广石化2014年大学物理下学期必考习题总结

习题三

3-1 惯性系S ′相对惯性系S 以速度u 运动．当它们的坐标原点O 与O '重合时，t =t '=0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程．

解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为：

2222)(ct z y x =++

2222)(t c z y x '='+'+'

题3-1图

3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2l ．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差．

解: 设光讯号到达前门为事件1，在车厢)(S '系时空坐标为),(),(11c

l l t x =''，在车站)(S 系：

)1()()(21211c u c l l c u c l x c

u t t +=+='+'=γγγ 光信号到达后门为事件2，则在车厢)(S '系坐标为),(),(22c

l l t x -=''，在车站)(S 系： )1()(2222c u c l x c

u t t -='+'=γγ 于是 2122c lu t t γ-=- 或者 l x x x t t t t 2,,021

21='-'='?-=?='? )2()(2

2l c u x c u t t γγ='?+'?=? 3-3 惯性系S ′相对另一惯性系S 沿x 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S 系中测得两事件的时空坐标分别为1x =6×104m,1t =2×10-4s ，以及2x =12×104m,2t =1×10-4

s ．已知在S ′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S ′系相对S 系的速度是多少? (2) S '系中测得的两事件的空间间隔是多少?

解: 设)(S '相对S 的速度为v ，

(1) )(12

11x c v t t -='γ )(2222x c

v t t -='γ 由题意 012

='-'t t 则 )(12212x x c v t t -=

- 故 812122105.12

?-=-=--=c x x t t c v 1s m -? (2)由洛仑兹变换 )(),(222111

vt x x vt x x -='-='γγ 代入数值， m 102.5412

?='-'x x 3-4 长度0l =1 m S ′系中，与x ′

轴的夹角'θ= 30°，S ′系相对S 系沿x 轴运动，在S 系中观测者测得米尺与x 轴夹角为=θ45?． 试求：(1)S ′系和S 系的相对运动速度.(2)S 系中测得的米尺长度．

解: (1)米尺相对S '静止，它在y x '',轴上的投影分别为：

m 866.0cos 0='='θL L x ，m 5.0sin 0='='θL L y

米尺相对S 沿x 方向运动，设速度为v ，对S 系中的观察者测得米尺在x 方向收缩，而y 方向的长度不变，即

y y x x L L c

v L L '=-'=,122

故 221tan c v L L L L L L x y x y x y

-''='==θ

把ο45=θ及y x L L '',代入

则得 866.05.0122=-c

v 故 c v 816.0=

(2)在S 系中测得米尺长度为m 707.045sin =?=y

L L

3-5 一门宽为a ，今有一固有长度0l (0l ＞a )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u 至少为多少?

解: 门外观测者测得杆长为运动长度，2

0)(1c u

l l -=，当a ≤1时，可认为能被拉进门，则 2

0)(1c u

l a -≤ 解得杆的运动速率至少为：20

)(1l a c u -=

题3-6图

3-6两个惯性系中的观察者O 和O '以0.6c(c 表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果O 测得两者的初始距离是20m ，则O '测得两者经过多少时间相遇?

解: O 测得相遇时间为t ?

c

v L t 6.0200==? O ' 测得的是固有时t '?

∴ v L t

t 2

01βγ-=?='? s 1089.88-?=，

6.0==c

v β ， 8

.01=γ ， 或者，O '测得长度收缩， v L t L L L L =

'?=-=-=,8.06.01102020β s 1089.810

36.0208.06.08.0880-?=???=='c L t ? 3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S 和S '中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s ，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s ．求：

(1) S '相对于S 的运动速度．

(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离．

解: 甲测得0,s 4==x t ??,乙测得s 5=t ?，坐标差为12

x x x '-'='?′ (1)∴ t c v t x c v t t ?-?=?+?='?2

2)(11)(λγ

54122='??=-t t c

v 解出 c c t t c v 5

3)54(1)(122=-='??-= 8108.1?= 1s m -?

(2) ()0,45,=?=?'?=

?-?='?x t t t v x x γγ ∴ m 109345

3458?-=-=??-=-='c c t v x ?γ? 负号表示012

<'-'x x ． 3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?

