陕西省西安市2011届高三五大名校第一次模拟考试（数学理）

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长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学

高2011届第一次模拟考试

数学（理）试题

[来源学科网]命题学校：师大附中 审题学校：交大附中

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.

1．已知集合A?{x|x|?2,x?R},B?{x|x?2,x?Z},则AB?

(A) (0,2) (B) [0,2] (C){0,2} (D) {0,1,2}

2．已知复数z?1?3i，z是z的共轭复数，则z的模等于 3?i1 4

(A) 4 (B) 2 (C)1 (D)

3．“a??2”是“函数f(x)?ax?3在区间[?1,2]上存在零点x0”的

(A)充分非必要条件

(C)充分必要条件

(B)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件

4．设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a1??11,a3?a7??6,则当Sn取最小值时,

n等于

(A) 8

(B)7

(C) 6

(D) 9

5．如果执行右面的框图，输入N=6，则输出的数等于 (A) (B)

6 5来源:Zxxk.Com]5 67(C) 66(D)

7x6．设偶函数f(x)满足f(x)?2?4 (x?0），则xf?x?2??0=

?? (A) xx??2或x?4 (B)xx?0或x?4 (C)xx?0或x?6 (D) xx??2或x?2

????????知识改变命运

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7．若cos???4，?是第三象限的角，则51?tan1?tan??2? 2(A) 2 (B)

11 (C) ?2 (D) ? 228．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶

点都在一个球面上，则该球的表面积为

16? 319? (C) 12(A) 19? 34(D) ?

3(B)

9．已知“整数对”按如下规律排成一列：?1,1?，?1,2?，?2,1?，?1,3?，?2,2?，?3,1?，

?1,4?，?2,3?，?3,2?，?4,1?，……，则第60个数对是

(A) ?7,5? (B) ?5,7? (C) ?2,10? (D) ?10,1?

10．已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(?12,?15),则E的方程式为

x2y2??1 (A)

36x2y2x2y2x2y2??1 (C)??1 (D) ??1 (B)

634554二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．已知抛物线y2?2px(p?0)的准线与圆x2?y2?6x?7?0相切，则p的值为 ．

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

?x2x?[0,1]e?12． 设f(x)??1（e为自然对数的底数），则?f(x)dx的值为_____ ____.

0x?(1,e]??x13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，

即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 . 14．若(2x?3)5?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5，则a1?2a2?3a3?4a4?5a5等于

_____ ____. 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A．（不等式选讲选做题）如果存在实数x使不等式x?1?x?2?k成立，则实数k的取值范围是_________． B．（几何证明选讲选做题）如图，圆O是?ABC的外接过点C的切线交AB的延长线于点D，

CDOBA圆，

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CD?27,AB?BC?3，则AC的长为 ．

C．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0??＜2?）中，曲线??2sin?与

?cos???1的交点的极坐标为______________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，满分75分）.

16.（本小题满分12分）

已知数列{an}满足：Sn?1?an(n?N*)，其中Sn为数列{an}的前n项和.

（Ⅰ）试求{an}的通项公式；[来源:Zxxk.Com][来源:学|科|网] （Ⅱ）若数列{bn}满足：bn?n(n?N*)，试求{bn}的前n项和公式Tn. an17．(本小题满分12分) 已知向量a=(cos?x,sin?x)，b=(cos?x,3cos?x)，其中(0???2).函数，

1f(x)?a?b?其图象的一条对称轴为x??．

26

(I)求函数f(x)的表达式及单调递增区间；

(Ⅱ)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若f()=1，b=l， S△ABC=3，求a的值．

18.（本小题满分12分） 某食品厂为了检查一条自动包装

流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490,495]，（495,500]，……，（510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示.

（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过500 克的产品数量;

（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量， 求Y的分布列及数学期望.

19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA?底面ABCD,?DAB为直角，AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点．

（Ⅰ）试证：AB?平面BEF； （Ⅱ）设PA＝k ·AB，若平面EBD与平面BDC的夹角大

A2知识改变命运

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于45?，求k的取值范围．

1x2y220．（本小题满分13分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，以原点为圆心，椭

2ab圆的短半轴为半径的圆与直线x?y?6?0相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P(4,0)，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q．

21．（本小题满分14分）已知函数f(x)?x，函数g(x)??f(x)?sinx是区间[-1，1]上的减函数.

