆C上任意一点.
(1)求圆C的方程;
(2)若直线FG与直线l交于点T,且G为线段FT的中点,求直线FG被圆C所截得的弦长;
GF1
GP2?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理(3)在平面上是否存在一点P,使得
由.
19.(本小题满分16分)[来源:学科网ZXXK]
如图1,OA,OB是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤,线段CD和曲线EF分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要,拟过栈桥CD上某点M分别修建与OA,OB平行的栈桥MG,MK,且以MG,MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK.建立如图2所示的直角坐标系,测得CD的方程是x 2y 20(0 x 20),曲线EF的方程是xy 200(x 0),设点M的坐标为(s,t).(题
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中所涉及长度单位均为米,栈桥及防波堤都不计宽度) (1)求三角形观光平台MGK面积的最小值;
(2)若要使 MGK的面积不小于320平方米,求t的范围. 图1
20.(本小题满分16分)
x
f(x) e ax 1(a R,且a为常数). 已知函数
图2
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a 0时,若方程f(x) 0只有一解,求a的值; (3)若对所有x≥0都有f(x)≥f( x),求a的取值范围.
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1:几何证明选讲 (本小题满分10分)
如图,AB是⊙O的直径,弦BD、CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证: (1) AED AFD;
2
(2)AB BE BD AE AC.
E
F
A
C
O
B
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B.选修4-2:矩阵与变换 (本小题满分10分)
10 M 02 2
2x 2xy 1 0 ,求曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程,其中
10 N
11 .
C.选修4-4:坐标系与参数方程[来源:学科网] (本小题满分10分)
以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线l的极坐标方程为 cos 2 sin
D.选修4-5:不等式选讲 (本小题满分10分)
若存在实数x
a成立,求常数a的取值范围.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)
如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,已知AB 4,AD 3,AA1 2,E,F分别是棱AB,BC 上的点,且EB FB 1.
(1)求异面直线EC1与FD1所成角的余弦值;
(2)试在面A1B1C1D1上确定一点G,使DG 平面D1EF.
D1
A1
D
F
A
E
(第22题图)
B1
C x 4cos ,
( 为参数)
0,曲线C的参数方程为 y 2sin ,
又直线l与曲线C交于A,B两点,求线段AB的长.
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23.(本小题满分10分)
2n 1*
C 1)(n N)的整数部分为An,小数部分为Bn. n设二项展开式
(1)计算C1B1,C2B2的值; (2)求
CnBn.
宿迁市2011届高三第一次调研试卷 数学1答案 一填空题:
12
1. 2, 2.a≤0, 3. 1, 4. y 8x, 5. 5, 6. 36, 7.
2
3
3, 8.4,
9.,
925[,)
10. x y 2 0, 11. 3, 12. ②, 13.49, 14. 2012.
二、解答题
ABBD
15.(1)在 ABD中,由正弦定理得sin ADBsin BAD①,
ACDC
在 ACD中,由正弦定理得sin ADCsin CAD②, 2分 又AD平分 BAC,
所以 BAD CAD,sin BAD sin CAD, sin ADB sin( ADC) sin ADC
,
BDAB3
DCAC6,所以DC 2BD. 6分 由①②得
(2)因为DC 2BD,所以
2
3.
