2018版数学人教A版选修4-4学案：第一讲 坐标系 四 含答案 精品

学习目标 1.了解柱坐标系、球坐标系的特征.2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间的互化公式.3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题．

知识点一 柱坐标系

思考 要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？ 答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离． 梳理 柱坐标系的概念

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记做P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R.

x＝ρcos θ，??

(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为?y＝ρsin θ，??z＝z.知识点二 球坐标系

思考 要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，用三个距离来表示，在柱坐标系中，用两个距离和一个角来表示，那么，能否用两个角和一个距离来表示． 答案 可以．

梳理 球坐标系的概念

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记做P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π. x＝rsin φcos θ，??

(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为?y＝rsin φsin θ，

??z＝rcos φ.

类型一 柱坐标与直角坐标的互化

例1 (1)设点A的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标； π

4，，8?，求它的直角坐标． (2)已知点P的柱坐标为??3?x＝ρcos θ，??y＝ρsin θ，

解 (1)由变换公式?得ρ＝x＋y，

??z＝z，

2

2

2

即ρ2＝12＋(3)2＝4， y

∴ρ＝2.tan θ＝＝3，

xπ

又x>0，y>0.∴θ＝，

3π

2，，5?. ∴点A的柱坐标为??3?x＝ρcos θ，??

(2)由变换公式?y＝ρsin θ，

??z＝z，

ππ

得x＝4cos ＝2，y＝4sin ＝23，z＝8.

33

∴点P的直角坐标为(2,23，8)．

反思与感悟 (1)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，x＝ρcos θ，??

代入变换公式?y＝ρsin θ，

??z＝z，

y

求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tan θ＝，求θ，在求θ

x

的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值． (2)点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．

跟踪训练1 (1)已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标； π

(2)已知点N的柱坐标为(2，，3)，求它的直角坐标．

2解 (1)ρ＝x2＋y2＝02＋12＝1. π

∵x＝0，y>0，∴θ＝. 2π

∴点M的柱坐标为(1，，2)．

2x＝ρcos θ，??

(2)由变换公式?y＝ρsin θ，得

??z＝z，

ππ

x＝2cos ＝0，y＝2sin ＝2，

22故点N的直角坐标为(0,2,3)． 类型二 球坐标与直角坐标的互化

3ππ

4，，?，求它的直角坐标； 例2 (1)已知点P的球坐标为?44??(2)已知点M的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． 解 (1)由变换公式，得 x＝rsin φcos θ＝4sin y＝rsin φsin θ＝4sin z＝rcos φ＝4cos

3ππ

cos ＝2. 443ππsin ＝2. 44

3π

＝－22. 4

故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式，可得

r＝x2＋y2＋z2＝?－2?2＋?－2?2＋?－22?2＝4. 由rcos φ＝z＝－22，

－2223π

得cos φ＝＝－，φ＝.

r24y5π

又tan θ＝＝1，θ＝，

x4

3π5π

4，，?. 从而知M点的球坐标为?44??

反思与感悟 由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，φ，θ)，利用变换公式x＝rsin φcos θ，??

?y＝rsin φsin θ，??z＝rcos φ，

yz

求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝来求，xr

要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置． 跟踪训练2 根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标． π7π5π5π

2，，?；(2)?3，，?. (1)?63??44??解 设点的直角坐标为(x，y，z)， π7π

2，，?， (1)∵(r，φ，θ)＝??44?

?

π7π?∴y＝rsin φsin θ＝2sin 4sin 4＝－1，

?πz＝rcos φ＝2cos ＝2，?4

∴(1，－1，2)为所求． 5π5π

3，，?， (2)∵(r，φ，θ)＝?63??

π7π

x＝rsin φcos θ＝2sin cos ＝1，

44

??5π5π33

∴?y＝rsin φsin θ＝3sin 6sin 3＝－4，5π33?z＝rcos φ＝3cos ＝－.?62

x＝rsin φcos θ＝3sin 33333?∴?，－为所求． ，－42??4类型三 求点的坐标

5π5π3

cos ＝，634

例3 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面ABCD边长为1，高AA1为6，建立空间直角坐标系(如图)，Ax为极轴，求点C的直角坐标．柱坐标及球坐标．

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