赵凯华所编《电磁学》第二版答案

第一章静电场

§1.1 静电的基本现象和基本规律

思考题：

1、给你两个金属球，装在可以搬动的绝缘支架上，试指出使这两个球带等量异号电荷的方向。你可以用丝绸摩擦过的玻璃棒，但不使它和两球接触。你所用的方法是否要求两球大小相等？

答：先使两球接地使它们不带电，再绝缘后让两球接触，将用丝绸摩擦后带正电的玻璃棒靠近金属球一侧时，由于静电感应，靠近玻璃棒的球感应负电荷，较远的球感应等量的正电荷。然后两球分开，再移去玻璃棒，两金属球分别带等量异号电荷。本方法不要求两球大小相等。因为它们本来不带电，根据电荷守恒定律，由于静电感应而带电时，无论两球大小是否相等，其总电荷仍应为零，故所带电量必定等量异号。

2、带电棒吸引干燥软木屑，木屑接触到棒以后，往往又剧烈地跳离此棒。试解释之。答：在带电棒的非均匀电场中，木屑中的电偶极子极化出现束缚电荷，故受带电棒吸引。但接触棒后往往带上同种电荷而相互排斥。

3、用手握铜棒与丝绸摩擦，铜棒不能带电。戴上橡皮手套，握着铜棒和丝绸摩擦，铜棒就会带电。为什么两种情况有不同结果？

答：人体是导体。当手直接握铜棒时，摩擦过程中产生的电荷通过人体流入大地，不能保持电荷。戴上橡皮手套，铜棒与人手绝缘，电荷不会流走，所以铜棒带电。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- §1.2 电场电场强度

思考题：

1、在地球表面上通常有一竖直方向的电场，电子在此电场中受到一个向上的力，电场强度的方向朝上还是朝下？

答：电子受力方向与电场强度方向相反，因此电场强度方向朝下。

2、在一个带正电的大导体附近P点放置一个试探点电荷q0(q0>0),实际测得它受力F。若考虑到电荷量q0不是足够小的，则F/ q0比P点的场强E大还是小？若大导体带负电，情况如何？

答：q0不是足够小时，会影响大导体球上电荷的分布。由于静电感应，大导体球上的正电荷受到排斥而远离P点，而F/q0是导体球上电荷重新分布后测得的P点场强，因此比P点原来的场强小。若大导体球带负电，情况相反，负电荷受吸引而靠近P点，P点场强增大。

3、两个点电荷相距一定距离，已知在这两点电荷连线中点处电场强度为零。你对这两个点电荷的电荷量和符号可作什么结论？

答：两电荷电量相等，符号相反。

4、一半径为R的圆环，其上均匀带电，圆环中心的电场强度如何？其轴线上场强方向如何？

答：由对称性可知，圆环中心处电场强度为零。轴线上场强方向沿轴线。当带电为正时，沿轴线向外；当带电为负时，沿轴线向内，

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§1.3 高斯定理

思考题：

1、一般地说，电力线代表点电荷在电场中运动的轨迹吗？为什么？

答：一般情况下，电力线不代表点电荷在电场中运动的轨迹。因为电力线一般是曲线，若电荷沿电力线作曲线运动，应有法向力存在；但电力线上各点场强只沿切线方向，运动电荷必

定偏离弯曲的电力线。仅当电力线是直线，且不考虑重力影响时，初速度为零的点电荷才能沿着电力线运动。若考虑重力影响时，静止的点电荷只能沿竖直方向电力线运动。

2、空间里的电力线为什么不相交？

答：电力线上任一点的切线方向即为该点场强方向。如果空间某点有几条电力线相交，过交点对每条电力线都可作一条切线，则交点处的场强方向不唯一，这与电场中任一点场强有确定方向相矛盾。

3、一个点电荷q放在球形高斯面的中心处，试问在下列情况下，穿过这高斯面的电通量是否改变？

（1）如果第二个点电荷放在高斯球面外附近；

（2）如果第二个点电荷放在高斯球面内；

（3）如果将原来的点电荷移离了高斯球面的球心，但仍在高斯球面内。

答：由于穿过高斯面的电通量仅与其内电量的代数和有关，与面内电荷的分布及面外电荷无关，所以

（1）；（2）；（3）

4、（1）如果上题中高斯球面被一个体积减小一半的立方体表面所代替，而点电荷在立方体的中心，则穿过该高斯面的电通量如何变化？（2）通过这立方体六个表面之一的电通量是多少？

答：（1）立方形高斯面内电荷不变，因此电通量不变；

（2）通过立方体六个表面之一的电通量为总通量的1/6。即

5、附图所示，在一个绝缘不带电的导体球的周围作一同心高斯面S。试定性地回答，在将一正点荷q移至导体表面的过程中，

（1）A点的场强大小和方向怎样变化？

（2）B点的场强大小和方向怎样变化？

（3）通过S面的电通量如何变化？

答：由于电荷q的作用，导体上靠近A点的球面感应电荷-q′，远离A点的球面感应等量的+q′,其分布与过电荷q所在点和球心O的联线成轴对称，故±q′在A、B两点的场强E′沿AOB方向。

（1）E=E0+E′，q移到A点前，E0和E′同向，随着q的移近不断增大，总场强EA 也不断增大。q移过A点后，E0反向，且E0> E′，EA方向与前相反。随着q的远离A点，E0不断减小，±q′和E′增大，但因E′始终小于E0，所以EA不断减小。

（2）由于q及±q′在B点的场强始终同向，且随着q移近导体球，二者都增大，所以EB不断增大。

（3）q在S面外时，面内电荷代数和为零，故Φ=0；q在S面内时，Φ=q/ε0；当q在S面上时，它已不能视为点电荷，因高斯面是无厚度的几何面，而实际电荷总有一定大小，此时Φ=△q/ε0，△q为带电体处于S面内的那部分电量。