AB2 BC2 AC232 72 6211
cosB
2AB BC2 3 721, 10分 在△ABC中,因为
2 2
AB DC AB (BC) |AB| |BC|cos( B)
33所以
21122
3 7 ( ) 3213. 14分 P
16.(1)因为E,F分别是BC,CD的中点, 所以EF∥BD, 2分
A B
E (第16题图)
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因为EF 平面PBD,BD 平面PBD,
所以EF∥平面PBD. 6分 (2)设BD交AC于点O,连结PO,
因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC,O是BD中点,[来源:学。科。网] 又PB PD,所以BD⊥PO,
又EF∥BD,所以EF⊥AC,EF⊥PO. 10分 又AC PO O,AC 平面PAC,PO 平面PAC,
所以EF⊥平面PAC. 12分 因为EF 平面PEF,所以平面PEF⊥平面PAC. 14分 17.(1)设
D
{an}公比为q,由题意得q 0,
a2 2a1 3, a1(q 2) 3, 23a2 5a3 2a4, 2q 5q 3 0, 2分 且即
6
a ,1 5 a1 3,
q 1
q 3,或 2(舍去)解之得 , 4分
n 1n an a 3 3 3n所以数列的通项公式为,n N. 6分 n
b loga nab n 3n3nnn(2)由(1)可得,所以. 8分 23n
S 1 3 2 3 3 3 n 3所以n, 234n 13S 1 3 2 3 3 3 n 3n所以,
23nn 1
2S 3 (3 3 3) n 3n两式相减得, 10分
(3 32 33 3n) n 3n 1
3(1 3n)3 (2n 1) 3n 1n 1
n 3
1 32,
3 (2n 1) 3n 1
Sn anbn 4所以数列的前n项和为. 14分
x2y2
18418.(1)由椭圆E:,得l:x 4,C( 4,0),F( 2,0),
22
(x 4) y 16. 4分 又圆C过原点,所以圆C的方程为
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22
G( 3,y)(x 4) y
16,得yG G(2)由题意,得,代入
所以FG
的斜率为k ,FG
的方程为y x 2), 8分 (注意:若点G或FG方程只写一种情况扣1分) 所以C( 4,0)到FG
的距离为
d
7
,直线FG被圆C
截得弦长为.
故直线FG被圆C截得弦长为7. 10分
1GF1
2G(x,y)P(s,t)GP200(3)设,,则由,
2222
3(x y) (16 2s)x 2ty 16 s t 0①, 12分 0000整理得
2222
G(x,y)x y 8x0 0②, (x 4) y 160000又在圆C:上,所以
22
(2s 8)x 2ty 16 s t 0, 14分 00②代入①得
又由
G(x0,y0)为圆C 上任意一点可知,
2s 8 0,
2t 0,
16 s2 t2 0,
解得s 4,t 0.
所以在平面上存在一点P,其坐标为(4,0). 16分
100100G(,t)K(s,)
ts(s 0,t 0), 19.(1)由题意,得,
又因为M(s,t)在线段CD:x 2y 20(0≤x≤20)上, 所以s 2t 20(0 s 20),
S MGK
11200200140000
MG MK ( s)( t) (st 400)22ts2st 4分
由20 s 2t 0 st≤50,当且仅当s 10,t 5时等号成立. 6分
140000
f(u) S MGK (u 400)
2u令st u,则,u (0,50]. f (u)
又
110000
(1 ) 02u2,故f(u)在(0,50]上单调递减,
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(注意:若f(u)在(0,50]上单调递减未证明扣1分) 所以
f(u)min f(50) 225,此时s 10,t 5.
所以三角形MGK面积的最小值为225平方米. 10分 (2)由题意得f(u)≥320,
140000(u 400) 3202u当,解得u 40或u 1000(舍去),
由(1)知st≤40, 14分 即(20 2t)t≤
40,解之得5t≤5所以t
的范围是[5. 16分[来源:学科网ZXXK]
x
f(x) e a, 1分 20.(1)
当a≥0时,f(x) 0,f(x)在( , )上是单调增函数. 3分[来源:学科
网ZXXK] 当a 0时,
由f(x) 0,得x ln( a),f(x)在(ln( a), )上是单调增函数; 由f(x) 0,得x ln( a),f(x)在( ,ln( a))上是单调减函数.
综上,a≥0时,f(x)的单调增区间是( , ).
a 0时,f(x)的单调增区间是(ln( a), ),单调减区间是( ,ln( a)). 6分
f(x)min f(ln( a)),
(2)由(1)知,当a 0,x ln( a)时,f(x)最小,即
由方程f(x) 0只有一解,得f(ln( a)) 0,又考虑到f(0) 0,
所以ln( a) 0,解得a 1. 10分 (3)当x≥0时,f(x)≥f( x)恒成立, 即得e ax≥e
x
x
ax恒成立,即得ex e x 2ax≥0恒成立,
x x
h(x) e e 2ax(x≥0)令,即当x≥0时,h(x)≥0恒成立.
