2009高考数学填空题技巧2

2009高考数学填空题技巧2.txt——某天你一定会感谢那个遗弃你的人，感谢那个你曾深爱着却置之你不顾的人。做一个没心没肺的人,比什么都强。________舍不得又怎样到最后还不是说散就散。 本文由hljamay贡献

doc文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 搏众高考网 www.gaokao.net.cn 数学 怎样解填空题 【考点梳理】 考点梳理】 一,题型特点 填空题和选择题同属客观性试题,它们有许多共同特点:其形态短小精悍,考查目标集 中,答案简短,明确,具体,不必填写解答过程,评分客观,公正,准确等等. 不过填空题和选择题也有质的区别.首先,表现为填空题没有备选项.因此,解答时既 有不受诱误的干扰之好处,又有缺乏提示的帮助之不足,对考生独立思考和求解,在能力要 求上会高一些,长期以来,填空题的答对率一直低于选择题的答对率,也许这就是一个重要 的原因. 其次, 填空题的结构, 往往是在一个正确的命题或断言中, 抽去其中的一些内容 (既 可以是条件,也可以是结论) ,留下空位,让考生独立填上,考查方法比较灵活.在对题目 的阅读理解上,较之选择题,有时会显得较为费劲.当然并非常常如此,这将取决于命题者 对试题的设计意图. 填空题与解答题比较,同属提供型的试题,但也有本质的区别.首先,解答题应答时, 考生不仅要提供出最后的结论,还得写出或说出解答过程的主要步骤,提供合理,合法的说 明.填空题则无此要求,只要填写结果,省略过程,而且所填结果应力求简练,概括和准确. 其次,试题内涵,解答题比起填空题要丰富得多.填空题的考点少,目标集中,否则,试题 的区分度差,其考试信度和效度都难以得到保证.这是因为:填空题要是考点多,解答过程 长,影响结论的因素多,那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正原因.有的可能是一 窍不通,入手就错了,有的可能只是到了最后一步才出错,但他们在答卷上表现出来的情况 一样, 得相同的成绩, 尽管它们的水平存在很大的差异. 对于解答题, 则不会出现这个情况, 这是因为解答题成绩的评定不仅看最后的结论, 还要看其推演和论证过程, 分情况评定分数, 用以反映其差别,因而解答题命题的自由度,较之填空题大得多.由此可见,填空题这种题 型介于选择题与解答题这两种题型之间,而且确实是一种独立的题型,有其固有的特点. 二,考查功能 1.填空题的考查功能大体上与选择题的考查功能相当. .填空题的考查功能大体上与选择题的考查功能相当. 同选择题一样,要真正发挥好填空题的考查功能,同样要群体效应.但是,由于填空题 的应答速度难以追上选择题的应答速度,因此在题量的使用上,难免又要受到制约.从这一 点看,一组好的填空题虽然也能在较大的范围内考查基础知识,基本技能和基本思想方法,

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但在范围的大小和测试的准确性方面填空题的功能要弱于选择题. 不过, 在考查的深入程度 方面,填空题要优于选择题.作为数学填空题,绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和 概念 (性质) 判断型的试题, 应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断, 几乎没有间接方法可言,更是无从猜答,懂就是懂,不懂就是不懂,难有虚假,因而考查的 深刻性往往优于选择题.但与解答题相比其考查的深度还是差得多.就计算和推理来说,填 空题始终都是控制在低层次上的. 2.填空题的另一个考查功能,就是有效地考查阅读能力,观察和分析能力. .填空题的另一个考查功能,就是有效地考查阅读能力,观察和分析能力. 在高考数学考试中, 由于受到考试时间和试卷篇幅的限制, 在权衡各种题型的利弊和考 查功能的互补时,填空题由于其特点和功能的限制,往往被放在较轻的位置上,题量不多. 三,思想方法 同选择题一样,填空题也属小题,其解题的基本原则是\小题不能大做\解题的基本 策略是:巧做.解题的基本方法一般有:直接求解法,图像法和特殊化法(特殊值法,特殊 函数法,特殊角法,特殊数列法,图形特殊位置法,特殊点法,特殊方程法,特殊模型法) 等. 【例题解析 例