6、有一个球形的橡皮气球，电荷均匀分布在表面上，在此气球被吹大的过程中，下列各处的场强怎样变化？

（1）始终在气球内部的点；（2）始终在气球外部的点；（3）被气球表面掠过的点。答：气球在膨胀过程中，电荷始终均匀分布在球面上，即电荷成球对称分布，故场强分布也呈球对称。由高斯定理可知：

始终在气球内部的点，E=0，且不发生变化；

始终在气球外的点，场强相当于点电荷的场强，也不发生变化；

被气球表面掠过的点，当它们位于面外时，相当于点电荷的场强；当位于面内时，E=0，所以场强发生跃变。

7、求均匀带正电的无限大平面薄板的场强时，高斯面为什么取成两底面与带电面平行且对称的柱体的形状？具体地说，

（1）为什么柱体的两底面要对于带电面对称？不对称行不行？

（2）柱体底面是否需要是圆的？面积取多大合适？

（3）为了求距带电平面为x处的场强，柱面应取多长？

答：（1）对称性分析可知，两侧距带电面等远的点，场强大小相等，方向与带电面垂直。只有当高斯面的两底面对带电面对称时，才有E1=E2=E，从而求得E。如果两底在不对称，由于不知E1和E2的关系，不能求出场强。若已先证明场强处处相等，就不必要求两底面对称。

（2）底面积在运算中被消去，所以不一定要求柱体底面是圆，面积大小也任意。（3）求距带电面x处的场强时，柱面的每一底应距带电面为x，柱体长为2x。同样，若已先证明场强处处相等，则柱面的长度可任取。

17、求一对带等量异号或等量同号电荷的无限大平行平面板之间的场强时，能否只取一个高斯面？

答：如果先用高斯定理求出单个无限大均匀带电平面的场强，再利用叠加原理，可以得到两个无限大均匀带电平面间的场强。在这样的计算过程中，只取了一个高斯面。

18、已知一高斯面上场强处处为零，在它所包围的空间内任一点都没有电荷吗？

答：不一定。高斯面上E=0，S内电荷的代数和为零，有两种可能：一是面内无电荷，如高斯面取在带电导体内部；二是面内有电荷，只是正负电荷的电量相等，如导体空腔内有电荷q时，将高斯面取在导体中，S包围导体内表面的情况。

19、要是库仑定律中的指数不恰好是2（譬如为3），高斯定理是否还成立？

答：不成立。设库仑定律中指数为2+δ，

穿过以q为中心的球面上的电通量为，此时通量不仅与面内电荷有关，还与球面半径有关，高斯定理不再成立。――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

第二章静电场中的导体和电介质

§2.1 静电场中的导体

思考题：

1、试想放在匀强外电场Ｅ０中的不带电导体单独产生的电场E′的电力线是什么样子（包

括导体内和导体外的空间）。如果撤去外电场Ｅ０，E′的电力线还会维持这个样子吗？

答：电场Eˊ的特征有：（1）静电平衡时，在导体内部，E0和Eˊ的矢量和处处为零。

因此Eˊ的电力线在导体内部是与E0反向的平行直线；（2）导体上的等量异号电荷，在离导体足够远处激发的场，等效于一个电偶极子激发的场，因此其电力线也等效于电偶极子电场的电力线；（3）导体上电荷密度大的地方，电力线的数密度较大；（4）在导体表面附近，E0和Eˊ的矢量和的方向一定垂直于导体表面。因此，Eˊ的方向相对于E0一定位于表面法线的另一侧。

Eˊ的电力线分布如图所示。值得注意的是，单独考虑感应

电荷的场Eˊ时，导体并非等位体，表面也并非等位面，所以

感应电荷激发的场的电力线在外表面上会有一些起于正电荷而止于负电荷。

如果撤去外电场E 0，静电平衡被破坏，，E ˊ的电力线不会维持这个样子。最后E ˊ将因导体上的正、负电荷中和而消失。

2、 无限大带电面两侧的场强02/εσ=E ，这个公式对于靠近有限大小带电面的地方也适

用。这就是说，根据这个结果，导体表面元△S 上的电荷在紧靠它的地方产生的场强也应是02/εσ，它比导体表面处的场强小一半。为什么？

答：可以有两种理解：（1）为了用高斯定理求场强，需作高斯面。在两种情形下，通过此高斯面的电通量都是0/εσS ，但在前一种情况，由于导体内部场强为零，通过位于导体内部的底面的电通量为零，因而造成两公式不同；（2）如果两种情况面电荷密度相同，无限大带电平面的电力线对称地分布在带电面两侧，而导体表面电力线只分布在导体外侧，因此电力线的密度前者为后者的二分之一，故场强也为后者的二分之一。

3、 根据式0/εσ=E ，若一带电导体面上某点附近电荷面密度为σ，这时该点外侧附近场

强为0/εσ=E ，如果将另一带电体移近，该点的场强是否改变？公式0/εσ=E 是否仍成立？

答：场强是所有电荷共同激发的。另一带电体移近时，由于它的影响和导体上电荷分布的变

化，该点的场强E 要发生变化。当达到静电平衡时，因为表面附近的场强总与导体表面垂直，应用高斯定理，可以证明0/εσ=E 仍然成立，不过此时的σ是导体上的电荷重新分布后该点的电荷密度。

