高二抛物线的简单几何性质习题一(附答案)

抛物线的几何性质习题

一、选择题

1.若A是定直线l外的一定点，则过A且与l相切圆的圆心轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线

2

2.抛物线y=10x的焦点到准线的距离是( )

A.2.5 B.5 C.7.5 D.10

3.已知原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )

2222A.y=11x B.y=-11x C.y=22x D.y=-22x

2

4.过抛物线y=2px(p＞0)的焦点且垂直于x轴的弦AB，O为抛物线顶点，则∠AOB( ) A.小于90° B.等于90° C.大于90° D.不能确定

2

5.以抛物线y=2px(p＞0)的焦半径｜PF｜为直径的圆与y轴位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定

二、填空题

2

6.圆心在抛物线y=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .

x2y2

7.若以曲线+=1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于

2516

A、B两点，则｜AB｜= .

8.若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为，则此抛物线的方程是 .

三、解答题

2

9.抛物线x=4y的焦点为F，过点(0，-1)作直线l交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FABR，试求动点R的轨迹方程.

2

10.是否存在正方形ABCD，它的对角线AC在直线x+y-2=0上，顶点B、D在抛物线y=4x上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.

一、选择题

2

1.经过抛物线y=2px(p＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2p C.4p D.不确定

2

2.直线y=kx-2交抛物线y=8x于A、B两点，若AB的中点横坐标为2，则｜AB｜为( )

A.

2

B.4

2

C.2

D.42

3.曲线2x-5xy+2y=1( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称

C.关于原点对称，但不关于y=x对称

D.关于直线y=x对称也关于直线y=-x对称

2

4.若抛物线y=2px(p＞0)的弦PQ的中点为(x0,y0)(y≠0)，则弦PQ的斜率为( ) A.-

p x0

2

B.

p

y0

C.px- D.-px0

5.已知抛物线y=2px(p＞0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

y1y2

的值一定等于( ) x1x2

A.4

二、填空题

6.抛物线y=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离

2

B.-4 C.p

2

D.-p

2

为 .

x22

7.以椭圆+y=1的右焦点F为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个

5

公共点是A，则｜AF｜= .

2

8.若△OAB为正三角形，O为坐标原点，A、B两点在抛物线y=2px上，则△OAB的周长为 .

三、解答题

9.抛物线y=-

x22

与过点M(0，-1)的直线l相交于A、B两点，O为坐标原点，若直线

OA和OB斜率之和为1，求直线l的方程.

10.已知半圆的直径为2r，AB为直径，半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，且｜TA｜=2a(2a＜

r

),半圆上有M、N两点，它们与直线l的距离｜MP｜、｜NQ｜满足条件｜2

MP｜=｜AM｜,｜NQ｜=｜AN｜，求证：｜AM｜+｜AN｜=｜AB｜.

【素质优化训练】 一、选择题

2

1.过点A(0，1)且与抛物线y=4x有唯一公共点的直线的条数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

2

2.设抛物线y=ax(a＞0)与直线y=kx+b相交于两点，它们的横坐标为x1,x2,而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1、x2、x3的关系是( )

A.x3=x1+x2

B.x3=

11+ x1x2

C.x1x2=x2x3+x3x1 D.x1x3=x2x3+x1x2

3.当0＜k＜

1

时，关于x的方程2 x=kx的实根的个数是( ) 3

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

2

4.已知点A(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线y=4x交于另外两点B、C，则△ABC是( )

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定

2

5.将直线x-2y+b=0左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线y=4x仅有一个公共点，则实数b的值等于( )

A.-1 B.1 C.7 D.9

二、填空题

2

6.抛物线y=-8x被点P(-1，1)所平分的弦所在直线方程为 .

2

7.已知抛物线y=2x的弦过定点(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是 .

2

8.已知过抛物线y=2px的焦点F的弦AB被F分成长度为m、n的两部分，则

11

+= . mn

三、解答题

2

9.已知圆C过定点A(0，p)(p＞0)，圆心C在抛物线x=2py上运动，若MN为圆C在x轴上截得的弦，设｜AM｜=m,｜AN｜=n，∠MAN=θ.(1)当点C运动时，｜MN｜是否变化?写出并证明你的结论?(2)求

nm

+的最大值，并求取得最大值时θ的值和此时圆C的方程. mn

2

10.已知抛物线y=4ax(0＜a＜1)的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点，

(Ⅰ)求｜MF｜+｜NF｜的值；

(Ⅱ)是否存在这样的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由.

【生活实际运用】

2

1.已知点P(x0,y0)在抛物线含焦点的区域内，求证以点P为中点的抛物线y=2px(p＞0)的中点弦方程为

2

yy0-p(x+x0)=y0-2px0

2

注：运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y=2px上点的切线方程有什么联系?

x2y2x2y2

若P(x0,y0)为非对称中心，将抛物线y=2px换成椭圆2+2=1或双曲线2-2=1，

abab

2

它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论.

中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现. 2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外

?

分析 根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径. 以OA所在直线为y轴，过O点作oy轴的垂直线ox轴，建立直角坐标系如图

依题意A(0，1.25)，设右侧抛物线顶点为则B(1，2.25)，抛物线与x轴正向交点为C，OC即圆型水池的半径.

设抛物线ABC的方程为

2

(x-1)=-2p(y-2.25)

将A(0，1.25)代入求得p=

2

1 2

∴抛物线方程为(x-1)=-(y-2.25)

22

令y=0，(x-1)=1.5,x=2.5(米)

即水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不致落到池外.

【知识验证实验】

1.求函数y=x4 3x2 6x 13-x4 x2 1的最大值.