题解析】 例题解析 一,直接求解法——直接从题设条件出发,利用定义,性质,定理,公式等,经过变形, 直接求解法——直接从题设条件出发,利用定义,性质,定理,公式等,经过变形, ——直接从题设条件出发 推理,计算,判断得到结论的方法,称之为直接求解法. 推理,计算,判断得到结论的方法,称之为直接求解法.它是解填空题的常用的基本 方法.使用直接法解填空题,要善于透过现象抓本质,自觉地,有意识地采取灵活, 方法.使用直接法解填空题,要善于透过现象抓本质,自觉地,有意识地采取灵活, 简捷的解法. 简捷的解法. 例 1 已知数列{an},{bn}都是等差数列,a1=0,b1= -4,用 Sk,S′k,分别表示数列{an}, {bn}的前 k 项和(k 是正整数) ,若 Sk+S′k =0,则 ak+bk 的值为 解 法一 直接应用等差数列求和公式 Sk= 又 a1+b1= -4, ∴ak+bk=4. ,于是有 a1+a2+b1+b2=0,因而 a2+b2=4, 法二 由题意可取 k=2(注意:k≠1,为什么?) 即 ak+bk=4. 例 2 乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员, 5 名参加比赛. 名主力队员要安排在第 派 3 一,三,五位置,其余 7 名队员选 2 名安排在第二,四位置,那么不同的出场安排共 有种(用数字作答) . .

k (a1 + a k ) k (a1 + a k ) k (b1 + bk ) , 得 + =0, 2 2 2 搏众高考网 -2-

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其余 7 名队员选 2 名安排在第二, 四位置上有 A7 种 解 三名主力队员的排法有 A3 种, 排法,故共有排法数 A33A72=252 种. 例 3 如图 14-1,E,F 分别为正方体的面 ADD1A1,面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是 (要求:把可能的图的序号都填上) . 3 2

(1)四边形 BFD1E 在左右一组面上的射影 解 正方体共有 3 组对面,分别考察如下: 是图③.因为 B 点,F 点在面 AD1 上的射影分别是 A 点,E 点. (2)四边形 BFD1E 在上下 及前后两组面上的射影是图②.因为 D1 点,E 点,F 点在面 AC 上的射影分别是 D 点,AD 的中点,BC 的中点;B 点,E 点,F 点在面 DC1 上的射影分别是 C 点,DD1 的中点,CC1 的中点.故本题答案为②③. 例 4 已知抛物线的焦点坐标为 F(2,1),准线方程为 2x+y=0,则其顶点坐标为 . 解 过焦点 F(2,1)作准线的垂线段,由解几知识可得抛物线顶点为垂线段的中点.又由 于准线的斜率 k= -2,kOF=

1 1 ,∴O 为垂足,从而易得 OF 的中点,即顶点为(1, ). 2 2

例 5 老师给出一个函数 y=f(x),四个学生甲,乙,丙,丁各指出这个函数的一个性质: 甲:对于 x∈R,都有 f(1+x)=f(1-x) 丙:在(0,+∞)上函数递增 乙:在 (-∞,0 ] 上函数递减 丁:f(0)不是函数的最小值 .

如果其中恰有三人说得正确,请写出一个这样的函数 搏众高考网 -3-

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解 由题意知,以甲,乙,丙,丁四个条件中任意三个为一组条件,写出符合条件的一 个函数即可.例如同时具备条件甲,乙,丁的一个函数为 y=(x-1)2. 例6 若

1 1 =1,则 sin2θ的值等于 cos θ sin θ 1 1 =1 得 sinθ-cosθ=sinθcosθ 解 由 cos θ sin θ 2

. ①

令 sin2θ=t,则①式两边平方整理得 t +4t-4=0,解之得 t=2 2 -2. 例 7 已知 z1=3+4i,z2= -2-5i,则 arg( z1 i )= z1 + z 2 .

解 将 z1=3+4i,z2= -2-5i 代入

z1 i z i z i π 整理得 1 =3i,故 arg( 1 )= . z1 + z 2 z1 + z 2 z1 + z 2 2 .