解: 2220153,1513βββ-=-=-=='则

l l ∴ c c v 5

42591=-= 3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时．

证: 设在S 系B A 、事件在b a ,处同时发生，则B A a b t t t x x x -=?-=?,，在S '系中测得 )(2x c v t t t t A B ?-

?='-'='?γ 0,0≠?=?x t ，

∴

0≠'?t

即不同时发生． 3-10 试证明：

(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短．

(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短．

解: (1)如果在S '系中，两事件B A 、在同一地点发生，则0='?x ，在S 系中，t t t '?≥'?=?γ，仅当0=v 时，等式成立，∴t '?最短．

(2)若在S '系中同时发生，即0='?t ，则在S 系中，x x x '?≥'?=?γ，仅当0=v 时等式成立，∴S '系中x '?最短．

3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s ，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c 离我们而去．问这颗星的固有周期为多少?

解: 以脉冲星为S '系，0='?x ，固有周期0τ='?t .地球为S 系，则有运动时t t '?=?γ1，这里1t ?不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考虑因飞行远离信号的传递时间，

c t v 1? ∴ t c

v t c t v t t ?+'?=?+?=?γγ11′ )1(c

v t +'=?γ 6

.01)8.0(112=-=

c c γ 则 γλτ)8.01(5.0)

1(0c c c v t

t +++?='?= s 1666.08

.13.06.01

)8.01(5

.0==+= 3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个π介子以速度v =0.998c 飞向地球．假定该π介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命 2×10-6s ．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和π介子静止系中观测者来判断π介子能否到达地球．

解: π介子在其自身静止系中的寿命s 10260-?=t ?是固有(本征)时间，对地球观测者，由于时间膨胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为

s 1016.31522

-?=-=c v t t ??

这段时间飞行距离为m 9470==t v d ?

因m 6000>d ，故该π介子能到达地球．

或在π介子静止系中，π介子是静止的．地球则以速度v 接近介子，在0t ?时间内，地球接

近的距离为m 5990=='t v d ?

m 60000=d 经洛仑兹收缩后的值为：

m 37912200=-='c

v d d 0

d d '>'，故π介子能到达地球． 3-13 设物体相对S ′系沿x '轴正向以0.8c 运动，如果S ′系相对S 系沿x 轴正向的速度也是0.8c ，问物体相对S 系的速度是多少?

解: 根据速度合成定理，c u 8.0=,c v x 8.0='

∴ c c c c c c c

v u u v v x x x 98.08.08.018.08.0122=?++='++'= 3-14 飞船A 以0.8c 的速度相对地球向正东飞行，飞船B 以0.6c 的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时A 飞船在自己的天窗处相隔2s 发射两颗信号弹．在B 飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?

解: 取B 为S 系，地球为S '系，自西向东为x (x ')轴正向，则A 对S '系的速度c v x 8.0='，S '系对S 系的速度为c u 6.0=，则A 对S 系(B 船)的速度为

c c c c

v u u v v x x x 946.048.016.08.012=++='++'= 发射弹是从A 的同一点发出，其时间间隔为固有时s 2='t ?，

题3-14图

∴B 中测得的时间间隔为：

s 17.6946.0121222=-=-'

=c v

t t x

??

3-15 (1)火箭A 和B 分别以0.8c 和0.6c 的速度相对地球向+x 和-x 方向飞行．试求由火箭B 测得A 的速度．(2)若火箭A 相对地球以0.8c 的速度向+y 方向运动，火箭B 的速度不变，

求A 相对B 的速度．

解: (1)如图a ，取地球为S 系，B 为S '系，则S '相对S 的速度c u 6.0=，火箭A 相对S 的速度c v x 8.0=，则A 相对S '(B )的速度为：

c c c c c c v c u u v v x x x 946.0)8.0)(6.0(1)6.0(8.012

2=----=--=' 或者取A 为S '系，则c u 8.0=，B 相对S 系的速度c v x 6.0-=，于是B 相对A 的速度为：

c c c c c c v c u u v v x x x 946.0)6.0)(8.0(18.06.012

2-=----=--=' (2)如图b ，取地球为S 系，火箭B 为S '系，S '系相对S 系沿x -方向运动，速度

c u 6.0-=，A 对S 系的速度为,0=x v ,c v y 8.0=,由洛仑兹变换式A 相对B 的速度为： c c v c

u u v v x x x 6.001)6.0(012=---=--=' c c v c

u v c u v x y y 64.0)8.0(6.01112222

=-=--=' ∴A 相对B 的速度大小为

c v v v y x 88.022='+'='

速度与x '轴的夹角θ'为

07.1tan =''='x y

v v θ

ο8.46='θ

题3-15图

3-16 静止在S 系中的观测者测得一光子沿与x 轴成?60角的方向飞行．另一观测者静止于S ′系，S ′系的x '轴与x 轴一致，并以0.6c 的速度沿x 方向运动．试问S ′系中的观测者观