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x x h(x) e e
2ah(x)≥2a 2 2a,当x 0时等号成立. 又,且
12分 ①当a 1时,h(x) 0,
所以h(x)在[0, )上是增函数,故h(x)≥h(0) 0恒成立. ②当a 1时,若x 0,h(x) 0, 若x 0,h(x) 0,
所以h(x)在[0, )上是增函数,故h(x)≥h(0) 0恒成立. 14分
x1 ln( a h(x)
0a 1③当时,方程的正根为,
此时,若所以,
x (0,x1),则h (x) 0,故h(x)在该区间为减函数.
x (0,x1)时,h(x) h(0) 0,与x≥0时,h(x)≥0恒成立矛盾.
综上,满足条件的a的取值范围是[ 1, ). 16分 数学Ⅱ(附加题)参考答案 21.【选做题】
A.选修4-1:几何证明选讲 证明:(1)连结AD.
因为AB为圆的直径,所以 ADB 90 .
E
F
AB, EFA 90 , 又EF⊥
则A、D、E、F四点共圆,
A
C
O
B
(第21—A题图)
DEA DFA. 5分 ∴
(2)由(1)知,BD BE BA BF.
AEF, 连结BC,显然 ABC∽
ABAC
AF,即AB AF AE AC, ∴AE
2
BE BD AE AC BA BF AB AF AB(BF AF) AB∴. 10
分
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B.选修4-2:矩阵与变换
10 10 10 02 11 22
, 4 = 解:MN=
分
(x ,y )设P是曲线2x 2xy 1 0上任意一点,点P在矩阵MN对应的变换下变为点 x,y)P(,
2
x 10 x' x
y' 2x 2y y 22 则有
于是x x,分
2 2x 2x y 1 0得xy 1, 代入
2
所以曲线2x 2xy 1 0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy 1. 10
y x
y
2. 8
分
C.选修4-4:坐标系与参数方程
x2y2
1
x 2y 0解:直线l的直角坐标方程为,曲线C的普通方程为164,
6分 两
者
联
立
解
得
A
和
B
的
坐
标
为
( 2,2)
和
(22, 2), 8分
∴
AB (42)2 (22)2 2.
10分
D.选修4-5:不等式选讲 解
:
26
分 由
柯
西
不
x
等式
得
12≤(3 1)(x 2 14 x) 64, 8分
8,当且仅当x 10时取“=”,
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于是,常数
a
的取值范围是
( ,8). 10分[来源:]
【必做题】
DD1分别为x轴,y轴,z轴的正向建立空间直角坐
22.解:(1)以D为原点,DA,DC,
标系,
则有D(0,0,0),
D1(0,0,2),C1(0,4,2),E(3,3,0),F(2,4,0),
EC1 ( 3,1,2),FD1 ( 2, 4,2). 3于是
分 设
EC1与FD1所成角为 ,则
EC1 FD1 cos
|EC1||FD1|∴
异
面
直
线
.[来源:学。科。网]
余弦
值
为
EC1
与
FD1
所成角的
14. 5分
(2)因点G在平面A1B1C1D1上,故可设G(x,y,2).
(x,y,2),FD1 ( 2, 4,2),EF ( 1,1,0).
7分
2 x , 3
DG FD1 0, 2x 4y 4 0,
y 2. 3 DG EF 0得 x y 0,由 解得
2
故当点G在面A1B1C1D1上,且到A1D1,C1D1距离均为3时,DG 平面D1EF.
…10分
2n 1
C (3 1)n23.解:(1)因为,
所以C11, A1 2,
B1 1,所以C1B1 2; 2分
3
又C2 1) 10 A2
20,小数部分B2 10,
所以C2B2 8. 4分
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2n 102n 112n 22n 22n 1
C ( 1) C() C() C C2n 12n 12n 12n 1,① (2)因为n
2n 102n 112n 22n 22n 1
(3 1) C() C() C C2n 12n 12n 12n 1② 而
①—②得:
12n 232n 42n 1* C2 C2(3 1)2n 1—( 1)2n 1=2(C2n 1(3)n 1()n 1) N 8分 2n 12n 12n 12n 1
A B (3 1)(3 1)(3 1)3 1)0 n 1,所以而—(,n[来源:学*
科*网]
2n 12n 12n 1
CB ( 1)(3 1) 2nn所以. 10分 2n 1
CB 2(注:若猜想出nn而未给出证明只给2分
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