例 8 若( x +

2 n ) 展开式中的第 5 项为常数,则 n= x 2 x ) ( )r=Cnr2rx x n-r 解 由 Tr+1=Cnr( n3r 2

及题意可知,当 r=4 时,n-3r=0,∴n=12.

二,图像法——借助图形的直观形,通过数形结合,迅速作出判断的方法称为图像法.文 图像法——借助图形的直观形,通过数形结合,迅速作出判断的方法称为图像法. ——借助图形的直观形 形结合 氏图,三角函数线,函数的图像及方程的曲线等,都是常用的图形. 氏图,三角函数线,函数的图像及方程的曲线等,都是常用的图形. 例 9 若关于 x 的方程 1 x =k(x-2)有两个不等实根,则实数 k 的取值范围是 2 .

解 令 y1= 1 x ,y2=k(x-2),由图 14-3 可知 kAB

kAB= 例 10

3 3 ,∴

已知两点 M(0,1),N(10,1) ,给出下列直线方程

① 5x-3y-22=0; ② 5x-3y-52=0; ③ x-y-4=0; ④ 4x-y-14=0 . 在 直 线 上 存 在 点 P 满 足 |MP|=|NP|+6 的所有直线方程的序号是 搏众高考网 -4- .

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,N(10,1)为焦点,实轴长为 6 解 由|MP|=|NP|+6 可知,点 P 的轨迹是以 M(0,1) 的双曲线的右支,其方程为

( x 5) 2 ( y 1) 2 =1,(x>5).本题实质上可转化为考察所给直 9 16

线与双曲线的右支有无交点的问题,结合图形判断,易得②③直线与双曲线的右支有交点. 例 11 点 P(x,y)是曲线 C: 值范围是

x = 2 + cos θ y (θ为参数,0≤θ<π)上任意一点,则 的取 x y = sin θ .

解 曲线 C 的普通方程为(x+2) 2 +y2=1(y≥0),则 y 可视为 P 点与原点 O 连线的斜率, x 结合图形 14-4 判断易得 y 3 的取值范围是[,0]. x 3

三,特殊化法——当填空题的结论唯一或其值为定值时,我们只须把题中的参变量用特殊 特殊化法——当填空题的结论唯一或其值为定值时, ——当填空题的结论唯一或其值为定值时 值(或特殊函数,特殊角,特殊数列,图形特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型 或特殊函数,特殊角,特殊数列,图形特殊位置,特殊点,特殊方程, 等)代替之,即可得到结论. 代替之,即可得到结论. 1.特殊值法 例 12 设 a>b>1,则 logab,logba,logabb 的大小关系是 . 不妨令 a=4,b=2, logab= 则 解 考虑到三个数的大小关系是确定的, ∴logabb

例 13 如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么 f(1),f(2),f(4)的大小关系 是 .

解 由于 f(2+t)=f(2-t),故知 f(x)的对称轴是 x=2.可取特殊函数 f(x)=(x-2)2,即可求得 f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4.∴f(2)

cos2α+cos2(α+120°)+cos2(α+240°)的值为 .

解 本题的隐含条件是式子的值为定值,即与α无关,故可令α=0°,计算得上式值为 3 . 2

例 15 已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则 . 解 考虑到 a1,a3,a9 的下标成等比数列,故可令 an=n,又易知它满足题设条件,于是 a1 + a3 + a9 的值是 a 2 + a 4 + a10 a1 + a3 + a9 13 = . a 2 + a 4 + a10 16

5.图形特殊位置法 例 16 已知 SA,SB,SC 两两所成角均为 60°,则平面 SAB 与平面 SAC 所成的二面角为 . 将问题置于正四面体中研究, 不难得平面 SAB 与平面 SAC 所成的 解 取 SA=SB=SC, 二面角为 arccos 6.特殊点法 例 17 椭圆 1 . 3

x2 y2 + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 为其上的动点,当∠F1PF2 为钝角时,点 P 9 4 .

横坐标的取值范围是

解 设 P(x,y),则当∠F1PF2=90°时,点 P 的轨迹方程为 x2+y2=5,由此可得点 P 的横 坐标 x=± 3 5

,又当点 P 在 x 轴上时,∠F1PF2=0;点 P 在 y 轴上时,∠F1PF2 为钝角,由 此可得点 P 横坐标的取值范围是- 3 5

7.特殊方程法 例 18 直线 l 过抛物线 y2=a(x+1)(a>0)的焦点,并且与 x 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段 长为 4,则 a= .