测到的光子运动方向如何? 解: S 系中光子运动速度的分量为

c c v x 500.060cos ο==

c c v y 866.060sin ο==

由速度变换公式，光子在S '系中的速度分量为

c c c c c

c v c u u v v x x x 143.05.06.016.05.012

2-=?--=--=

' c c c c c v c u v c

u v x y

y 990.05.06.01866.06.01112

2222

=?-?-=--='

光子运动方向与x '轴的夹角θ'满足

692.0tan -=''=

'x

y v v θ

θ'在第二象限为ο2.98='θ

在S '系中，光子的运动速度为

c v v v y x ='+'='2

2 正是光速不变．

3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c ，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c 加速到0.9c ，又须对它作多少功?

解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得

)111(

)1(2

2

2020202--=-=-==c v c m c m c m mc E E k k γ?

)11

.011(

)103(101.92

2831--???=-

161012.4-?=J=eV 1057.23?

(2) )()(2

02

12

02

21

2c m c m c m c m E E E k k k

---=-='? )1111(

2

212

22202122c

v c

v

c m c m c m --

-=-=)

)8

.0119

.011(

103101.92

2

16231--

-???=-

J 1014.514-?=eV 1021.35?=

3-18 μ子静止质量是电子静止质量的 207倍，静止时的平均寿命0τ=2×10-6

s ，若它在实验

室参考系中的平均寿命τ= 7×10-6

s ，试问其质量是电子静止质量的多少倍?

解: 设μ子静止质量为0m ，相对实验室参考系的速度为c v β=，相应质量为m ，电子静止质量为e m 0，因2

711,102

2

==

--=

ττββττ即

由质速关系，在实验室参考系中质量为：

2

02

012071β

β

-=

-=

e m m m

故

7252720712072

0=?=-=βe m m 3-19 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几? 解: 设静止质量为0m ，运动质量为m ， 由题设

10.000

=-m m m 2

01β

-=

m m

由此二式得

10.0111

2

=--β

∴ 10

.1112

=

-β 在运动方向上的长度和静长分别为l 和0l ，则相对收缩量为：

%1.9091.010

.11

1112000

==-=--=-=

β?l l l l l

3-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?

此时电子速度是多少?已知电子的静止质量为9.1×10-31kg ． 解: 由质能关系

100

4

.0200=?=?c m E m m

∴ 100/)103(101.94.0100

4.028312

0????==?-c m E J 10

28.316-?=＝eV 10

6.11028.31916--??= eV 100.23?= 所需电势差为3100.2?伏特

由质速公式有： 004.111004.01111100002=+=?+=?+==-m m m

m m m m β ∴ 32221095.7)004

.11(1)(-?=-==c v

β

故电子速度为 -17s m 107.2??==c v β 3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能K E ＝2.8×109eV ．这种电子速率比光速差多少? 这样的一个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为0E ＝0.511×106eV ) 解: 2022

2

01c m c v c m E k --=

所以 20202022/111c

m E c m c m E c v k k +=+=- 由上式，

2

96262202

0)108.210511.0/()1051.0(1)(1?+??-=+-=c E c m c m c v k

8109979245.2?=-1s m ?

810997924580.2?=-v c -1s m ?8109979245.28=?- -1s m ? 由动量能量关系420222c m c p E +=可得

c c m E E c c m c m E c c m E p k k k 2

0242022042022)(+=-+=-=

11882138269182s m kg 1049.1103/]10

6.1)10511.0108.22108.2[(---???=???????+?=

3-22 氢原子的同位素氘(21H)和氚(31H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(42He)原子核和

一个中子(10n)，并释放出大量能量，其反应方程为2

1H + 31H

42He + 10n 止质量为2.0135原子质量单位(1原子质量单位＝1.600×10-27kg)，氚核和氦核及中子的质量

分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量． 解: 反应前总质量为0290.50155.30135.2=+amu

反应后总质量为0102.50087.10015.4=+amu

质量亏损 0188.00102.50290.5=-=?m amu

kg 1012.329-?=

()2

82921031012.3???==-mc E ?? J 1081.221-?=71075.1?=eV

3-23 一静止质量为0m 的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c 和0.8c ．求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能．

解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损．

设裂变产生两个粒子的静质量分别为10m 和20m ，其相应的速度c v 6.01=,c v 8.02= 由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有

011222220122110

2211=-+-=+v c v m v c

v m v m v m 0222

20221

10

2111m c v m c v

m m m =-+-=+

注意1m 和2m 必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以6.01=v c,8.02=v c 代入，将上二方程化为：

20106886m m =，020106

.08.0m m m =+ 上二式联立求解可得：

010459.0m m =, 020257.0m m =

故静质量亏损020100284.0)(m m m m m =+-=?由静质量亏损引起静能减少，即转化为动

202284.0c m mc E k =?=?