4、 把一个带电物体移近一个导体壳，带电体单独在导体空腔内产生的电场是否等于零？静

电屏蔽效应是怎样体现的？

答：带电体单独在导体空腔内产生的场强不为零。静电平衡的效应表现在，这个场强与导体

外表面感应电荷激发的场强，在空腔内的矢量和处处为零，从而使空腔内的场不受壳外带电体电场的影响。

5、 万有引力和静电力都服从平方反比定律，都存在高斯定理。有人幻想把引力场屏蔽起来，

这能否作到？引力场和静电力有什么重要差别？

答：产生静电平衡的关键，在于导体中存在两种电荷，而且负电荷（电子）在电场力作用下

能够自由移动，因此在外电场作用下，能够形成一附加电场，使得在导体壳内总场强为零。引力场与此不同，引力场的源只有一种，因此在外部引力场的作用下不可能产生一

附加引力场，使得物质壳内部的引力场处处为零，所以屏蔽引力场是不可能的。两种场的重要差别在于：静电场的源有两种，相应的电荷之间的作用力也有两种，引力和斥力；

引力场的源只有一种，相应的物质的引力相互作用只有一种引力。

6、（1）将一个带正电的导体A移近一个不带电的绝缘导体B时，导体B的电位是升高还

是降低？为什么？

（2）试论证：导体B上每种符号感应电荷的数量不多于A上的电量。

答：（１）A移近时，B的电位将升高。因为带电体A移近时，B上将出现感应电荷，靠近A的一边感应电荷为负，远离A的一边为正。从A上正电荷发出的电力线，一部分终止于负的感应电荷上，正的感应电荷发出的电力线延伸至无限远，由于同一电力线其起点的电位总是高于终点的电位，若选取无限远处的电位为零，则正的感应电荷所在处（导体Ｂ）的电位大于零。静电平衡时，导体Ｂ为等位体，因此整个导体Ｂ的电位大于零，而在Ａ未移近之前，Ｂ的电位为零。可见，当Ａ移近时，Ｂ的电位升高了。

（２）从A上正电荷发出的电力线，一部分终止于Ｂ上，其余延伸至无限远处，因此Ｂ上的负电荷电量小于Ａ上的正电荷电量，且Ｂ上感应电荷总是等量异号的，所以Ｂ导体上每种电荷的电量均少于Ａ上的电荷。

7、将一个带正电的导体A移近一个接地的导体B时，导体B是否维持零电位？其上是否

带电？

答：导体B与大地等电位，电位仍为零。不论B导体原来是否带电，由于A所带电荷的符号、大小和位置的影响，B将带负电。

8、一封闭的金属壳内有一个带电量 q的金属物体。试证明：要想使这金属物体的电位与金

属壳的电位相等，唯一的办法是使q=0 。这个结论与金属壳是否带电有没有关系？答：若q≠0，金属壳的电位与带电金属物体的电位不等。应用高斯定理可证明，金属壳内表面上带负电，电量为-q ,从带电的金属物体上发出的电力线终止于金属壳的内表面上，因此带电金属物体的电位高于金属壳的电位。反之，若q=0，金属壳和金属物体之间无电场，电荷从它们中的一个移向另一个的过程中，没有电场力做功，所以它们之间无电位差。

由于静电屏蔽效应，金属壳带电与否，不会影响金属壳表面上所包围区域内的场强和电位差，所以，金属壳是否带电对以上证明的结论没有影响。

9、有若干个互相绝缘的不带电导体Ａ、B、C、…，它们的电位都是零。如果把其中任一

个如A带上正电，证明：

（1）所有这些导体的电位都高于零；

（2）其他导体的电位都低于A的电位。

答：（１）与６题解释相同。当选无限远处电位为零时，一个不带电的绝缘导体附近放入一个带正电的物体时，这个导体的电位将升高。因此电位不为零的带正电绝缘导体Ａ将使Ｂ、Ｃ、…的电位高于零。

（２）由Ａ发出的电力线总有一部分终止在其他各导体的负的感应电荷上，由于电力线指向电位降低的方向，所以其他导体的电位都会低于Ａ的电位。

10、两导体上分别带有电量-q和2q ,都放在同一个封闭的金属壳内。证明：电荷为+2q

的导体的电位高于金属壳的电位。

答：应用高斯定理可证明，金属壳内表面的感应电荷为－q。从电荷２q的导体表面发出的电力线将有一部分终止于金属壳内表面的负电荷上，根据电力线起点电位高于终点电位的性质，电荷为２q的导体的电位高于金属壳的电位。

11、一封闭导体壳Ｃ内有一些带电体，所带电量分别为q1、q2、…，Ｃ外也有一些带电

体，所带电量分别为Ｑ1、Ｑ2、…。问：

（１）q1、q2、…的大小对Ｃ外电场强度和电位有无影响？

（２）当q1、q2、…的大小不变时，它们的分布形状对Ｃ外的电场强度和电位影响如何？

（３）Ｑ1、Ｑ2、…的大小对Ｃ内的电场强度和电位有无影响？

（４）当Ｑ1、Ｑ2、…的大小不变时，它们的分布形状对Ｃ内的电场强度和电位影响如何？

答：（１）有影响。壳内电荷在壳的外表面产生等量同号的感应电荷，这些感应电荷将要影响壳外的电场强度和电位。

（２）没有影响。腔内带电体上发出的电力线全部终止于内表面的等量异号的感应电荷上，空腔内电荷分布发生变化时，内表面上感应电荷的分布也随之发生变化，但力线不穿过导体壳，因此只要腔内带电体的总电量不变，导体壳外表面的电荷量就一定，而这些电荷的分布状态仅取决于外表面的形状。形状一定，电荷分布就一定，壳外电场和相对于壳外任意点的电位也就一定。

（３）对Ｃ内的电场强度无影响，对电位有影响，但对两点之间的电位差无影响。因为外面电荷的场强与导体壳上感应电荷的场强在腔内的矢量和处处为零，因此外部电荷对腔内的电场强度没有影响，因而对Ｃ内两点之间的电位差也无影响。但是导体壳相对于壳外任意点的电位要受壳外电场，即壳外电荷大小的影响，而腔内各点的电位与导体壳