解 ∵抛物线 y2=a(x+1)与抛物线 y2=ax 具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长,故可用 标准方程 y2=ax 替换一般方程 y2=a(x+1)求解,而 a 值不变.由通径长公式得 a=4. 搏众高考网

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8.特殊模型法 例 19 已知 m,n 是直线,α,β,γ是平面,给出下列命题:

①若α⊥γ,β⊥γ,则α‖β; ②若 n⊥α,n⊥β,则α‖β; ③若α内不共线的三点到β的距离都相等,则α‖β; ④若 n α,m α,且 n‖β,m‖β,则α‖β; ⑤若 m,n 为异面直线,n∈α,n‖β,m∈β,m‖α,则α‖β; 则其中正确的命题是 . (把你认为正确的命题序号都填上)

如图 14-5, 在正方体中逐一判断各命题易得正确命题的 解 依题意可构造正方体 AC1, 是②⑤.

四,构造法——在解题时有时需要根据题目的具体情况,来设计新的模式解题,这种设计 构造法——在解题时有时需要根据题目的具体情况,来设计新的模式解题, ——在解题时有时需要根据题目的具体情况 工作,通常称之为构造模式解法,简称构造法. 工作,通常称之为构造模式解法,简称构造法. 例 20 如图 14-6,点 P 在正方形 ABCD 所在的平面外,PD⊥ABCD,PD=AD,则 PA 与 BD 所成角的度数为 .

解 根据题意可将上图补形成一正方体,在正方体中易求得为 60°. 搏众高考网 -7-

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rtf文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 数学 怎样解填空题

【考点梳理】 考点梳理】 一、题型特点 填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标 集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。 不过填空题和选择题也有质的区别。首先，表现为填空题没有备选项。因此，解答时 既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能 力要求上会高一些，长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一 个重要的原因。其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一 些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵 活。在对题目的阅读理解上，较之选择题，有时会显得较为费劲。当然并非常常如此，这 将取决于命题者对试题的设计意图。 填空题与解答题比较，同属提供型的试题，但也有本质的区别。首先，解答题应答 时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合 法的说明。填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概 括和准确。其次，试题内涵，解答题比起填空题要丰富得多。填空题的考点少，目标集 中，否则，试题的区分度差，其考试信度和效度都难以得到保证。这是因为：填空题要是 考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正 原因。有的可能是一窍不通，入手就错了，有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在 答卷上表现出来的情况一样，得相同的成绩，尽管它们的水平存在很大的差异。对于解答 题，则不会出现这个情况，这是因为解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演 和论证过程，分情况评定分数，用以反映其差别，因而解答题命题的自由度，较之填空题 大得多。由此可见，填空题这种题型介于选择题与解答题这两种题型之间，而且确实是一 种独立的题型，有其固有的特点。 二、考查功能 1．填空题的考查功能大体上与选择题的考查功能相当。 ．填空题的考查功能大体上与选择题的考查功能相当。 同选择题一样，要真正发挥好填空题的考查功能，同样要群体效应。但是，由于填空 题的应答速

度难以追上选择题的应答速度，因此在题量的使用上，难免又要受到制约。从 这一点看，一组好的填空题虽然也能在较大的范围内考查基础知识、基本技能和基本思想 方法，但在范围的大小和测试的准确性方面填空题的功能要弱于选择题。不过，在考查的 深入程度方面，填空题要优于选择题。作为数学填空题，绝大多数是计算型（尤其是推理 计算型）和概念（性质）判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑

的推演和判断，几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，懂就是懂，不懂就是不懂，难有 虚假，因而考查的深刻性往往优于选择题。但与解答题相比其考查的深度还是差得多。就 计算和推理来说，填空题始终都是控制在低层次上的。 2．填空题的另一个考查功能，就是有效地考查阅读能力、观察和分析能力。 ．填空题的另一个考查功能，就是有效地考查阅读能力、观察和分析能力。 在高考数学考试中，由于受到考试时间和试卷篇幅的限制，在权衡各种题型的利弊和 考查功能的互补时，填空题由于其特点和功能的限制，往往被放在较轻的位置上，题量不 多。 三、思想方法 同选择题一样，填空题也属小题，其解题的基本原则是“小题不能大做”。解题的基 本策略是：巧做。解题的基本方法一般有：直接求解法，图像法和特殊化法（特殊值法， 特殊函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模 型法）等。 【例题解析 例题解析】 例题解析 一、直接求解法——直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变 直接求解法——直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等， ——直接从题设条件出发 形、推理、计算、判断得到结论的方法，称之为直接求解法。它是解填空题的常用 推理、计算、判断得到结论的方法，称之为直接求解法。 的基本方法。使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、 的基本方法。使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采 取灵活、简捷的解法。 取灵活、简捷的解法。 例1 已知数列{an}、{bn}都是等差数列，a1=0、b1= -4，用Sk、S′k、分别表示数列{an}、 {bn}的前k项和（k是正整数），若Sk+S′k =0，则ak+bk的值为 。

k (a1 + a k ) k (a1 + a k ) k (b1 + bk ) 2 2 2 ，得 + = 解 法一 直接应用等差数列求和公式Sk=

0，又a1+b1= -4, ∴ak+bk=4。 法二 由题意可取k=2（注意：k≠1，为什么？），于是有a1+a2+b1+b2=0，因而a2+b2= 4,即ak+bk=4。 例2 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛。3名主力队员要安排在第 一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共 有种（用数字作答）。 解 三名主力队员的排法有 3 A3

种，其余7名队员选2名安排在第二、四位置上有 2 A7 种

排法，故共有排法数A33A72=252种。 例3 如图14-1，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该 正方体的面上的射影可能是 （要求：把可能的图的序号都填上）。

解 正方体共有3 组对面，分别考察如下：（1）四边形BFD1E在左右一组面上的射影 是图③。因为B点、F点在面AD1上的射影分别是A点、E点。（2）四边形BFD1E在上下及 前后两组面上的射影是图②。因为D1点、E点、F点在面AC上的射影分别是D点、AD的中 点、BC的中点；B点、E点、F点在面DC1上的射影分别是C点、DD1的中点、CC1的中点。 故本题答案为②③。 例4 已知抛物线的焦点坐标为F(2,1)，准线方程为2x+y=0，则其顶点坐标为 。 解 过焦点F(2,1)作准线的垂线段，由解几知识可得抛物线顶点为垂线段的中点。又由 1 1 于准线的斜率k= -2,kOF= 2 ，∴O为垂足，从而易得OF的中点，即顶点为(1, 2 )。

例5 老师给出一个函数y=f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质： 甲：对于x∈R，都有f(1+x)=f(1-x) 丙：在(0,+∞)上函数递增 乙：在 (-∞,0 ] 上函数递减 丁：f(0)不是函数的最小值 。

如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数

解 由题意知，以甲、乙、丙、丁四个条件中任意三个为一组条件，写出符合条件的 一个函数即可。例如同时具备条件甲、乙、丁的一个函数为y=(x-1)2。

1 1 例6 若 cos θ - sin θ =1，则sin2θ的值等于 1 1 解 由 cos θ - sin θ =1得sinθ-cosθ=sinθcosθ ① 。

令sin2θ=t，则①式两边平方整理得t2+4t-4=0，解之得t=2 2 -2。 z1 ? i z + z 2 )= 例7 已知z1=3+4i,z2= -2-5i,则arg( 1 。

z1 ? i z1 ? i z1 ? i π z1 + z 2 整理得 z1 + z 2 =3i，故arg( z1 + z 2 )= 2 。 解 将z1=3+4i,z2= -2-5i代入

2 例8 若( x + x )n展开式中的第5项为常数，则n= 。

2 n?3r r( x )n-r( x )r=C r2rx 2 及题意可知，当r=4时，n-3r=0，∴n=12。 解 由Tr+1=Cn n 二、图像法——借助图形的直观形，通过数形结合，迅速作出判断的方法称为图像法。 图像法——借助图形的直观形，通过数形结合，迅速作出判断的方法称为图像法。 ——借助图形的直观形 文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。 文氏图、 三角函数线、 函数的图像及方程的曲线等， 都是常用的图形。 例9 若关于x的方程 1 ? x =k(x-2)有两个不等实根，则实数k的取值范围是 2 。