3-24 有A ，B 两个静止质量都是0m 的粒子，分别以1v =v ,2v =-v 的速度相向运动，在发生完全非弹性碰撞后合并为一个粒子．求碰撞后粒子的速度和静止质量．

解: 在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别1m 和2m ，碰撞后粒子的质量为M 、速度为V ，于是，根据动量守恒和质量守恒定律可得：

MV v m v m =+2211 ①

M m m =+21 ②

由于 0)(1)()(1202

02211=---+-=+c v v m c v v

m v m v m

代入①式得 0=V

2

21)(120c v m m m M -+=，即为碰撞后静止质量．

3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径．

解: 史瓦西半径 22c

GM r s = 地球： kg 10624?≈M

则： m 109.8)

103(106107.6232824

11--?=?????=s r 太阳： kg 10230?≈M

则： 32830

11103)

103(102107.62?=?????=-s r m 3-26 典型中子星的质量与太阳质量M ⊙＝2×1030kg 10km ．若进一步

坍缩为黑洞，其史瓦西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10-15cm)，质量是什么数量级?

解: (1)史瓦西半径与太阳的相同，3103?=s r m

(2) 1510-=s r cm 1710-=m

由 2

2c GM r s = 得 9112

8172107.610

7.62)103(102?=????==--G c r M s kg 3-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证．

解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理．

等效原理又分为弱等效原理和强等效原理．弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验 都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．

广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同．

广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等．

习题八

8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系

?

解: 如题8-1图示

(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷 20220)33(π4130cos π412a q q a q '=?εε

解得 q q 3

3-

=' (2)与三角形边长无关．

题8-1图 题8-2图

8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，

求每个小球所带的

解: 如题8-2图示

??

???===220)sin 2(π41

sin cos θεθθl q F T mg T e

解得 θπεθtan 4sin 20mg l q =

8-3 根据点电荷场强公式204r q

E πε=，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强

→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?

解: 020π4r r q

E ε=仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．

8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说f =202

4d q πε,又有人说，因为f =qE ,S

q E 0ε=，所以f =S

q 02

ε．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少

? 解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S

q E 0ε=看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S q E 02ε=，另一板受它的作用力S q S q

q f 02

022εε==，这是两板间相互作用的电场力．

8-5 一电偶极子的电矩为l q p =，场点到偶极子中心O 点的距离为r ,矢量r 与l 的夹角为

θ,(见题8-5图)，且l r >>．试证P 点的场强E 在r 方向上的分量r E 和垂直于r 的分量θE 分别为

r E =302cos r p πεθ, θE =3

04sin r p πεθ 证: 如题8-5所示，将p 分解为与r 平行的分量θsin p 和垂直于r

的分量θsin p ． ∵ l r >>

∴ 场点P 在r 方向场强分量 30π2cos r p E r εθ=

垂直于r 方向，即θ方向场强分量

300π4sin r

p E εθ=

题8-5图 题8-6图

8-6 长l =15.0cm AB 上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C ·m

-1

(1)在导线的延长线上与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强．

解： 如题8-6图所示

(1)在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为

20)

(d π41d x a x E P -=λε 2220

)(d π4d x a x E E l l P P -==??-ελ ]2

121[π40l a l a +--=ελ )4(π220l a l

-=ελ

用15=l cm ，9100.5-?=λ1m C -?, 5.12=a cm 代入得

21074.6?=P E 1C N -? 方向水平向右 (2) 2

2

20d d π41d +=x x E Q λε 方向如题8-6图所示 由于对称性?=l Qx E 0d ，即Q E 只有y 分量，

∵ 2

2222

220d d d d π41d ++=x x x E Qy λε

2

2π4d d ελ?==l Qy Qy E E ?-+2223222)d (d l l x x 2

2

20d 4π2+=l l

ελ 以9100.5-?=λ1cm C -?, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得

21096.14?==Qy Q E E 1C N -?，方向沿y 轴正向

8-7 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解: 如8-7图在圆上取?Rd dl =

题8-7图

?λλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为

20π4d d R

R E ε?λ=方向沿半径向外 则 ??ελ?d sin π4sin d d 0R

E E x == ??ελ?πd cos π4)cos(d d 0R E E y -=

-= 积分R

R E x 000π2d sin π4ελ??ελπ

==? 0d cos π400=-=???ελπ

R

E y ∴ R

E E x 0π2ελ==，方向沿x 轴正向． 8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l ，总电量为q ．(1)求这正方形轴线上离中心为r 处的场强E ；(2)证明：在l r >>处，它相当于点电荷q 产生的场强

