大学物理 力学计算题

力学计算题

??质量为0.25 kg的质点，受力F?ti (SI)的作用，式中t为时间．t = 0时该质点以v??2?j (SI)的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是

______________．23t3?i?2t?j (SI) 1 （0155）

如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑 R轮质量为M、半径为R，其转动惯量为

1MR22，

滑轮轴光滑．试 M求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系． 1 （0155）

m

解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程

对物体： mg－T ＝ma ① 对滑轮： TR = J? ② 运动学关系： a＝R? ③ 将①、②、③式联立得 a＝mg / (m＋12M) R ?T∵ v0＝0，

M a∴ v＝at＝mgt / (m＋

1M) T2mg

4 匀质杆长为l，质量为m，可绕过O点且与杆垂直的F A 轴在竖直面内自由转动。如图所示，OA＝13 l，杆对轴的θ 惯量I＝

19m l 2，开始静止。现用一水平常力F＝2mg作用O 点A，当杆转角???6时撤去力F。求：

（1）过程中力F做功；（2）杆转到平衡位置时的角速度。

水平转动

于端

解：（1）力F对轴的力矩为 F

11 l cosθ = 2 m g l cosθ， 33?所以 A＝M?d??Md?????60l1

2mgcos?d?＝mgl

33

（2）撤去力F后机械能守恒，设平衡位置势能为零

12I??A， 212?mgl2A6g3???? 12Ilml9 2（（0561）

质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2 / 2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示．求盘的角加速度的大

2r rm2mmm小．

0561）

解：受力分析如图． 2分 ?? mg－T2 = ma2 1分 T1－mg = ma1 1分

T2 T2 (2r)－T1r = 9mr2? / 2 2分

2r? = a2 1分 a2 r??= a1 1分 ?解上述5个联立方程，得： P2 T1 a1

??2g 2分 19r?P1

1.（本题10分）（5270）

如图所示的阿特伍德机装置中，滑轮和绳子间没有滑动且绳子不可以伸长，轴与轮间有阻力矩，求滑轮两边绳子中的张力．已知m1＝20 kg，m2＝10 kg．滑轮质量为m3＝5 kg．滑轮半径为r＝0.2 m．滑轮可视为均匀圆盘，阻力矩Mf＝6.6 N·m，已知圆盘对过其中心且与盘面垂直的轴的转动惯量为

1m3r2． 21. （10分）

解：对两物体分别应用牛顿第二定律(见图)，则有

?? m1g－T1 = m1a ① r T2 – m2g = m2a ②

T1? 2分

T2? 对滑轮应用转动定律，则有 T 1 T 2

1m 2 m 1 T1?r?T2?r?Mf?J??m3r2?? ③ 22分 m1g m2g

对轮缘上任一点，有 a = ??r ④ 1分

又： T1?= T1， T2?= T2 ⑤

则联立上面五个式子可以解出

m1gr?m2gr?Mf a?＝2 m/s2 2分

1m1r?m2r?m3r2 T1＝m1g－m1a＝156 N

T2＝m2g－m2 a＝118N 3分

计算题：（共40分）

m3 r m1 m2

1.（本题10分）（0141）一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞．碰撞点位于棒中

1L处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动的角速度?．(细棒绕通过其212端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为ml，式中的m和l分别为棒的质量和长度．)

3心的一侧

121L L L v0 O 2v0

1. (本题10分)

解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为

1?002式中?为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为

221?3?3?1?1??7 J???m?L??m?L????mL2? 3分

3?4?2??12?4?2??因碰撞前后角动量守恒，所以

1 7mL2?/12?mv0L 3分

2∴ ? = 6v0 / (7L) 1分

3L/2?v0xdx??L/2?v0xdx??v0L2?mv0L 3分

1.（本题10分）（0452）

如图，水平地面上一辆静止的炮车发射炮弹．炮车质量为M，炮身仰角为? ，炮弹质量为m，炮弹刚出口时，相对于炮身的速度为u，不计地面摩擦：

(1) 求炮弹刚出口时，炮车的反冲速度大小； (2) 若炮筒长为l，求发炮过程中炮车移动的距离．

m

?

1．(0452)（本题10分）

解：(1) 以炮弹与炮车为系统，以地面为参考系，水平方向动量守恒．设炮车相对于地面的速率为Vx，则有

MVx?m(ucos??Vx)?0 3分

Vx??mucos?/(M?m) 1分

即炮车向后退．

(2) 以u(t)表示发炮过程中任一时刻炮弹相对于炮身的速度，则该瞬时炮车的速度应为

Vx(t)??mu(t)cos?/(M?m)

3分

tt积分求炮车后退距离 ?x?Vx(t)dt??m/(M?m)u(t)cos?dt

00??2分

?x??mlcos?/(M?m)

即

向

后

退

了

mlcos?/(M?m)的距

离． 1分

1．（5264）

一物体与斜面间的摩擦系数? = 0.20，斜面固定，倾角? = 45°．现给予物体以初速率v 0 = 10 m/s，使它沿斜面向上滑，如图所示．求：

(1) 物体能够上升的最大高度h；

?v0 ??该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v ．

解：(1)根据功能原理，有 fs?h 12mv0?mgh 2分 2?Nhcos?12 fs???mgh??mghctg??mv0?mgh 2分

sin?sin?22v0 h?=4.5 m 2分

2g(1??ctg?)12 (2)根据功能原理有 mgh?mv?fs 1分

212 mv?mgh??mghctg? 1分

2 v??2gh(1??ctg?)?2=8.16 m/s 2分

1 2．（0211）

质量为M＝0.03 kg，长为l＝0.2 m的均匀细棒，在一水平面内绕通过棒中心并与棒垂直的光滑固定轴自由转动．细棒上套有两个可沿棒滑动的小物体，每个质量都为m＝0.02 kg．开始时，两小物体分别被固定在棒中心的两侧且距棒中心各为r＝0.05 m，此系统以n1＝15 rev/ min的转速转动．若将小物体松开,设它们在滑动过程中受到的阻力正比于它们相对棒的速度,(已知棒对中心轴的转动惯量为Ml 2 / 12)求：

(1) 当两小物体到达棒端时，系统的角速度是多少？

(2) 当两小物体飞离棒端，棒的角速度是多少？ 解：选棒、小物体为系统，系统开始时角速度为 ?1 = 2?n1＝1.57 rad/s．

(1) 设小物体滑到棒两端时系统的角速度为?2．由于系统不受外力矩作用，

所以角动量守恒． 2分

?Ml2?Ml212?2?故 ??12?2mr???1???12?2ml???2 3分 ?????Ml22????2ml?12??1??＝0.628 rad/s 2分

?2?Ml212?ml122(2) 小物体离开棒端的瞬间，棒的角速度仍为?2．因为小物体离开棒的瞬间

内并未对棒有冲力矩作用．

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