2012重庆中考复习第24题训练

2012重庆中考复习第24题训练

1.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE

（1）求证：BE=CE；

（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．

考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）由已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，可推出△BAE≌△CDE，得证．

（2）首先延长CD和BE交点H，通过证明三角形全等，证得BG=DG+CD解答：解：（1）证明：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，

∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，

∴△BAE≌△CDE，

∴BE=CE；

（2）证明：延长CD和BE的延长线交于H，

∵BF⊥CD，∠HEC=90°，

∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°

∴∠EBF=∠ECH，

又∠BEF=∠CEH=90°，

BE=CE（已证），

∴△BEG≌CEH，

∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，

∵△BAE≌△CDE（已证），

∴∠AEB=∠GED，

∠HED=∠AEB，

∴∠GED=∠HED，

又EG=EH（已证），ED=ED，

∴△GED≌△HED，

∴DG=DH，

∴BG=DG+CD．点评：此题考查的知识点是等腰梯形的性质和全等三角形的判定与性质，

2. (2010-2011南开中学九年级（上）期末)

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，E、F分别为AD、AB中点，G为BC边上一点，且GE=GF．

（1）求证：∠AEG=∠AFG；

（2）猜想：当AB= GC时，四边形GCDE为平行四边形，并说明理由．

2012重庆中考复习第24题训练

证明：（1）连接AG，如图所示：

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．

∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．

∵E、F分别为AD、AB中点，∴AF=AE（4分）

又∵GE=GF，AG=AG，

∴AEG≌△AFG（SSS）．

∴∠AEG=∠AFG．

（2）当AB=2GC时，四边形GCDE为平行四边形．

理由如下：

∵AB=AD，E为AD中点，

∴AB=2ED．

∵AB=2GC，∴ED=GC．

又AD∥BC，即是ED∥GC，

∴四边形GCDE为平行四边形

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．

（1）当CE=1时，求△BCE的面积；

（2）求证：BD=EF+CE．

2012重庆中考复习第24题训练

解：（1）∵AD=CD，

∴∠DAC=∠DCA，

∵DC∥AB，

∴∠DCA=∠CAB，

∴ ∠DAC=∠CAB=12∠DAB=30°，

∵DC∥AB，AD=BC，

∴∠DAB=∠CBA=60°，

∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA）=90°，

∴∠BCE=180°-∠ACB=90°，

∵BE⊥AB，

∴∠ABE=90°，

∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=30°，

在Rt△BCE中，BE=2CE=2， BC=BE2-CE2=3，

∴ S△BCE=12BC CE=12×1×3=32…（5分）

（2）过E点作EM⊥DB于点M，

∴四边形FDME是矩形，

∴FE=DM，

∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，

∴△BME≌△ECB，

∴BM=CE，

∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AC=AB，∠DAC=30度．点E、F是梯形ABCD外的两点，且∠EAB=∠FCB，∠ABC=∠FBE，∠CEB=30°．

（1）求证：BE=BF；

（2）若CE=5，BF=4，求线段AE的长．

2012重庆中考复习第24题训练

（1）证明：∵梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，

∴∠DAB=90°，且∠DAC=30°，

∴∠BAC=60°．

∵AB=AC，

∴△ABC为等边三角形．

∴AB=BC，

又∵∠ABC=∠FBE，

∴∠ABE=∠CBF，

在△ABE和△CBF中 {∠EAB=∠FCBAB=CB∠ABE=∠CBF

∴△ABE≌△CBF，

∴BE=BF；

（2）连接EF．

由（1）知△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=60°．

又∵∠ABC=∠FBE，

∴∠FBE=60°，

∵BE=BF，

∴△EBF为等边三角形，

∴∠BEF=60°，EF=BF，

∵∠CEB=30°，

∴∠CEF=90°，

∴在Rt△CEF中，CF2=CE2+EF2=CE2+BF2，

∵CE=5，BF=4，

∴CF= 41．

又由（1）△ABE≌△CBF知，AE=CF，

∴AE= 41．

如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．

2012重庆中考复习第24题训练

（1）求证：DP平分∠ADC；

（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．

解答：（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°． ∵P是EF的中点，∴PA= 12EF，PC= 12EF，∴PA=PC．又 AD=CD，PD公共，

∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；

（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH= 12EC．设EC=x．

由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°-45°-75°=60°， ∴EF=2x，FC= 3x，BE=2-x．

在Rt△ABE中，22+（2-x）2=（2x）2

解得 x1=-2-2（舍去），x2=-2+23．

∴PH=-1+3，FD= （-2+2 ）-2=-2+4．

∴S△DPF= 12（-2 3+4）× (-1+3)=33-5．

2012重庆中考复习第24题训练

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，D为AB的中点，DE交AC于点E，DF交BC于点F，且DE⊥DF，过A作AG∥BC交FD的延长线于点G．

（1）求证：AG=BF；

（2）若AE=9，BF=18，求线段EF的长．

（1）证明：∵D是AB的中点，∴AD=BD．∵AG∥BC，∴∠GAD=∠FBD．

∵∠ADG=∠BDF，（3分）∴△ADG≌△BDF．∴AG=BF．

（2）解：连接EG，∵△ADG≌△BDF，∴GD=FD．∵DE⊥DF，∴EG=EF．

∵AG∥BC，∠ACB=90°，∴∠EAG=90°．

在Rt△EAG中，

∵EG2=AE2+AG2=AE2+BF2

∴EF2=AE2+BF2且AE=9BF=18．

∴EF=9 5．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3du4.html