的电位有关，所以腔内的电位受外部电荷大小的影响。

（４）对Ｃ内的场强无影响，对电位差也没有影响，但对电位有影响。理由同上。 12、 若上题中Ｃ接地，情况如何？

答：当Ｃ接地时，导体壳内和导体壳外将不发生任何互相影响。

13、 （１）一个孤立导体球带电Ｑ，其表面场强沿什么方向？Ｑ在其表面上的分布是否

均匀？其表面是否等电位？电位有没有变化？导体内任一点Ｐ的场强是多少？为什么？

（２） 当把另一带电体移近这个导体球时，球表面场强沿什么方向？其上的电荷分布是否

均匀？其表面是否等电位？电位有没有变化？导体内任一点Ｐ的场强有无变化？为什么？

答：（１）一个孤立带电导体球，其表面场强必与表面垂直，即沿半径方向，否则不会处于

静电平衡状态。场的分布具有球对称性，球面上各点的电场强度数值相同，根据0/εσ=E ，球面上各点的电荷密度也相同，即电荷分布是均匀的。既然场强总是垂直于球面，所以球面是等位面。导体内任一点Ｐ的场强为零。

（２）当把另一带电体移近时，达到静电平衡后，球面的场强仍与表面垂直，否则将不会

处于静电平衡状态。这时，场的分布不再具有球对称性，球面附近各点的场强数值不同，因而电荷分布不是均匀的。既然导体表面处的场强仍处处垂直于导体表面，故表面仍为等位面。导体球的电位将升高。导体内任一点Ｐ的场强仍为零。

１４、（１）在两个同心导体球Ｂ、Ｃ的内球上带电Ｑ，Ｑ在其表面上的分布是否均匀？

（２）当从外边把另一带电体Ａ移近这一对同心球时，内球Ｃ上的电荷分布是否均

匀？为什么？

答：（１）具有球对称性，Ｑ在内球的表面上分布是均匀的。

（２）Ａ的移近使外球的外表面上感应出等量异号的感应电荷，但内部的电场不受Ａ的

影响，仍具有球对称性，内球上的电荷分布仍是均匀的。

１５、两个同心球状导体，内球带电Ｑ，外球不带电，试问：

（１）外球内表面电量Ｑ１＝？外球外表面电量Ｑ２＝？

（２）球外Ｐ点总场强是多少？

（３） Ｑ２在Ｐ点产生的场强是多少？Ｑ是否在Ｐ点产生场强？Ｑ１是否在Ｐ点产生

场？如果外面球壳接地，情况有何变化？

答：（１）外球内表面电量Ｑ１＝－Ｑ；外球外表面电量Ｑ２＝Ｑ。

（２）设球外Ｐ点到球心的距离为r,则Ｐ点的总场强为r r Q E ρρ3041πε=

。 （３）Ｑ２在Ｐ点产生的场强是r r

Q E ρρ3041πε=。Ｑ和Ｑ１都要在Ｐ点激发电场，不过，其场强的矢量和为零。如果外面球壳接地，则Ｑ２＝０，仍有Ｑ１＝－Ｑ，Ｐ点的场强为零。 １６、在上题中当外球接地时，从远处移来一个带负电的物体，内、外两球的电位增高还

是降低？两球间的电场分布有无变化？

答：这时，内外两球的电位即不增高也不降低，外球仍与大地等电位。由于静电屏蔽效应，

两球间的电场分布没有变化。

１７、在上题中若外球不接地，从远处移来一个带负电的物体，内、外两球的电位增高还

是降低？两球间的电场分布有无变化？两球间的电位差有无变化？

答：这时，内外两球的电位要降低。由于静电屏蔽效应，两球间的电场无变化，两球间各点

相对于地的电位要变化。因为每点的电位与外壳的电位有关。但是，任意两点之间的电位差没有变化，因为两点之间的电位差只由场强分布决定，场强分布不变时，电位差不变。

１８、如图所示，在金属球Ａ内有两个球形空腔。此金属球整体上不带电。在两空腔中心

各放置一点电荷q 1和q 2。此外在金属球Ａ之外远处放置一点电荷q(q 至Ａ的中心距离r>>球Ａ的半径Ｒ)。作用在Ａ、q 1、q 2和q 四物体上的静电力各多大？

答：电荷q 1在其所在空腔内壁上感应出－q 1的电荷，在Ａ的外表面上感应出＋q 1的电荷；

q 2在其所在空腔内壁上感应出－q ２的电荷，在Ａ的外表面上感应出＋q ２的电荷；因此Ａ的外表面上感应电荷的总电量为q 1＋q ２。(r>>R ，q 在球面上的感应电荷不计)

q 1和－q 1在空腔外产生的场强的矢量和为零，因此，它们对Ａ球面上的电荷q 1＋q ２以及电荷q 、q ２没有作用力。同样，q ２和－q ２也是如此。电荷q 和Ａ球面上的电荷q 1＋q ２由于静电屏蔽效应，对q 1和q ２也没有作用力。由于q 至Ａ球中心的距离r>>R, 电荷q 和Ａ球面上的电荷q 1＋q ２的相互作用，可看作两个点电荷之间的相互作用，相互作用力满足库仑定律。力的大小为()221041r

q q q E +=πε，方向在沿着q 和Ａ球心的连线上。 q 1和q ２之间没有相互作用力，因为它们各自发出的电力线全部终止在自己所在的

空腔内表面上。q 1只受其所在腔壁上－q 1作用，由于对称性，作用力相互抵消为零。同样q ２所受到的作用力也为零。

１９、在上题中取消r>>R 的条件，并设两空腔中心的间距为a ,试写出：

（１）q 给q 1的力；（２）q ２给q 的力；（３）q 1给Ａ的力；（４）q 1受到的合力。 答：（１）电荷之间的相互作用力与其他物质或电荷是否存在无关，所以点电荷q 给点电荷