222222

解：将函数变形为y=(x 3) (x 2)-x (x 1)，由几何意义知，y可以

看成在抛物线f(x)=x上的点P(x,x)到两定点A(3，2)和B(0，1)的距离之差，∵｜PA｜-｜PB｜≤｜AB｜，∴当P、A、B三点共线，且P在B的左方时取等号，此时P点为AB与抛物线的交点，即P为(

22

1 3719 37

，)时，ymax=｜AB｜=. 618

2.参与设计小花园的喷水池活动.

要求水流形状美观，水流不落池外.

【知识探究学习】

1.如图，设F是抛物线的焦点，M是抛物线上任意一点，MT是抛物线在M的切线，MN

是法线，ME是平行于抛物线的轴的直线.求证：法线MN必平分∠FME，即φ1=φ2

.

解：取坐标系如图，这时抛物线方程为y=2px.(p＞0)，因为ME平行x轴(抛物线的轴)，∴φ1=φ2,只要证明φ1=φ3，也就是△FMN的两边FM和FN相等.设点M的坐标为(x0,y0)，则

2

法线MN的方程是y-y0=-

y0

(x-x0),令y=0，便得到法线与x轴的交点N的坐标(x0+p,0)，所p

以｜FN｜=｜x0+p-

ppp

｜=x0+,又由抛物线的定义可知，｜MF｜=x0+,∴｜FN｜=｜FM｜,222

由此得到φ1=φ2=φ3，若M与顶点O重合，则法线为x轴，结论仍然成立.

2.课本第124页阅读材料： 圆锥曲线的光学性质及其应用

参考答案

【同步达纲练习】

A级

12100222

)+(y±1)=1 7. 8.y=12x或y=-4x 23

xy 1

9.解：设R(x,y),∵F(0,1),∴平行四边形FARB的中心为C(,),l:y=kx-1,代入

22

1.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.(x-抛物线方程，得x-4kx+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且△=16k-16＞0，即

|k|＞1 ①，

2

x12 x2(x1 x2)2 2x1x22

∴y1+y2===4k-2,∵C为AB的中点.∴

44

2

2

xx1 x2

2k x 4k 222

消去k得x=4(y+3),由①得，｜x｜＞4，故动 2

y y22 y 4k 3 y 1 1 2k 1 2 2

点R的轨迹方程为x=4(y+3)(｜x｜＞4).

22

10.解：设存在满足题意的正方形.则BD：y=x+b,代入抛物线方程得x+(2b-4)x+b=0,

22

∴△=(2b-4)-4b=16-16b＞0,∴b＜1, ①，设B(x1,y1),D(x2,y2),BD中点M(x0,y0),则x1+x2=4-2b,∴x0=2-b,y0=x0+b=2,∵M在AC直线上，∴(2-b)+2-2=0，∴b=2与①相矛盾，故

2

不存在满足要求的正方形.

AA级

1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.2 7.95-18 8.12p

x22

9.解：设l:y=kx-1,代入y=-,得x+2kx-2=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则2

x1+x2=-2k,x1x2=-2,又

x x2y1y2kx1 1kx2 1 2k

+=+=2k-1=2k-=k=1，∴直线l的方

2x1x2x1x2x1x2

程为y=x-1.

10.证明：由｜MP｜=｜AM｜,｜NQ｜=｜AN｜知M、N在以l准，A为焦点的抛物线上，建

22

立直角坐标系，设抛物线方程为y=2px，又｜TA｜=2a=p,∴抛物线方程为y=4ax，又圆的方

22222

程为(x-a-r)+y=r，将两方程相减可得：x+2(a-r)x+a+2ar=0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，则x1+x2=2r-2a,∴｜AM｜+｜AN｜=｜PM｜+｜QN｜=x1+x2+2a=2r,即｜AM｜+｜AN｜=｜AB｜

【素质优化训练】

2

1.C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.4x+y+3=0 7.y=x+2(在已知抛物线内部的部分) 8.

p 2

2

9.解：(1)设圆心C(x0,y0),则x0=2py0，圆C的半径｜CA｜=x0 (y0 p)，其方程

22

为(x-x0)+(y-y0)=x0+(y0-p),令y=0，并将x0=2py0，代入，得x-2x0x+x0-p=0，解得xm=x0-p,xN=x0+p,∴｜MN｜=｜xN-xM｜=2p(定值)

(2)∵m=｜AM｜=

2

2

2

2

22222222

(x0 p)2 p2,n=｜AN｜=

40

(x0 p)2 p2,∴

2

4p(p y0)nmm2 n24p2 2x0

m+n=4p+2x0,m²n=4p x，∴+====

2244mnmn4p x02pp y0

4

2(p y0)

2

p2 y0

=2

2py0

≤22，当且仅当y0=p时等号成立，x0=±2p，此时△MCN2

p2 y0

为等腰直角三角形，且∠MCN=90°，∴∠MAN=

2

2

2

2

2

1

∠MCN=45°，故当θ=45°时，圆的方程为2

2

(x-2 p)+(y-p)=2p或(x+2p)+(y-p)=2p

10.解：(1)由已知得F(a,0),半圆为［x-(a+4)］+y=16(y≥0)，设M(x1,y1),N(x2,y2)，则｜MF｜+｜NF｜=x1+x2+2a=2(4-a)+2a=8

(2)若｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等成数列，则有2｜PF｜=｜MF｜+｜NF｜,另一方面，设M、P、N在抛物线的准线上的射影为M′、P′、N′，则在直角梯形M′MNN′中，P′P是中位线，又有2｜P′P｜=｜M′M｜+｜N′N｜=｜MF｜+｜FN｜,因而｜PF｜=｜P′P｜,∴P点应在抛物线上，但P点是线段MN的中点，即P并不在抛物线上，故不存在使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列的a值.

2

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3do1.html