二次函数和相似三角形的综合应用

二次函数和相似三角形的综合应用

1、如图，已知抛物线y=?1（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交m于点E，且点B在点C的左侧。 （1）若抛物线过点M（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。

2、如图，已知抛物线y?k(x?2)(x?4)（k为常数，且k?0）与x轴从左至右依次交8于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y??（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；

3 x?b与抛物线的另一交点为D。

3（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

3、如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC。抛物线y?ax2?bx?c经过点A、B、C。 （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t。

①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时点P的坐标；

②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD面积的最大值；若不存在，请说明理由。

4、在平面直角坐标系中，抛物线y?ax2?bx?3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H。

（1）直接填写：a= ，b= ，顶点C的坐标为 ；

（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标。

5、已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）。 （1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；

（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值； （3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E。问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由。

6、如图，已知：如图，直线y=-x＋+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（x－k）2＋h（a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG。设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和3个单位长度/秒，运动时间为t秒。

（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；

（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由； （3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式。 备用图

7、如图，二次函数y?ax2?bx(a?0)的图象经过点（1，4），对称轴是直线x??3，线2段AD平行于x轴，交抛物线于点D。在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA， OB，OD，BD。 （1）求该二次函数的解析式；

（2）若点P为抛物线上的一个动点（不与点O重合），且S?DBO?S?DBP，求点P的坐标； （3）在坐标平面内是否存在点E使△EOD∽△AOB？若存在，求出点E的坐标，若不存在，．．．．．请说明理由。

8、如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y=x-4x+3经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上。 （1）请直接写出下列各点的坐标：

A ，B ，C ，D ；

（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2。 ①当线段PH=2GH时，求点P的坐标；

②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH面积的最大值。

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9、如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）。 （1）求直线BD和抛物线的解析式；

（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一疑点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标。

10、如图，抛物线y=ax﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G。 （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为抛物线上一个动点，且在CD上方，过点P的直线x=m与线段CD、AC、x轴分别交于点F、M、E，连结PC，则是否存点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由。 （3）在（2）的条件下判断△PCM的形状，并说明理由。

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21、如图，抛物线y=﹣（x﹣1）+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）。 （1）求点B，C的坐标；

（2）判断△CDB的形状并说明理由；

（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE。△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。

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22、如图，已知抛物线y=ax+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1。 （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标； （3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S。

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