q 1的作用力为 ()2

1

02/41a r qq F +=πε （２）同理q ２给q 的力 ()21

02/41a r qq F -=πε

（３）q 1给Ａ的力 Ｆ＝０（Ａ所带总电量为零，等量异号电荷分布具有轴对称性） （４） q 1受到的合力为零。因为所受力包括四部分——

一是空腔内表面上与其等量异号的感应电荷对其的作用力，由于感应电荷均匀分

布于内球面上，由对称性可知Ｆ１＝０；

二是q 2及其空腔内表面上的感应电荷－q 2对其的作用力，－q 2在内表面上的分

布也是均匀的，q 2及－q 2对q 1的作用力Ｆ２＝０；

三是Ａ球外表面感应电荷q 1＋q ２对其作用，q 1＋q ２均匀分布于Ａ球面上，在导体

内部产生的场强为零，所以作用力03=F

四是q 及Ａ上感应电荷对其作用。导体外表面上感应电荷在导体内产生的场正好

与引起它的电荷在导体内产生的电场互相抵消，使得导体内场强处处为零，所以合力Ｆ４＝０。

２０、（１）若将一个带正电的金属小球移近一个绝缘的不带电导体时，小球受到吸引力还

是排斥力？

（２）若小球带负电，情况将如何？

（３）若当小球在导体近旁（但未接触）时，将导体远端接地，情况如何？ （４）若将导体近端接地，情况如何？

（５）若导体在未接地前与小球接触一下，将发生什么变化？

（６）若将导体接地，小球与导体接触一下后，将发生什么变化？

答： （１）导体在靠近小球一端感应电荷为负电荷，小球受吸引力；

＋

（２）若小球带负电，导体在靠近小球一端感应电荷为正电荷，小

球仍受吸引力；

（３）导体远端接地时，导体整体带负电，小球所受力为吸引力；

（４）导体近端接地时，导体仍带负电，小球所受力为吸引力； （５） 导体在未接地前与小球接触一下，导体也带正电，小球受到排斥力；

（６） 导体接地，小球与导体接触后，所有电荷将通过导体流入大地，小球与导体均不带

电，因此小球与导体之间没有相互作用力。

２１、（１）将一个带正电的金属小球Ｂ放在一个开有小孔的绝缘金属壳内，但不与接触。

将另一带正电的试探电荷Ａ移近时，Ａ将受到吸引力还是排斥力？若将小球Ｂ从壳内移去后，Ａ将受到什么力？

（２）若使小球Ｂ与金属壳内部接触，Ａ受什么力？这时再将小球Ｂ从壳内移去，

情况如何？

（３）使小球不与壳接触，但金属壳接地，Ａ将受什么力？将接地线拆掉后，又将

小球Ｂ从壳内移去，情况如何？

（４）如情形（３），但先将小球从壳内移去后再拆除接地线，情况与（３）相比有

何不同？

答：（１）在此情形下，带正电的Ｂ球将在金属壳内表面感应出负电荷，在金属壳外表面感

应出正电荷，Ｂ球和金属壳组成的体系在金属壳外部的场，只由金属

壳外表面的电荷分布决定，由于金属壳外表面带正电，所以处在这个

电荷的场中的带正电的试探电荷Ａ将受到排斥力（这里忽略不计Ａ的

场对金属壳外表面电荷分布的影响，否则，在一定条件下，它们之间

可能出现相互吸引的情况）。

若将Ｂ从壳内移去，带正电的试探电荷Ａ将使金属壳外表面上产

生感应电荷，靠近Ａ的一边出现负电荷，远离Ａ的一边出现正电荷。

距离不同，吸引力大于排斥力，结果Ａ将受到吸引力作用。

（２）小球Ｂ与金属壳内部接触，Ｂ的正电荷将分布在金属壳的外表面，

处于此电场中的Ａ将受到排斥力的作用。这时再将Ｂ从金属壳内移

去，情况不变。

（３）Ｂ不与金属壳接触，但金属壳接地时，金属壳外表面由于Ａ的存

在而出现的感应电荷消失。但由于带正电的Ａ的存在，将在离Ａ最近

＋

＋Ａ ＋＋ Ａ Ｂ ＋＋ Ａ Ｂ ＋＋ Ａ Ｂ

的一边出现负的感应电荷，它将使Ａ球受到吸引力作用。

将接地线拆掉后，又将Ｂ从壳内移去，内表面上的负电荷将分布在外表面上，最后结果是Ａ球所受的吸引力增大。

（４）先将Ｂ移去再拆去地线，与（３）的最后结果相同，但引力大小不同。

在（３）中，由于静电平衡状态下先拆掉地线，各部分电荷分布不变，再将Ｂ从壳内移去，内壁的负电荷转移到外表面后不能入地，Ａ球受到的吸引力增大。

在（４）中，先将Ｂ从壳内移去，内壁的负电荷转移到外表面后，全部从接地线入地，静电平衡后再拆去地线，Ａ球受到的吸引力将不增加。

２２、在一个孤立导体球壳的中心放一个点电荷，球壳内、外表面上的电荷分布是否均匀？

如果点电荷偏离球心，情况如何？

答：电荷放在球心，由于球对称性，球壳内、外表面上的电荷分布是均匀的。如果点电荷偏离球心，力线不是从球心出发，但在内表面附近，又必须垂直于球壳的内表面，所以球壳内的场强分布不再具有球对称性，球壳内表面上的电荷分布不再均匀。但是，点电荷发出的电力线终止在内表面上，不影响球壳外部，因此，球壳外表面的电荷仍然按外表面的形状均匀分布。