E

解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷4

q 在P 点产生物强P E d 方向如图，大小为 ()

4π4cos cos d 22021l r E P +

-=εθθλ ∵ 22

cos 221l

r l

+=θ

12cos cos θθ-=

∴ 24π4d 22220l

r l l

r E P ++=ελ

P E d 在垂直于平面上的分量βcos d d P E E =⊥

∴ 424π4d 2222220l

r r l

r l

r l

E

+++=⊥ελ

题8-8图

由于对称性，P 点场强沿OP 方向，大小为

2)4(π44d 422220l r l r lr

E E P ++=?=⊥ελ

∵ l q 4=

λ ∴ 2)4(π422220l r l r qr

E P ++=ε 方向沿

8-9 (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q 的电场中取半径为R 的圆平面．q 在该平

面轴线上的A 点处，求：通过圆平面的电通量．(

x

R arctan =α) 解: (1)由高斯定理0

d εq S E s ?=? 立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等

∴ 各面电通量0

6εq e =Φ． (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则边长a 2的正方形上电通量0

6εq e =Φ 对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则0

24εq e =

Φ， 如果它包含q 所在顶点则0=Φe ． 如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图

题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图

(3)∵通过半径为R 的圆平面的电通量等于通过半径为

22x R +的球冠面的电通量，球冠

面积* ]1)[(π22222x R x x R S +-

+= ∴ )

(π42200x R S q +=Φε02εq =[221x R x +-] *关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图 ααα??=0

d sin π2r r S ααα

??=02d sin π2r

)cos 1(π22α-=r

8-10 均匀带电球壳内半径6cm ，外半径10cm ，电荷体密度为2×510-C ·m -3求距球心5cm ，8cm ,12cm 各点的场强．

解: 高斯定理0d ε∑?=?q S E s ,0

2π4ε∑=q r E 当5=r cm 时，0=∑

q ,0=E 8=r cm 时，∑q 3π4p

=3(r )3内r - ∴ ()

2023π43π4r r r E ερ

内-=41048.3?≈1C N -?， 方向沿半径向外． 12=r cm 时,3

π4∑=ρq -3(外r ）内3r ∴ ()

420331010.4π43π4?≈-=r r r E ερ

内外 1C N -? 沿半径向外. 8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强．

解: 高斯定理0

d ε∑?=?q S E s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2=

则 rl E S E S π2d =??

对(1) 1R r < 0,0==∑E q

(2) 21R r R <<

λl q =∑ ∴ r

E 0π2ελ= 沿径向向外 (3) 2R r > 0=∑q

∴ 0=E

题8-12图

8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ

，试求空间各处场

解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，

两面间， n E )(21210

σσε-= 1σ面外， n E )(21210

σσε+-= 2σ面外， n E )(21210

σσε+= n ：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．

8-13 半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r ＜R 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O 与O '点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．

解: 将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．

(1) ρ+球在O 点产生电场010=E ，

ρ- 球在O 点产生电场'd

π4π3430320OO r E ερ= ∴ O 点电场'd

33030OO r E ερ= ； (2) ρ+在O '产生电场'd

π4d 3

430301E ερπ=' ρ-球在O '产生电场002='E

∴ O ' 点电场 003ερ='E '

题8-13图(a) 题8-13图(b)

(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r '，相对O 点位矢为r

(如题8-13(b)图) 则 0

3ερr E PO =， 0

3ερr E O P '-=' , ∴ 0

0033)(3ερερερd OO r r E E E O P PO P =='-=+=' ∴腔内场强是均匀的．

8-14 一电偶极子由q =1.0×10-6C

d=0.2cm ，把这电偶极子放在1.0×105N ·C

-1

解: ∵ 电偶极子p 在外场E 中受力矩

E p M ?=

∴ qlE pE M ==max 代入数字

4536max 100.2100.1102100.1---?=?????=M m N ?

8-15 两点电荷1q =1.5×10-8C ，2q =3.0×10-8C ，相距1r =42cm ，要把它们之间的距离变为2r =25cm ，需作多少功?

解: ??==?=22210212021π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εε )11(21r r -

61055.6-?-=J

外力需作的功 6

1055.6-?-=-='A A J

题8-16图

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