（I）求?的最大值；

（II）若g(x)?t2??t?1在x?[?1,1]上恒成立，求t的取值范围； （Ⅲ）讨论关于x的方程

lnx?x2?2ex?m的根的个数． f(x)长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学

高2011届第一次模拟考试

数学（理）答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,满分50分，在每小题给出的四个选项

中只有一项是正确的．）题号 答案 1 2 C 来源学#科#网Z#X#X#K] 4 C 5 D 6 B 7 C 8 B 9 B 10 C 3 A D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

411．2 12． 13．0．128 14．10

33?3715．.A. k??3 B. C. (2,)

24三、解答题：（本大题共6小题，共75分）

16.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）?Sn?1?an ①

?Sn?1?1?an?1 ②

知识改变命运

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②-①得an?1??an?1?an ?an?1?又n?1时，a1?1?a1?a1?1an,(n?N*) 21 2[?an?11n?11?()?()n,(n?N*)……………………6分 222（Ⅱ）bn?n?n?2n,(n?N*) an?Tn?1?2?2?22?3?23???n?2n ③

?2Tn?1?22?2?23?3?24???n?2n?1④

?Tn?2?22?23???2n?n?2n?1③-④得

2(1?2n)??n?2n?11?2

整理得：Tn?(n?1)2n?1?2,n?N*…………12分-

由余弦定理得a?4?1?2?4?1cos60??13，……11分 故a?13…………………………………………………12分 18.（本小题满分12分）解：（I）重量超过505克的产品数量是

22240?(0.07?5?0.05?5?0.01?5)?26件；…………4分

（Ⅱ）Y的所有可能取值为0，1，2；重量超过505克的产品数量是

来源学科网ZXXK]

40?(0.05?5?0.01?5)?12件, 重量未超过505克的产品数量是28件.

2112C28C12C28C12635611，P(Y?1)?，，……8分 P(Y?0)?2??P(Y?1)??22C40130C40130C40130Y的分布列为

…………10分

Y的期望为

Y P 0 63 1301 2 56 13011 130知识改变命运

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EY?0?63561139?1??2?? …………12分 13013013065

19.(本小题满分12分)

（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且?DAB为直角，故ABFD是矩形，从而AB?BF．

又PA?底面ABCD, 所以平面PAD?平面ABCD， 因为AB?AD，故AB?平面PAD,所以AB?PD，

在?PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF//PD，所以AB?EF． 由此得AB?平面BEF． …………6分

（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系， 设AB的长为1，则BD?(?1,2,0),BE?(0,1,),

设平面CDB的法向量为n1?(0,0,1)，平面EDB的法向量为n2?(x,y,z)， 则?k2??n2?BD?0

??n2?BE?0?x?2y?0?2?，取y?1，可得n2?(2,1,?) kz??y??0k?2?设二面角E?BD?C的大小为?，

|n1?n2||n1|?|n2|2k22?1?4k22 2则cos??|cos?n1,n2?|???化简得k?2425，则k?.…………12分 5520．（本小题满分13分）

c142c2a2?b2122解（Ⅰ）由题意知e??，所以e?2?．即a?b． ?a23aa246?3，所以a2?4，b2?3． 又因为b?1?1x2y2故椭圆C的方程为??1．…………4分

43（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y?k(x?4)．…5分

?y?k(x?4),?由?x2y2得(4k2?3)x2?32k2x?64k2?12?0． ①…………6分

?1.??3?4知识改变命运

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设点B(x1,y1)，E(x2,y2)，则A(x1,?y1)． 直线AE的方程为y?y2?令y?0，得x?x2?y2?y1(x?x2)． x2?x1y2(x2?x1)．

y2?y12x1x2?4(x1?x2)．②

x1?x2?8将y1?k(x1?4)，y2?k(x2?4)代入整理，得x?…………10分

32k264k2?12由①得x1?x2?2，x1x2?代入②整理，得x?1． 24k?34k?3所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,0)…………13分

21．（本小题满分14分）解：（I）f(x)?x,?g(x)??x?sinx，

?g(x)在[?1,1]上单调递减，?g'(x)???cosx?0

????cosx在[-1，1]上恒成立，????1，故?的最大值为?1.……4分

（II）由题意[g(x)]max?g(?1)????sin1,

，恒成立， ?只需???sin1?t2??t?1,?(t?1)??t2?sin?1?0（其中???1）令h(?)?(t?1)??t2?sin1?1?0(???1)， 则??t?1?02??t?1?t?sin1?1?0，???t??12,而t?t?sin1?0恒成立， 2?t?t?sin1?0?t??1

（Ⅲ）由

…………9分

lnxlnx??x2?2ex?m. f(x)xlnx,f2(x)?x2?2ex?m, x1?lnx?f1'(x)?, 当x?(0,e)时,f1'(x)?0, ?f1(x)在?0,e?上为增函数； 2x令f1(x)?当x??e,???时，f1(x)?0, ?f1(x)在?e,???为减函数；

'当x?e时,[f1(x)]max?f1(e)?而f2(x)?(x?e)?m?e,

221, e11?当m?e2?,即m?e2?时,方程无解；

ee知识改变命运

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