２３、如图所示，金属球置于两金属板间，板间加以高压，则可看到球与板间放电的火花。

若再在下面板上金属球旁放一等高度的尖端金属，问放电火花将如何变化？想一想这现象可有何应用？

答：若在下面板上金属球旁放一等高的尖端金属，则球和上板之间不再出现放电火花，火花只出现在尖端金属与上板之间。这是由于导体尖端处面电荷密度大，附近的场强特别强，使得空气易于在金属尖端和上板之间被击穿而发生火花放电。

上述现象说明，曲率半径小的尖端比曲率半径大的表面易于放电。利用这种现象可以做成避雷针，避免建筑物遭受雷击；让高压输电线表面作得很光滑，其半径不要过小，避免尖端放电而损失能量；高压设备的电极作成光滑球面，避免尖端放电而漏电，以维持高电压等。

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

习题：

１、如图所示，一平行板电容器充电后，Ａ、Ｂ两极板上电荷的面密度分别为σ和－σ。

设Ｐ为两板间任一点，略去边缘效应，求：

（１）Ａ板上的电荷在Ｐ点产生的电场强度ＥＡ；

（２） Ｂ板上的电荷在Ｐ点产生的电场强度ＥＢ；

（３） Ａ、Ｂ两板上的电荷在Ｐ点产生的电场强度Ｅ；

（４） 若把Ｂ板拿走，Ａ板上电荷分布如何？Ａ板上的电荷在Ｐ点产生的电场强度为多少？

解：略去边缘效应，两极板上的电荷是均匀分布的电荷，两极板间的电场是均匀电场。由对

称性和高斯定理可得

（1）Ａ板上的电荷在Ｐ点产生的电场强度 e E A ρρ0

2εσ=

（A 板法线方向上的单位矢量，指向B 板）； （2） B 板上的电荷在Ｐ点产生的电场强度 e E B ρρ0

2εσ= （3） Ａ、B 两板上的电荷在Ｐ点产生的电场强度e E E E B A ρρρρ0

εσ=+= （4） Ｂ板拿走后，Ａ板上电荷将均匀分布在两个表面上，面电荷密度减小为一半。

在P 点产生的场强为两个表面上电荷产生场强的叠加，e E A ρρ0

2εσ= 2、证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，

（１） 相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；

（２） 相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

（３） 若左导体板带电+3微库/米2，右导体板带电+7微库/米2，求四个表面上的

电荷。

解：由对称性可知，在每个面上，电荷必定都是均匀分布的，在两板间和两板外的电场必定

都是均匀电场，电场强度的方向都与板面垂直。

（１） 作柱形高斯面如图所示，由高斯定理得

3

2320)(10σσσσε-=∴+==??S S d E S ρρ （２） 根据无限大带电平面均匀电荷产生电场强度的公式和电场强度的叠加原理，导体

内任一点P 的电场强度为 4143210

040302010)(21)(2)(2)(22σσσσσσεεσεσεσεσ==---=-+-+-+=e e e e e E P ρρρρρρ

σ 4

（３） 应用前述结果及电荷守恒定律

S

Q S Q )()(4322114132σσσσσσσσ+=+==-= 解得：()()2

214122132/521/221m C S Q Q m C S Q Q μσσμσσ=+==-=-=-= 由此可知，当Q 1=Q 2时，相向的两面上无电荷分布，相背的两面上电荷等量同号； 当Q 1=-Q 2时，相背的两面上无电荷分布，相向的两面上电荷等量异号。

3、两平行金属板分别带有等量的正负电荷。两板的电位差为120V ，两板的面积都是3.6cm 2,两板相距1.6mm 。略去边缘效应，求两板间的电场强度和各板上所带的电量。

解：（1）两板间电场看作均匀电场，两板的电势差为

)/(105.74m V d U U E Ed l d E U U ?=-==?=--++-

-+?ρρ

电场强度的方向由电势高的板指向电势低的板。

（2）利用上题结果，相背的两面上没有电荷，相向的两面上电荷面密度大小相等而符号

相反。板上的电量为C ES S Q 100104.2-?±=±==εσ

4、两块带有等量异号电荷的金属板a 和b ，相距5.0mm ，两板的面积均为150 cm 2,电量的大小都是2.66×10-8C,a 板带正电并接地。以地的电位为零，并略去边缘效应，问： （１） b 板的电位是多少？

（２） a 、b 间离a 板1.0mm 处的电位是多少？

解：a 、b 两板上的电荷都均匀分布在相向的两面上，

(1) 两板间的电场强度为 e S

Q e E ρρρ00εεσ== b 板的电位为 ???-=-=-=?-=b a b a a b V S

Ql Edl l d E U U 30100.10ερρ （２） 两板之间离a 板1.0mm 处的电位是

???-=-==?-=P a P b P

a b V l

l U Edl l d E U 2100.2ρρ 5、三平行金属板A 、B 和C ，面积都是200 cm 2,AB 相距4.0mm ，AC 相距2.0mm ，BC

两

2σ 4

板都接地。如果使A 板带正电3.0×10-7C ，在略去边缘效应时，问B 板和C 板上感应电荷各是多少？以地的电位为零，问A 板的电位是多少？

解：（1）BC 两板都接地，故两板上只有向着A 的一面有感应电荷。

由对称性和高斯定理得

C

Q C Q Q d d Q d d U U e E AC e E AB Q Q Q C B B AC

AB C AB B AC C C B AC AC AB AB A

C B AC

AB C B AB B AC C 77000

100.2,

100.1)(0

--?-=?-==→=→=-==-=+--=+∴=+=+联立解得间的电场强度为间的电场强度为由高斯定理得为三块板上电荷量的关系εσεσεσεσσσσσσσσσρρρρ （2）A 板的电位为 V d S

Q d d E U AB B AB B AB AB A 300103.2?=-=-==εεσ 6、点电荷q 处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为R 1和R 2，求场强和电位的分布，

并画出E —r 和U —r 曲线。

解：（1）由高斯定理得场强的分布为 2

020404r q

E E r

q

E πεπε=== ()()()2211R r R r R R r ><<< （2）电位分布为 r q E l d E U R q l d E U R R r q l d E U r r r 032

022*********πεπεπε=?==?=???