解 令y1= 1 ? x ,y2=k(x-2),由图14-3可知kAB

3 3 kAB= - 3 ,∴- 3

例10 已知两点M(0,1),N(10,1) ，给出下列直线方程 ①5x-3y-22=0;②5x-3y-52=0;③x-y-4=0;④4x-y-14=0。在直线上存在点P满足 |MP|=|NP|+6的所有直线方程的序号是 。 解 由|MP|=|NP|+6可知，点P的轨迹是以M（0，1），N（10，1）为焦点，实轴长为6 ( x ? 5) 2 ( y ? 1) 2 9 的双曲线的右支，其方程为 - 16 =1，(x>5)。本题实质上可转化为考察所给

直线与双曲线的右支有无交点的问题，结合图形判断，易得②③直线与双曲线的右支有交 点。

x = ?2 + cos θ y ? y = sin θ (θ为参数，0≤θ<π)上任意一点，则 x 的取值 例11 点P(x,y)是曲线C： ? 范围是 。

y 解 曲线C的普通方程为(x+2) 2 +y2=1(y≥0)，则 x 可视为P点与原点O连线的斜率，结 y 3 合图形14-4判断易得 x 的取值范围是[- 3 ，0]。

三、特殊化法——当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特 特殊化法——当填空题的结论唯一或其值为定值时， ——当填空题的结论唯一或其值为定值时

殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、 殊值（或

特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊 模型等）代替之，即可得到结论。 模型等）代替之，即可得到结论。 1.特殊值法 例12 设a>b>1，则logab,logba,logabb的大小关系是 。

1 解 考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令a=4,b=2，则logab= 2 ,logba=2,logabb= 1 3,

∴logabb

a1 + a3 + a9 a + a 4 + a10 的值是 例15 已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列，则 2

。 解 考虑到a1,a3,a9的下标成等比数列，故可令an=n，又易知它满足题设条件，于是

a1 + a3 + a9 13 a 2 + a 4 + a10 = 16 。

5．图形特殊位置法 例16 已知SA，SB，SC两两所成角均为60°，则平面SAB与平面SAC所成的二面角为 。 解 取SA=SB=SC，将问题置于正四面体中研究，不难得平面SAB与平面SAC所成的二

1 面角为arccos 3 。 6．特殊点法 x2 y2 例17 椭圆 9 + 4 =1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐

标的取值范围是 。

解 设P(x,y)，则当∠F1PF2=90°时，点P的轨迹方程为x2+y2=5，由此可得点P的横坐标 3 x=±

5 ，又当点P在x轴上时，∠F1PF2=0；点P在y轴上时，∠F1PF2为钝角，由此可得点 3 3 5。

P横坐标的取值范围是- 5

例18 直线l过抛物线y2=a(x+1)(a>0)的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为 4，则a= 。

解 ∵抛物线y2=a(x+1)与抛物线y2=ax具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长，故可用标 准方程y2=ax替换一般方程y2=a(x+1)求解，而a值不变。由通径长公式得a=4。

8．特殊模型法 例19 已知m,n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题： ①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ②若n⊥α，n⊥β，则α∥β； ③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β； ④若n α，m α，且n∥β,m∥β，则α∥β； ⑤若m,n为异面直线，n∈α，n∥β，m∈β,m∥α,则α∥β； 则其中正确的命题是 。（把你认为正确的命题序号都填上）

解 依题意可构造正方体AC1，如图14-5，在正方体中逐一判断各命题易得正确命题的 是②⑤。 四、构造法——在解题时有时需要根据题目的具体情况，来设计新的模式解题，这种设 构造法——在解题时有时需要根据题目的具体情况，来设计新的模式解题， ——在解题时有时

需要根据题目的具体情况 计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。 计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。 例20 如图14-6，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD，PD=AD，则PA与BD所 成角的度数为 。

解 根据题意可将上图补形成一正方体，在正方体中易求得为60°。 1

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