? ??+-=?=???∞∞∞

ρρρρρρ ()()()2211R r R r R R r ><<< （3）E —r 和U —r 曲线如图所示

球壳内外面上电场强度的值，等于该面两边趋于该面时电场强度极限值的平均值。

7、在上题中，若q=4.0×10-10C,R 1=2cm ，R 2=3cm ，求：

（１） 导体球壳的电位；

（２） 离球心r=1cm 处的电位；

（３） 把点电荷移开球心1cm ，求导体球壳的电位。

解：（1）导体球壳的电位为 V R q l d E U R 1204202==?=?∞περρ

（2）离球心为r 处的电位为

V R q R r q

l d E l d E U R R r 3004)11(4201021

=+-=?+?=??∞πεπερρρρ （3）导体球壳的电位取决于球壳外表面电荷分布所激发的电场，与点电荷在球壳内的位

置无关。因此导体球壳电位仍为300V 。

8、半径为R 1的导体球带有电量q,球外有一个内、外半径分别R 2、R 3的同心导体球壳，壳上带有电荷Q 。

（１） 求两球的电位U 1和U 2；

（２） 两球的电位差△U ；

（３） 以导线把球和壳连在一起后，U 1、U 2和△U 分别是多少？

（４） 在情形（1）、（2）中，若外球接地，U 1、U 2和△U 分别是多少？

（５） 设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？

解：（1）由对称性和高斯定理求得，各区域的电场强度和电位分别为

1 2

()

()()

()32032212014040R r r Q q E R r R E R r R r q E R r E >+=<<=<<=<=πεπε )(4)(4)(141114)(141114304323

032130320213032101R r r

Q q l d E U R r R R Q q l d E U R r R R Q R R r q l d E U R r R Q R R R q l d E U r r r r ≥+=?=≤≤+=?=≤≤+???? ??+-=?=≤+???? ??+-=?=????∞∞∞∞πεπεπεπεπεπερρρρρρρρ外球电位内球电位 （2）两球的电位差为 ???? ??-=?=??21

011421R R q l d E U R R περρ （3）以导线连接内外球，所有电荷将分布于球壳的外表面上， 0

43

0=?+==U R Q q U U πε外内

（4）若外球接地，则情形（1）（2）中球壳内表面带电-q,外表面不带电

???? ??-=?→=???? ??-=

?=?21022101114011421R R q U U R R q l d E U R R πεπε外球电位内球电位ρρ （5）内球电位为零。设其上所带电量为q′, 31322121023132212102023132212132101)(41)(414104112121R R R R R R R R Q U U R R R R R R R R Q dr r

q l d E U R R R R R R R QR q R Q q R q R q l d E U R R R R R -+-==?-+-='=?=-+='→=???

? ??+'+'-'=

?=???∞πεπεπεπερρρρ外球电位内球电位 ９、 上题中，设q=10-10C,Q=11×10-10C,R 1=1cm ，R 2=3cm ，R 3=4cm ，试计算各种情形中的

U 1、U 2和△U ，并画出U —r 曲线。

解：利用上题结果代入数据得

V

U U U V U U V

U U U U V U V R Q

U U V

U U U V R Q U V R Q R R R q U 180,180,0)5(60,0,60)4(27014)3(60)2(27014330141114)1(212121213021213023032101-=-=?===-=?======-=?===+???? ??+-=

πεπεπεπε

函数曲线如图所示。

１０、 设范德格喇夫起电机的球壳与传送带上喷射电荷的尖针之间的电位差为3.0×106V ,

如果传送带迁移电荷到球壳上的速率为 3.0×10-3C/s ，则在仅考虑电力的情况下，必须用多大的功率来开动传送带？

解：开动传送带的功率至少应等于迁移电荷作功的功率

W vU t

U q t A N 9000==?== １１、 德格喇夫起电机的球壳直径为1m 。空气的击穿场强为30KV/cm 。这起电机最多能

达到多高的电位？

解：对空间任一点P ，球壳所带电荷产生的电场的场强和电位分别为

V ER U r E U r q U r q E 6max 020105.14141

?===???????

==πεπε

１２、 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱体构成。设内圆柱体的电

位为U 1，半径为R 1，外圆柱体的电位为U 2，内半径为R 2，求其间离轴为r 处（R 1

解：由高斯定理可解得内圆柱体和外圆柱体之间的电场强度为

r e r E ρρ02πελ=

设r 处的电位为U ，则1

01ln 21R r l d E U U r R πελ=?=-?ρρ )

/ln()/ln()(ln 2ln 2ln 21212111011

2

21

01

20212

1R R R r U U U R r U U R R U U R R l d E U U R R --=-=∴-==?=-?πελπελπελρρΘ １３、 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱体构成。设内圆柱体的半

径为R 1，外圆柱体的内半径为R 2，两圆柱体的电位差为U 。求其间离轴为r 1和r 2处（R 1

解：利用上题结果，离轴为r 1和r 2处（R 1

)

/ln()/ln(ln 212122102121R R r r U r r l d E U U r r ==?=-?πελρρ １４、 一很长直导线横截面的半径为a ，这线外套有内半径为b 的同轴导体圆筒，两者互

相绝缘，外筒接地，它的电位为零。导线电位为U ，求导线和筒间的电场强度分布。

解：由高斯定理可求得a

E ρρ02πελ=

导线相对于外筒的电位差为 )

/ln(2)

/ln()/ln(2ln 2000a b r U r E a b U

a b U U a

b l d E U U b a a

b b a ==∴=-==?=-?πελπελπελρρ ------------------------------------------------------------------------------ §2.2 电容和电容器

思考题：

１、 两导体A 、B 相距很远（因此它们都可以看成是孤立的），其中A 原来带电，B

不带电。

现用一根细长导线将两球联接。电荷将按怎样的比例在两球上分配？

答：当用导线联接A 、B 时，U A =U B ，两导体所带电量与电容成正比。如果两导体为球形，则B

A B A B A B A R R R R C C q q ===0044πεπε，即电量与导体球的半径成正比。 ２、 用一个带电的小球与一个不带电的绝缘大金属球接触，小球上的电荷会全部传到大球

上去吗？为什么？

答：只要大球的半径是有限的，小球的电荷就不会全部传到大球上去。因为两球接触后，可

看作一个孤立导体，表面的电荷分布与导体表面曲率有关。两球曲率不同，电荷的面密度不同。只要大球的半径与小球半径之比不是充分大，小球上保留的电荷与大球上的电荷相比就不能忽略。

３、 将一个带电导体接地后，其上是否还会有电荷？为什么？分别就此导体附近有无其他

带电体的不同情况加以讨论。

答：当带电体附近无其他带电体时，将带电体接地后，实验表明带电体上的电荷就会消失，这可以由静电平衡时，导体表面的电荷分布与曲率有关解释。R

r Q q

=，由于实际问题中，带电体的线度与地球半径比较可以忽略，即r/R →0，所以q/Q →0.可见，不论带电体和地球联接前如何带电，它们连接后，带电体上保留的电荷可以视为零。

当接地带电体附近有其他带电体时，由于其他带电体在此接地带电体上产生异号感应电荷，接地导体上仍然还会有电荷。不过，这些电荷的符号和大小与原来的带电体情况无关，只取决于附近其他带电体所带的电荷的符号、大小和位置。

４、 附图中所示是用静电计测量电容器两极板间电压的装置。试

说明，为什么电容器上电压大时，静电计的指针偏转也大？

答：静电计可看作一个电容器，外壳为一极板，指针和支撑刻度

盘的杆子为另一极板。平行板电容器与静电计构成的电容器

并联。电压相等。电容一定时，电量与电压成正比。当平行板电容器的电压高时，静电计电容器上的电压也高。因而静电计指针和支撑刻度盘的金属杆上的电量也大，从而指针和杆子的排斥作用也大，静电计的指针偏转也就大。

５、 附图中三块平行金属板构成两个电容器。试判断图a 、b 中哪种接法是串联，哪种接法

是并联。

答：a 是并联。b 是串联。

６、 判断图a 、b 中两个同心球电容器是串联还是并联。

答：a 是并联。b 是串联。

７、 附图中四个电容器大小相同（C 1=C 2=C 3=C 4），电源电压为U ，下列情况下每个电容器

上的电压是多少？

（１） 起先电键K 2断开，接通K 1再接通K 2，然后断开K 1；

（２） 起先电键K 2断开，接通K 1，断开K 1，然后接通K 2。

答：（1）K 2断开，接通K 1，U 1=U 2=U 3=U/3，U 4=0；

再接通K 2，C 2与C 4并联，C 24=2C

U 1 =U 3=2U 24，U 1 +U 3+U 24=U ；

U 1 =U 3=2U/5 U 24=U/5

断开K 1，情况不变。

（总电压为U 保持不变）

（2电键K 2断开，接通K 1，U 1=U 2=U 3=U/3，U 4=0；

断开K 1，电量保持一定；

接通K 2，U 1= U 3=U/3，U 24=U/6，U 2=U 4=U/6

（电量不变，总电容增大，总电压减小）

８、 附图中三平行金属板面积相等，且等距。下列情形下各板的电位是多少？设原来电键

K 和K 1已接通，K 2和K 3是断开的。

（１） 断开K ，断开K 1，接通K 2； a

C 1 C 2 C 3

（２） 断开K ，接通K 2，断开K 1；

（３） 断开K ，接通K 2，断开K 2，接通K 3。

解：三平行金属板面积相等，且等距，两相邻板之间构成的电容器电容相等。当最初电键K

和K 1已接通，K 2和K 3断开时，U 1=0，U 2=U/2，U 3=U 。

（１） 断开K ，断开K 1，q 1和q 3不变；接通K 2，U 2=0。各板上电荷分布不变，只是零电

位点变动，U 1=-U/2，U 3=U /2。

（２） 断开K ，q 3不变；接通K 2，U 1= U 2，其间E=0，即2板下面正感应电荷与1板上负

感应电荷中和。2板和3板之间E 不变；再断开K 1，情况不变。

U 1= U 2=0，U 3=U /2。

（３） 断开K ，q 3不变；接通K 2，q 1与q 2中和；断开K 2，2板上剩下的负电荷不变。接通

K 3，U 3=U 1；但由于2板上负电荷的作用，为保持导体内E=0，U 3=U 1，3板和1板必须有原来一半的电荷，各板间电场为原来一半，而且方向指向2板。所以U 2=-U/4。 ９、 如附图所示，用电源将平行板电容器充电后即将电键K 断开。然后移近两极板。在

此过程中外力作正功还是作负功？电容器储能增加

还是减少？

答：两极板带等量异号电荷，相互吸引。在移近两板的过程

中，电场力做正功，外力做负功，能量减少。

电容器充电后K 断开，两极板上的电荷保持不变。

在移近两极板的过程中，电容器的电容增大，因而电压减小。由电容器储能公式

C Q CU QU W 22212121===可知，电容器的储能减少。 １０、 在上题中，如果充电后不断开K ，情况怎样？能量是否守恒？

答：充电后不断开K 时，在移近两板的过程中，外力仍做负功，但电压保持不变而电容增

大，电容器储能增加。增加的能量来自于电源所做的功。

在恒压下增大电容，电源一方面为电容器增加电量，另一方面提供一部分能量对外

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